Функция Лагранжа упругой силы

Пример 1. Электромагнитный прибор состоит из подвижной катушки, вращающейся в постоянном магнитном поле, которое создает другая, неподвижная катушка, образующая с подвижной катушкой последовательную электрическую цепь. На подвижную катушку действует пара сил, создаваемая упругостью пружины с коэффициентом жесткости с. Во вращательной паре —вязкое трение с коэффициентом р. За обобщенные координаты системы примем угол поворота подвижной катушки Ф и ток i, протекающий через обмотки катушек. Тогда механическая функция Лагранжа примет вид [c.281]

Для упругих колебательных систем удобно вводить функцию Лагранжа. В этих системах всегда действуют силы упругости, 14 [c.14]

В теории конечных деформаций упругого тела принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа стационарности потенциальной энергии при условии, что существуют функция энергии деформации материала тела и функции потенциалов внешних сил. Как только принцип стационарности потенциальной энергии установлен, он может быть обобщен с использованием множителей Лагранжа. [c.19]

Развитые методы распространяются на динамические задачи теории упругости путем учета сил инерции. Таким образом, принцип виртуальной работы для динамических задач выводится с помощью понятия кинетической энергии. Принцип виртуальной работы преобразуется в новый вариационный принцип, если предположить, что существуют функция энергии деформации и функции потенциалов внешних сил. Полученный таким образом вариационный принцип можно рассматривать как принцип Гамильтона, распространенный на динамические задачи теории упругости. Он может быть далее обобщен с применением правила множителей Лагранжа. [c.19]

Процесс разгона механизма рассматривался состоящим из трех фаз. Первые две фазы соответствуют выводу из положения силового замка и характеризуются ударным воздействием ролика 10 боевого кулачка 7 на горку трехплечего рычага. Третья фаза - движение механизма под действием упругих сил торсионного валика. Исследования показали, что начальная скорость трехплечего рычага имеет величину 3-4 с" и является функцией частоты вращения главного вала станка и коэффициента восстановления. Наибольший интерес для исследователей представляет третья фаза движения. Движение механизма в этой фазе описывается уравнением Лагранжа второго рода [c.89]

Возможность выражения функций П и Ф через квадраты разностей с отрицательными удвоенными произведениями, которые дают в уравнениях Лагранжа и отрицательные связующие силы, влечет за собой значительные удобства и упрощения в предлагаемом ниже способе непосредственной записи решений. Такие системы с обыкновенными упругими связями масс через пружины, [c.26]

Теоремы Лагранжа и Кастильяно. Формула (150.2) показывает, что упругая энергия деформации, так же как энергия пластического формоизменения, получающаяся, если определять а формулой (150.4), однозначно определяется заданием деформации. А так как деформированное состояние в свою очередь определяется однозначно заданием внешних сил Р, то W может рассматриваться как функция этих сил или перемещений точек их приложения. Итак, пусть на тело действуют обобщенные силы Р , Р ,. .., Р , соответствующие обобщенные перемещения суть и , и ,. .., и . Тогда можно считать, что [c.334]

Здесь р — плотность резины, f(r, t) — поле внешних массовых сил, /г(г, t) — неопределенный множитель Лагранжа соответствующей голономной связи, W 4(Q) — пространство Соболева векторных функций, компоненты которых и их первые производные суммируемы в четвертой степени. На этом пространстве определен функционал потенциальной энергии деформаций резины, и в него вложено конфигурационное пространство системы, определяемое голономной связью (несжимаемость резины). Скорости точек упругого тела принадлежат пространству векторных функций Ь2(П), на котором определен функционал кинетической энергии. Заметим, что голономная связь в данном случае (условие несжимаемости резины) определена на пространстве векторных функций У з(0), [c.281]

В качестве модели двухатомной молекулы можно взять систему из двух материальных точек массы т и Ш2, упруго связанных между собой. Сила взаимодействия точек равна F = —с[г — го), где г — расстояние между точками, с = onst, а tq соответствует положению, в котором упругая сила равна нулю. Найти функцию Лагранжа, составить уравнения движения системы и выписать интегралы движения. [c.115]

