Отображение области на единичный круг

Размерность системы линейных алгебраических уравнений определяется количеством членов отображающей функции, которая ищется в виде полинома, осуществляющего с заданной точностью отображение исследуемой области на единичный круг. [c.162]

Здесь ij o(x, у) означает гармоническую функцию (Аг )о = 0), удовлетворительную условию (6.4), а IF(Z, g) — аналитическую функцию комплексного переменного Z х iy, осуществляющую конформное отображение данной области на единичный круг так, что произвольная точка области щ переходит в центр круга, т. е. W(l, g) — 0. [c.157]

Рассмотрим сначала нахождение комплексных потенциалов для случая одного отверстия. Если граница области, занимаемой телом, представляет собой простой замкнутый контур, то, согласно [65], можно воспользоваться конформным отображением этой области на единичный круг или на бесконечную область, ограниченную единичной окружностью. Будем для определенности рассматривать случай, когда область S, занимаемая телом, бесконечна и осуществляется конформное отображение этой области на бесконечную область О, ограниченную единичной окружностью с центром в начале координат. Пусть аналитическая функция t ( ) ( G О, 2 = t ( ) G S) определяет конформное отображение области S на область О. Уравнение границы в преобразованной области имеет вид = 1, или = 1, или = 1/ . [c.76]

Пусть сначала область О близка к кругу в том смысле, что в полярном уравнении г= —б(ф) ее границы Г функция б вместе с двумя производными не превосходит малое число е. Как показано в предыдущем параграфе, приближенное с точностью до выражение для конформного отображения этой области на единичный круг с нормировкой /(0) =0, / (0) > О имеет вид [c.118]

В том же 12 мы показали, что этим способом можно получить приближенные формулы для конформного отображения областей, близких к данной если область В близка к О в смысле близости второго порядка и / — конформное отображение О на единичный круг с нормировкой /(2о) = О, / (го)>0, то область 0) близка к кругу, ее отображение /1 на круг можно найти по формуле (2), а тогда сложная функция / = /1°/ будет отображать О на круг. [c.119]

Наиболее эффективные способы решения граничных задач плоской теории упругости, использующие аппарат теории функций комплексного переменного, основываются на возможности построения в простой аналитической форме (в виде полинома или рациональной функции) функции, реализующей точно или приближенно конформное отображение данной области на единичный круг. По этой причине методы теории функций оказываются все еще мало приспособленными к эффективному решению задач для многосвязных областей. [c.575]

В частном случае конформного отображения заданной односвязной области на единичный круг гамильтониан и уравнения движения имеют вид [c.166]

В условиях теоремы указано, что границы отображаемых односвязных областей должны состоять более чем из одной точки. Это означает, что теорема не распространяется на расширенную плоскость и расширенную плоскость с выколотой точкой, для которых конформное отображение на односвязную область вообще не существует (например, на единичный круг). [c.186]

Для случая круга, например, вариационный принцип формулируется так. Рассматриваются односвязные области, содержащие фиксированную точку 2о, и их конформные отображения на единичный круг, переводящие эту точку в центр. Через Гр обозначается линия уровня при отображении /, т. е. прообраз окружности йУ = р при этом отображении в частности, Fi = Г — граница отображаемой области D (рис. 32). [c.108]

Отправляясь от формулы (7) 10 для отображения на круг круга с выброшенной луночкой, можно, как и выше, получить количественное уточнение этого принципа. Оно основывается на приближенной формуле для конформного отображения на единичный круг областей, близких к кругу по положению и кривизне, т. е. таких, что в полярных уравнениях их границ [c.109]

При помощи дополнительного конформного отображения можно получить и более общий результат. Пусть дана произвольная односвязная область D с дважды гладкой границей Г, и пусть / — ее конформное отображение на единичный круг с нормировкой f(Zo) = О, f (zo) >0. Рассмотрим еще область 5 с границей Г и для любой точки обозначим через e( ) отрезок [c.109]

