Больцмана уравнение, Ландау уравнение)

Кинетическое уравнение (см. также Больцмана уравнение, Ландау уравнение) II 50 [c.392]

СОСТОЯНИЯ статистической физики к 1950 г. К этому времени был известен лишь один вид кинетического уравнения — уравнение Больцмана (а также различные его варианты уравнение Ландау, кинетическое уравнение для фононов в твердом теле и т. д.). Его теоретическое обоснование, область применимости и недостатки были довольно хорошо изучены, однако не было разработано систематического подхода, позволяющего выйти за границы больцмановского приближения. Единственной попыткой преодоления барьера была работа Энскога (1922 г.), в которой он получил обобщение уравнения Больцмана, справедливое для плотного газа твердых сфер. [c.280]

Это уравнение отличается от уравнения (3.4.40) тем, что в левой части оно содержит точный двухчастичный оператор Лиувилля Ьаь-, не оператор описывающий свободное движение. Это отличие приводит к двум важным следствиям. Во-первых, с физической точки зрения уравнение (3.4.70) предпочтительнее уравнения (3.4.40), так как на малых расстояниях оно соответствует приближению Больцмана, а не приближению Ландау. Во-вторых, в математическом отношении уравнение (3.4.70) значительно сложнее, чем (3.4.40). Мы видели, что уравнение (3.4.40) может быть преобразовано в точно интегрируемое уравнение в к-представлении, где структура оператора становится очень простой. К сожалению, этот метод не годится для уравнения (3.470), так как в к-представлении Ьаь является интегральным оператором. С другой стороны, больцмановский член достаточно просто учитывается в координатном представлении, но зато в этом представлении сложно рассматривать поляризационные эффекты. Таким образом, проблема построения сходящегося интеграла столкновений для плазмы сводится к математической проблеме решения уравнения для Gab- Возможно, что эту трудность удастся преодолеть путем построения подходящего приближенного решения уравнения (3.4.70). [c.233]

В 89 мы рассматривали кинетическое уравнение для плазмы в приближении самосогласованного поля без учета столкновений между частицами. В этом параграфе мы перейдем к рассмотрению эффектов, вызванных столкновениями между частицами, и в результате преобразования интеграла столкновений в уравнении Больцмана мы получим кинетическое уравнение для плазмы (Ландау [44]). [c.515]

G помощью метода Чепмена — Энскога получено решение обобщенного уравнения Больцмана в первом и втором приближениях, т. е. аналоги уравнений Эйлера и Навье — Стокса. Проанализирован случай, когда в первом приближении релаксационные уравнения могут быть приведены к уравнениям типа Ландау — Теллера [2] (частным случаем такой моде- [c.105]

Обратившись снова к уравнениям эволюции, рассмотренным в гл. И (уравнения Больцмана, Фоккера — Планка, Ландау), обнаруживаем у них целый ряд общих свойств [c.162]

Его можно рассматривать как очевидное обобщение формулы (3.2.27)). В оригинальной работе Ландау [37] интеграл столкновений для слабо неидеальной плазмы был получен путем разложения интеграла столкновений Больцмана по степеням потенциала взаимодействия. Это приводит к марковскому кинетическому уравнению, в котором, к тому же, не учитывается нелокальность столкновений, т. е. аргументы и одночастичных функций распределения считаются равными. Выражение (3.4.27) является более общим, чем интеграл столкновений Ландау, так как оно учитывает нелокальность и запаздывание. Иногда это выражение называют обобщенным интегралом столкновений Ландау. [c.220]

Для интеграла столкновений Ландау, как и для интеграла столкновений Больцмана, характерно пренебрежение воздействием внешних полей на процесс соударения частиц. Поэтому в этом параграфе будем считать, что внешние поля пренебрежимо малы. Также будем считать пренебрежимо слабыми силы, обусловленные самосогласованным взаимодействием частиц. Тогда уравнение для парной корреляционной функции (48.5) можно записать в следующем виде [c.194]

Пусть F = Fp—функционал, определенный на некотором подмножестве пространства вероятностных мер на (M,J[) и принимающий значения в пространстве (вообще говоря, векторных) функций от q, p R< .. Для уравнений Больцмана, А. А. Власова и Л. Д. Ландау (1-моментная функция [c.267]

