Уравнения Кармана

Поведение пластинок после потери устойчивости при прогибах Пг, сравнимых с толщиной пластинки h, можно исследовать с помощью двух нелинейных уравнений Кармана [53] [c.178]

Итак, решение задачи об изгибе гибких пластин сводится к решению системы двух нелинейных дифференциальных уравнений относительно функции Ф и прогиба пластины w. Эти уравнения известны в теории упругости как уравнения Кармана. [c.278]

Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Первые два уравнения системы (16.62) — уравнения равновесия в направлении осей Ох и Оу, а третье уравнение — уравнение изгиба или уравнение равновесия элемента в направлении оси Ог. Если = = Qy = О, то уравнению изгиба можно придать вид [c.390]

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ КАРМАНА [c.127]

Из уравнений (6.25)—(6.27), так же как из системы уравнений Кармана (6.19), можно получить как частный случай уравнения, соответствующие теориям изгиба жестких пластин (уравнение С. Жермен), гибких пластин небольшого прогиба (теория Сен-Венана), абсолютно гибких пластин (мембран). [c.135]

Запишите систему уравнений Кармана для изгиба гибких пластин. [c.145]

Покажите, как уравнение изгиба жестких пластин С. Жермен — Лагранжа может быть получено из системы уравнений Кармана. [c.145]

Для уточненного определения напряжений и деформации в срединной плоскости пластины после потери устойчивости необходимо решить систему нелинейных уравнений Кармана [c.218]

Систему уравнений Кармана можно получить с помощью приведенных в 19 геометрически нелинейных зависимостей для е,у, 7, если поперечный прогиб пластины w считать малой, но конечной величиной [12, 19]. Для решения системы уравнений (5.95) должны быть заданы граничные условия относительно поперечного прогиба W, усилий и перемещений в срединной плоскости пластины (подробнее см. [12]). Систему уравнений Кармана для практически интересных случаев удается проинтегрировать только приближенным методом результаты таких решений можно найти в работах [19, 33). [c.219]

Vm — мгновенная скорость жидкости в поре / = /а.з + + [(Ai + у/2] — эффективная длина транспорта жидкости). Это выражение является видоизмененным уравнением Кармана—Козени. Комплекс [c.63]

Интегрирование этих уравнении поперек пограничного слоя приводит к уравнению импульсов (уравнение Кармана) [c.111]

С помощью любого из рассмотренных уравнений для профиля скорости можно вычислить коэффициент трения для стабилизированного турбулентного течения в гладких трубах. Обычно используется уравнение, часто называемое уравнением Кармана — Никурадзе, которое легко получить, подставив выражение для распределения скорости из уравнения (6-33) в уравнение для средней скорости (6-6) и выполнив интегрирование в последнем. [c.95]

Продифференцировав произведение в скобках в уравнении (6.44) и исключив во втором члене 61 с помощью формпараметра, получим окончательное уравнение для толщины потери импульса в плоском пограничном слое несжимаемой жидкости (уравнение Кармана) [c.155]

Уравнение Кармана для пограничного слоя [c.159]

Рис. 6.6. к выводу уравнения Кармана [c.160]

В такой записи уравнение Кармана является обыкновенным дифференциальным уравнением относительно неизвестной толщины потери импульса б . [c.163]

Уравнения (б) и (в) образуют систему нелинейных уравнений типа уравнений Кармана (8.38) [c.216]

Ниже рассмотрены уравнения гибких пластин большого прогиба (уравнения Кармана), из которых, в частности, получены соотношения для других видов пластин. При выводе уравнений принято, что справедливы гипотезы Кирхгофа, а составляющие тензора деформаций учитывают величины, пропорциональные квадратам производных от нормальных перемещений. В уравнениях равновесия, составленных для деформированного состояния, учтены наиболее существенные члены, содержащие силы в срединной плоскости на вторые производные от перемещений по нормали. [c.120]