Вариационные методы. Эти графоаналитические методы основаны на вариационных принципах теории конформных отображений. Начнем с приближенного решения задачи о конформном отображении ограниченных областей с дважды гладкой границей на единичный круг. [c.118]

Будем рассматривать задачу о напряжениях в бесконечной плоскости, ослабленной отверстием в форме прямолинейного многоугольника. Отобразим данную область посредством интеграла Кристофеля — Шварца на единичный круг вспомогательной плоскости и представим отображение в виде разложения в ряд по степеням С- Удержав в этом ряду конечное число первых его членов, мы получим приближенное отображение, переводящее окружность в близкую к исходному контуру кривую, при помощи рациональной функции вида [c.585]

Применяя конформное отображение областей S ti S" на заданную область S, скажем на единичный круг (в случае, когда область S односвязна), получаем граничную задачу вида [c.605]

В дальнейшем мы ограничимся отображениями ограниченной или неограниченной области 5 на область 5 — единичный круг 1 1 1с помощью аналитической функции [c.370]

Таким образом, уравнение граничной кривой заданной области в плоскости г можно представить в новых координатах в более простой форме. Если рассматриваемая область имеет замкнутый граничный контур (рис. 8.12), то при конформном отображении на единичный круг в плоскости с помощью функции = pe > можно добиться того, что граничная кривая будет описываться уравнением р = 1. В плоскости применяются полярные координаты р, ф. Этот частный случай будет рассматриваться в дальнейшем, так как позволяет получить простые решения. [c.221]

При этом можно потребовать, чтобы произвольно выбранная точка рассматриваемой области z = Zq переходила в произвольно выбранную точку единичного круга (например, в С = 0). Тем самым первый член в ряду (13.1) может быть выбран произвольно. Известно, кроме того, что функция x(Q, дающая отображение на единичный круг внешней, по отношению к простому контуру L, области, представима в виде [c.327]

Пусть бесконечно большая пластина имеет круглое отверстие радиуса г, край которого свободен от нагрузки, а напряжения на бесконечности равны а , а . Конформное отображение области, занимаемой пластиной, на единичный круг осуществляется преобразованием ([ЗО], III, ч. 2, стр. 123) [c.333]

Зная течение вокруг окружности единичного радиуса, можно с помощью конформного отображения области, внешней данному профилю, на область, внешнюю кругу, построить течение и вокруг произвольного профиля. При этом используется свойство [c.21]

Остановимся на одном способе [13] построения решения интегрального уравнения (5.17), когда поверхность 5] близка к кругу. Осуществим какое-либо отображение области 5 на круг единичного радиуса 5. Если это отображение осуществить с помощью комплексных переменных г и I ( 1), то его [c.603]

При решении задачи типа а) и б) обычно бывает удобно преобразовать область S либо на круг единичного радиуса (случай а), либо на плоскость с выброшенным кругом единичного радиуса (случай б). В том и другом случае функция z = a ( ), осуществляющая конформное отображение областей, устанавливает соответствие между точками контура z е Г и точками окружности единичного радиуса = о = е в плоскости Функции ф и ф будут теперь функциями переменной Для краткости мы будем употреблять для них те же символы, т. е. вместо [c.338]

Наиболее удобные односвязные канонические области, применяемые для расчета решеток, изображены на рис. 25. В теоретических исследованиях и для редких решеток обычно используется внутренность единичного круга Zg с переходом бесконечностей перед и за решеткой, соответственно, в симметричные точки действительной оси Zg — — q и Zg = q (рис. 25, а). Чтобы подчеркнуть нарушение конформности отображения в этих точках и конкретизировать соответствие областей, принято говорить, что внешность решетки (в полосе одного периода) отображается на внутренность единичного [c.73]

Поскольку точки контура Г при отображении W Z, I) переходят в точки единичной окружности [IFj = 1, то второе слагаемое в формуле (6.5) на границе области исчезает. Внутренние точки данной области попадают внутрь круга W = ], поэтому [c.157]

При решении этих задач необходимо воспользоваться конформным отображением бесконечной области, занятой матрицей, на внешность единичного круга 1 1 >1. Рассмотрим частный случай функции, производящий отображение [c.130]