Наиболее общий признак равновесия материальной системы формулируется началом возможных перемещений (принцип Лагранжа), В рассматриваемом случае все действующие силы (силы упругости и силы тяжести) обладают потенциальной функцией и принцип Лагранжа может быть выражен следующим образом необходимым и достаточным условием равновесия служит равенство нулю приращения потенциальной функции всех действующих сил (и внешних и внутренних) при любых возможных отклонениях от рассматриваемого положения. Характер равновесия (устойчивое или неустойчивое) исследуется с помощью принципа Дирихле в устойчивом состоянии [c.765]

Составим уравнения Лагранжа для каждой из двух частей машины, разделенных упругим звеном. Часть, связанная с двигателем, имеет приведенный момент инерции /д(дд), являюш ийся периодической функцией с периодом 2ягд вторая часть агрегата имеет приведенный момент инерции /м( м), имеюш ий период 2лг . Момент Ма является движущим моментом для исполнительных механизмов, а момент —Ма — моментом сил сопротивления для двигателя. Момент создается силами, действующими на звенья исполнительных механизмов естественно поэтому, что он может считаться функцией q и представленной в форме (3.34). Учитывая все это, составляем уравнения Лагранжа. Используя выражения (3.30), (3.36) и (3.37), получаем [c.52]

Метод Ритца основан на использовании известной теоремы Дирихле—Лагранжа, на основании которой формулируется следующий принцип потенциальная энергия упругого тела в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение. Для использования метода Ритца в задачах расчета пластин необходимо составить выражения для потенциальной энергии деформации пластины U и работы внешних сил А. Полная потенциальная энергия пластины равна их разности [17= U—A). Можно показать, что при задании прогиба в виде (20.67) полная потенциальная энергия является квадратичной функцией параметров а , n=n(ali). [c.450]

Плотность лагранжиана, используемого в задачах динамики (линейной или нелинейной) теории упругости, определяется выражением L = W — Т — Р, где W — плотность энергии деформации, Т — плотность кинетической энергии и Р — потенциал внешних сил. при лагранжевом подходе к описанию движения (материальные координаты Х[ являются независимыми переменными) в общем случае можно считать, что L — функция переменных У , / = (5У,/(ЗХ/(или, что эквивалентно, переменных /), Ui, Ui, а также независимых переменных Х, (для неоднородных систем) и t (для неголономных систем). Такнм образом, t [c.150]

Вариационные методы наиболее плодотворно применяются в теории малых деформаций упругого тела. В случае когда существует функция энергии деформации и при вариациях перемещений внешние силы остаются неизменными, принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии. Этот вариационный принцип с помощью введения множителей Лагранжа дает семейство вариационных принципов, включающее принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. д. [c.18]

Применение общих теорем Лагранжа и Кастильяно к системам, для которых связь между внешними силами и перемещениями точек их приложения нелинейна, будь это вследствие того, что рассматриваются пластические деформации, или, как в примере предыдущего параграфа, вследствие того, что уравнения статики должны составляться для деформированного состояния, все равно наталкивается, на значите.1 ьные трудности. В нашем курсе мы ограничимся линейными упругими системами, то есть системами, элементы которых подчиняются закону Гука, сочленения осуществлены без трения и малость деформаций позволяет составлять уравнения статики для недеформированного состояния. При этих условиях, как мы выяснили в 32, перемещения и силы связаны линейными соотношениями. Легко видеть, что это относится в той же мере к изгибу и кручению, так как вёзде в этих задачах мы имеем дело с линейными функциями от сил. Исключение представляет случай продольно-поперечного изгиба там выражение для поперечного изгиба зависит от продольной силы сложным образом, через трансцендентные функции. Легко понять, в чем тут дело. При составлении дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба мы принимаем момент от продольной силы равным произведению силы на прогиб, то есть определяем статический фактор с учетом происшедшей деформации. [c.336]