Система нелинейных уравнений Кармана для изотропной пластины [c.124]

Хорошо известное уравнение Кармана — Козени [12], выведенное на основе полуэмпирических рассуждений, также дает выражение для коэффициента проницаемости в уравнении Дарси [c.454]

Для упакованных слоев одинаковых сфер в области порозностей от е = 0,26 до 0,48 уравнение Кармана — Козени [12] (8.4.22) дает очень хорошие результаты, если принять постоянную Козени к — 4,8. Недавнее исследование Андерсона [2] с привлечением дополнительных результатов других авторов показывает, что для одинаковых сфер 4,2 /с 6,0. Андерсон предложил уточнение, согласно которому к считается функцией е, а не константой. Большое количество данных о слоях, состоящих из частиц разных форм, отличных от сферической, позволяет заключить, что Л 5,0 независимо от формы частиц и от порозности слоя в интервале от е = 0,26 до е = 0,8. Как показано в табл. 8.4.2, согласие соотношения Кармана — Козени с гидродинамической теорией, основанной на модели свободной поверхности, очень хорошее. [c.484]

В связи с изучением связи между течением в неподвижных и движущихся зернистых слоях особый интерес представляют условия рыхлой упаковки, соответствующие е 0,47. Это значение соответствует как порозности в момент начала псевдоожижения слоя крупных гладких сфер, так и порозности движущихся зернистых слоев. Величина U/Uq при этом значении порозности,. согласно уравнению Кармана — Козени с к = 4,8, равна 0,0216. Ее можно сравнить со значением 0,0221, следующим из формулы [c.484]

Карман [12] обнаружил также, что уравнение Кармана — Козени можно применять и к смесям частиц разных размеров, если использовать в нем гидравлический радиус вместо диаметра частиц. Как обсуждалось в связи с табл. 8.4.2, это оправдывает использование обратного среднего диаметра при исследовании слоев частиц регулярной формы, но разных размеров. Предлагалось много других методов для получения среднего диаметра [109]. Уравнение Кармана — Козени неприменимо к слоям очень неправильных частиц, на поверхности которых возможно образование застойных зон, или к слоям частиц, имеющих дискообразную или пластинчатую форму. Оно также неприменимо в случаях, когда изменения порозности вызваны изменением в широких пределах размера частиц, как это имеет место в движущихся слоях [37]. [c.485]

Считая равными нулю только члены с индексом ср, получим уравнения для круглой пластинки с большими прогибами, которые, если пренебречь величиной Fi и считать модуль упругости и толщину постоянными, являются интегральным вариантом уравнений Кармана [101 ]. [c.47]

Было показано, что теория Кармана больших прогибов пластин может быть получена при предположениях, упомянутых в примечании к 8.5. Сравнительно недавно обоснование уравнений Кармана было дано Сьярле [48]. [c.251]

Подставив, наконец, a,a из (5.11) в уравнение (5.9), придем к обобщенному уравнению Кармана (5.8)i, которое при z ij = О уточняет основное уравнение Кармана путем учета поперечного обжатия (/1д) и поперечных сдвигов Qi ). [c.259]

УРАВНЕНИЕ КАРМАНА В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ [c.210]

Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает деформацию пластины с большими прогибами. Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих уравнений для анизотропных пластин не встречает никаких затруднений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны только численные решения ее для отдельных частных случаев путем непосредственного отыскания стационарного значения функционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, зшторый был описан в 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты в предполагаемом выражении для прогиба w или функции напряжений F теперь ищутся из нелинейных алгебраических уравнений. Для симметричной деформации круглой пластинки уравнения (12.10.2) и (12,10,6) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые можно интегрировать любым численным методом. [c.413]