Перейдем на внешность единичного круга параметрической плоскости при помощи отображения 2 = со (g, t) аналитическая функция со(С, О конформно отображает область gj > 1 на [c.301]

Для решения краевых задач можно использовать конформное отображение единичного круга на рассматриваемую (односвязную) недеформированную область, осуш,ествляемое функцией [c.54]

Вообще говоря, ряды (13.1), (13.2) содержат бесконечное число членов. Удерживая в них несколько первых членов, получим приближенное конформное отображение рассматриваемых областей на единичный круг. Последнее равносильно тому, что оюбражены будут не эти области, а некоторые другие — тем более к-ним близкие, чем больше членов будет удержано в рядах (13.1), (13.2). [c.327]

Как видим, если у гармонической функции й (5, т]), определяющей распределение температуры на единичном круге К, осуществить замену переменных (5.27), вытекающую из комформного отображения (5.28), получим гармоническую на области D функцию и х, у), т. е. функцию, определяющую стационарное распределение температуры на области D. Возникает вопрос, какому краевому условию должна соответствовать на круге К функция й ( , т]), чтобы функция и х, у) соответствовала одному из условий (5.24), [c.188]

ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ. Для важного с точки зрения приложений класса полигональных областей, граница к( торых состоит из отрезков прямых, Г. Шварцу и Э. Кристоффелю удалось получить точную формулу, реализующую отображение внутренности многоугольника на единичный круг или верхнюю полуплоскость. [c.305]

Эту задачу мы обсудим в следующей главе, а здесь лишь укажем ее связь с задачей Дирихле. Прежде всего, если для некоторой области О мы умеем решать задачу Римана и, следовательно, знаем ее конформное отображение / на единичный круг А = ге- < 1 , то мы можем решать для этой области и задачу Дирихле. В самом деле, если граница области О является простой непрерывной кривой (что мы и предположим), то, как доказывается в теории конформных отображений, / продолжается до нет рерывного и взаимно однозначного отображения О на А. Поэтому на единичной окружности (о =1 мы можем рассматривать обратную к / функцию и с ее помощью перенести на эту окружность заданные граничные значения /(со) = и[/- (со)]. Теперь по этим значениям мы можем при помощи интеграла Пуассона построить гармоническую в круге [ш < 1 функцию [c.84]

Во многих случаях оказывается полезным обратный ход—построение конформного отображения области О на единичный круг при помощи решения в В задачи Дирихле. Зададимся точкой Хо О, которую искомое отображение / переводит в центр круга ш = О (рис. 19). [c.85]

Предположим, что нам известна функция, реализующая конформное отображение занятой упругой средой односвязной области или области, дополняющей эту последнюю до полной плоскости комплексного переменного, на единичный круг. Если с помощью этой функции произвести замену переменной в упомянутом интегральном уравнении плоской задачи, то оно преобразуется в уравнение на окружности единичного радиуса, причем ядро вновь полученного уравнения будет выражено в явном виде через граничные значения отображающей функции. При элементарных полиномиальных отображениях вида (1) 153 ядро это будет сохранять простую структуру, и к решению интегрального уравнения можно применить обычный метод рядов Фурье. Этот прием решения, впервые примененный Д. И. Шерманом к задаче о сплошном эллипсе, использовался впоследствии в ряде конкретных случаев. Мы ограничимся ссылкой на работы Л. Д. Корбуковой [1, 2] и Н. Д. Тарабасова [4]. [c.599]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Формулами (3.2.19), как уже отмечалось, осуществляется взаимно однозначное и непрерывное отображение неизвестной области D + L плоскости х, у) на единичный круг + С плоскости л) (рис. 3.2). При этом отображении между L A С устанавливается взаимно однозначное и непрерывное соответствие. Обозначим через S длину дуги L, а через S — длину всей кривой L. При этом начало отсчета длины дуги выберем в точке В L, соответствующей при отображении (3.2.19) точке кривой С с координатами р = 1, 6 = 0. Соответствие между L ж С порождает гомеомор-фное отображение Ю, 5] на [О, 2л] [c.77]