Там же для сравнения приведена зависимость для турбулентного пограничного слоя несжимаемого газа М = 0 зависимости (11.95) получены при п = 0,76 (fx Т") и /с = 1,4 (ри = onst). На этом же рисунке нанесены опытные точки, которые удовлетворительно согласуются с (11.95). Кроме того, на этом рисунке представлены зависимости для ламинарного пограничного слоя — несжимаемого [по уравнению Блазиуса (7.26)] и сжимаемого [по уравнению Кармана (11.65)]. [c.222]

Жесткие пластины. Теория изгиба жестких пластин начинает свое развитие с работ Софи Жермен и Лагранжа задолго до появления обш их уравнений Кармана, из которых уравнения равновесия жестких пластин могут быть получены как частный случай. [c.129]

Рассмотрение теории изгиба жестких пластин, гибких пластин малого прогиба и абсолютно гибких пластин показывает, что теория Кармана является обобщением всех этих частных случаев и соответствующие уравнения (6.20), (6.21), (6.23) могут быть получены из общей системы уравнений Кармана (6.19) при определенных допуп ениях, [c.130]

До сих пор е сложилось, однако, ясного представления о механизме стремления псевдоожиженных слоев к неоднородному, двухфазному псевдоожижению и образованию плотной фазы с порозностью, близкой к пороз-ности слоя при минимальном псевдоожижении. Некоторые ученые, исследовавшие неоднородное псевдоожижение, как, например, Тумей и Джонстон Л. 567], не пытаются объяснить даже такие основные опытные факты, как наличие двухфазного псевдоожижения для слоев, псевдоожиженных газами, и практически однофазное псевдоожижение того же материала капельными жидкостями. Иной характер носит работа Морзе [Л. 459] — одно из ранних, но обстоятельных исследований неоднородности псевдоожижения. Он анализирует различие между псевдоожижением капельной жидкостью и газом и приходит к правильному выводу, что тенденция к неоднородному псевдоожижению увеличивается с ростом (рм—P )/l- гдерм —плотность материала Рс и — плотность и динамический коэффициент вязкости среды. К сожалению, Морзе не дает сколько-нибудь убедительного физического объяснения того, почему должна наблюдаться подобная зависимость, выводя ее из довольно -формального применения уравнения Кармана — Козени (фильтрации сквозь плотный слой) к определению скорости отделения жидкости от частиц , остающейся неясным понятием. [c.83]

Другим выражением, которое, по-видимому, лучше алпроксимирует уравнение Кармана — Никурадзе при низких числах Рейнольдса (от 5- 10 до 3-10 ), является уравнение Блазиуса, полученное на основании опытных данных о гидравлическом сопротивлении при течении в трубах [c.96]

Рассматриваемая задача сложнее, чем расчет теплообмена при турбулентном течении в трубе жидкости с постоянными физическими свойствами (гл. 9), так как в этом случае отсутствуют опытные данные по профилям скорости, из которых можно определить коэффициент турбулентного переноса импульса. Профиль скорости в этом случае требуется находить расчетным путем. Для вычисления коэффициента турбулентного переноса импульса в подслое Дайсслер использовал уравнение (6-37), а в турбулентном ядре — уравнение Кармана [Л. 7] [c.315]

Приравняв изменение количества движения в единицу времени (6.35) силе (6.39), получим интегральное уравнение Кармана для погра 1ичного слоя [c.152]

Рассмотрим обтекание плоской пластины, предполагая внешний поток безградиентным. Расположим пластину по потоку, совместив начало координат с ее передней кромкой. В данном случае скорость внешнего (потенциального) течения равна Ui=u = onst. Следовательно, duildx=0 и интегральное уравнение Кармана принимает вид (6.46) [c.176]

Основные расчетные соотношения получены ранее и сводятся к простым формулам (10.10) и (10.15). Для диффузоров с несомкнув-шимся пограничным слоем теоретическая скорость в выходном сечении С21 совпадает с максимальной и, следовательно, Д = 3, а Интегральные площади вытеснения б, и потери энергии 5 связаны с площадью потери импульса б эмпирическими и полуэмпирнческими соотношениями и, следовательно, могут быть найдены в результате решения уравнения Кармана (6.45). Это решение для осесимметричного течения несжимаемой жидкости (р = onst) может быть записано в виде [c.279]