Предположим, что сечение стержня есть односвязная область 0+, и пусть функция 2 = (й( ) реализует конформное отображение единичного круга в плоскости на 0+. Осуществим замену переменных в выражении для F(z) и полученную таким образом функцию будем обозначать через /( ). Перепищем краевое условие (1.3) в виде [c.362]

Пусть функция 2 = сй(5), реализуюшая отображение единичного круга во вспомогательной плоскости 5 на область )+, имеет вид (где нулевой член для простоты отсутствует) [c.387]

Для отверстий, форма которых отличается от круговой, решение получается с помощью конформного отображения. Пусть функция 2 = (О (5) осуществляет копформное отображение области, внешней по отношению к контуру /, на внешность единичного круга в плоскости Потребуем, чтобы при оо ( ) -> , тогда будет со (оо) =1, Теперь функция [c.307]

Задача построения течения газа Чаплыгина через решетки, как и задача обтекания одиночных профилей, долгое время не поддавалась решению из-за нео.днолистности отображения (24.11) при наличии циркуляции скорости вокруг профиля. Эта задача впервые была решена в 1946 г. Л, И. Седовым и затем Липом [47]. А. И. Бунимович построил в 1950 г. ио методу Л. И. Седова семейство теоретических решеток, используя отображение единичного круга без двух симметрично расположенных точек на решетку теоретических профилей. В связи с выбором канонической области этот метод практически пригоден только для получения решеток малой густоты из тонких слабоизогнутых профилей. В 1950 г. автором были развиты описанные в данном разделе более эффективные методы построения теоретических решеток в потоке газа, исходя из данного обтекания любых решеток потоком несжимаемой жидкости. Можно было бы у казать еше ряд более поздних работ, посвященных различным хо-вершенствованиям в решении той же задачи. Однако аналитические методы построения теоретических решеток, как уже указывалось для той же задачи в потоке несжимаемой жидкости, в настоящее время не имеют практического значения, поскольку они непосредственно не решают ни прямой задачи теории решеток (расчет обтекания заданной решетки), ни основной обратной задачи (построение решеток с заданным распределением скорости). [c.214]

Тогда существует взаимно однозначное конформное отображение /(z) области G на внутренность единичного круга w < 1. Отображение может быть задано единственным образом, если для заданной точки zge Оичисели де Щае [О, 2л) априори положить /(zg) = Wg, arg / (zg) = a- [c.106]

В задачах устойчивости линейных систем с конечным числом степеней свободы характеристический полином непосредственно впервые появляется в форме с1е1(0 — А.Е). Представляют интерес критерии, не требующие вычисления коэффициентов характеристического полинома. Идея критерия Зубова [22] состоит в отображении рассматриваемой области Дх комплексного переменного Л, на внутренность единичного круга р <1 комплексного переменного р. При этом исходная матрица О отображается в некоторую матрицу Г, собственные значении которой равны Ру. Для того чтобы все ру удовлетворяли условию ру <1, необходимо и достаточно, чтобы Г — 0 при Таким образом, реализация [c.466]

Для конформности отображения, производимого аналитической функцией o(f)> необходимо, чтобы всюду во внешности единичного круга ее производная была отлична от нуля. В противном случае на контуре L, разделяющем упругую и пластическую области, появляется петля неоднозначности, которая не имеет физического смысла. Для выполнения условия однолистности параметр а, согласно (2.2.28), должен удовлетворять неравенству [c.88]

Метод отображений нашел широкое применение при построении криволинейных элементов, позволйющих получить аппроксимацию тела относительно сложной формы с применением небольшого числа конечных элементов. Наряду с локальным отображением отдельного элемента на каноническую область во многих случаях удается построить глобальное отображение всей физической области на такую область — прямолинейную полосу, единичный круг, круговой цилиндр или прямоугольный параллелепипед, т. е. на область значительно более простой геометрии. Решение краевой задачи для такой области существенно упрощается. [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...