С другой стороны, Хаппель [37] получил эмпирическую связь между модифицированным коэффициентом трения и модифицированным числом Рейнольдса для движущихся слоев. Такие слои соответствуют условиям рыхлой упаковки, так что изменение падения давления с порозностью отражает изменение дисперсности слоя. Хаппель и Эпштейн предположили [42], что для изучения влияния консолидации слоя в направлении наиболее плотной укладки, которое может встретиться в стационарных упакованных слоях, можно использовать функцию порозности в уравнении Кармана — Козени. Все эмпирические формулы такого типа сложны, потому что невозможно на основе теоретических или экспериментальных соображений независимо предложить правильный метод определения среднего диаметра частиц и порозности. [c.485]

Одно из важных промышленных приложений, недостаточно отраженных в монографической литературе, состоит в применении соотношения Кармана — Козени и других аналогичных соотношений к анализу сопротивления и сжимаемости фильтрующих элементов. Грейс [31] и Тиллер [103] дали очень хорошие обзоры и провели исследования, показавшие приложимость основных гидродинамических представлений, а также ограниченность их применимости в исследованиях этой проблемы. Грейс показал, что фильтрационное сопротивление элементов из сжимаемых материалов не может быть успешно описано при помощи одних только данных по сопротивлению слоев сухих частиц. Тиллеру удалось обобщить опытные данные на основе уравнения Кармана — Козени при помощи следующей эмпирической формулы для зависимости падения давления от пористости фильтрующего элемента е [c.489]

Почленное интегрирование уравнения движения плоского пограничного слоя (1-1-3) в пределах от О до д. с учетом уравнения сплошности и уравнения (1-1-7), приводит к так называемому интегральному соотношению импульсов (уравнению Кармана). Если для проводящей жидкости принять jyBz= onst по сечению пограничного слоя, то [c.11]

Трудности построения общей теории турбулентности повлекли изучение в первую очередь простейшего и, вообще говоря, очень узкого класса турбулентных движений — изотропной турбулентности. Начало исследованиям в этой области было положено Дж. Тейлором который сразу же и с успехом подверг некоторые выводы теории изотропной турбулентности экспериментальной проверке в потоке за решеткой а.эродинамической трубы. Т. Карман 299 дал затем соотношение между корреляционными функциями (вторыми моментами) изотропного поля скоростей (также подтвержденное экспериментально Тейлором) и, совместно с Л. Хоуартом, вывел основное динамическое уравнение, связывающее вторые и третьи моменты . Уравнение Кармана — Хоуарта послужило основой последующих исследований изотропной турбулентности и было также подтверждено (в 50-х годах) экспериментально. Однако это уравнение содержит две неизвестные функции и, как и все прочие уравнения турбулентного движения, требует для своего замыкания дополнительных гипотез. Такие гипотезы вводились, например, с помощью приближенных формул для спектрального переноса энергии (В. Гейзенберг, [c.299]

Целыб этой короткой статьи является изложение метода гомогенизации для исследования нелинейных задач. Авторы показали, что докри-тический и закритический анализ устойчивости перфорированной пластинки может быть заменен исследованием сплошной пластинки, для которой имеется аналитическое решение. Мы использовали неклассическую формулировку уравнений Кармана, преобразованных для многосвязных задач и кроме того, применимых при исследовании других проблем. [c.209]

Исследование устойчивости таких пластинок проводилось при помощи уравнений Кармана, позволяющих, как предполагается, определять характер нелинейного поведения упругих пластинок в области больших перемещений. Если нагрузка меняется пропбрционально некоторому параметру нагрузки Я, то, как известно, потеря устойчивости пластинки, [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...