Следовательно, мы должны были привнести их в окончательный результат, используя соотношение (11.2.14). Напротив, исходя из уравнения Больцмана, мы использовали для описания процесса столкновения точную динамическую модель. Наш расчет [равноценен явному вычислению функций памяти ф (Q) и а (Т) в рамках предложенной модели. Наградой служит тот факт, что теперь равновесное распределение следует из модели, а не привно- сится в нее. Поэтому уравнения Больцмана и Ландау представляют значительный шаг вперед на пути к разработке микроскопической теории неравновесных процессов. Однако не следует забывать о том, что уравнение Больцмана было выведено отнюдь не безупречным способом и что важная гипотеза молекулярного хаоса (Stosszahlansatz) находится в очевидном противоречии с механи- кой. Невозможно утверждать, что мы обладаем строгой микроскопической теорией необратимости до тех пор, пока не выясним этот важный вопрос. Указанная проблема рассматривается в общей теории, которая ввиду ее более абстрактного характера будет изложена в заключительной части книги. [c.48]

Член (12.1.12) обладает весьма большой обпщостью он сохраняется в неизменном виде для всех кинетических уравнений. Самосогласованный член (12.1.13) присутствует во всех тех случаях, когда играет роль усредненное поле, т. е. он пренебрежимо мал в обычном газе молекул с короткодействующими силами. Вклад столкновительного члена пока что наиболее сложен. Кроме того, столкновительный член весьма чувствителен к деталям механизма столкновений и имеет совершенно различный вид в зависимости от того, какое уравнение используется, скажем, Больцмана или Ландау. Мы не будем проводить подробную его оценку, но введем новое удобное обозначение [c.54]

Таким образом, мы получили не что иное, как второй закон термодинамики (12.2.1), (12.2.2). Следовательно, мы дали полное обос-нование"необратимой термодинамики для всех систем, подчиняющихся уравнениям Больцмана и Ландау. Этот результат особенно замечателен, поскольку число известных кинетических уравнений, для которых Л -теорема может быть доказана в явном виде, весьма ограничено. [c.61]

Таким образом, мы обнаружили, что, если речь идет о зависимости от скорости, то уравнение Ландау имеет точно пять независимых инвариантов столкновений. Аналогичные рассзгждения, которые мы предоставляем провести в качестве упражнения читателю, показывают, что и в случае столкновительного члена Больцмана имеются точно те же пять инвариантов столкновений. [c.65]

Приведенный в этом разделе вывод уравнений баланса, основанный на кинетических уравнениях Больцмана и Ландау, справедлив лишь для доста-тотао разреженного газа, в котором давление, внутренняя энергия, энтропия и т. д. совпадают с термодинамическими функциями идеального газа. (См. книгу Ю. Л. Климонтовича, цитироваш1ую на стр. 33.) — Прим. ред. [c.69]

В монографии [1] выписана и исследована цепочка уравнений, описывающих изменение во времени моментных функций вероятностной меры, эволюционирующей в ходе движения взаимодействующих частиц. На основания глубоких общих соображений развит новый метод вывода кинетических уравнений (Больцмана, Власова и Ландау) из цепочки уравнений для моментных функций. Впервые сформулирован ряд фундаментальных фактов, характеризующих процесс сходимости к равновесному состоянию. В работе [2] представлен первый в литературе вывод гидродинамических уравнений (уравнений Эйлера для сжимаемой идеальной жидкости) из цепочки уравнений для моментных функций, Иден книги [1] и статьи [2] составили основу современных представлений о связи кинетических уравнений с уравнениями, описывающими движение большой системы частиц. [c.279]

Решения (2.97) и (2.98) носят асимптотический характер, они справедливы при заданном направлении времени на больших временах 1-Ц-ж и - -со соответственно. Кроме того, эти решения, каждое по отдельности, необратимы. Однако эта необратимость не противоречит обратимости во времени исходного уравнения (2.81). Дело в том, что обращение времени в решениях (2.97), (2.98) по отдельности незаконно, поскольку они получены в асимптотике при заданном направлении времени. В этом и лежит причина некорректности (неустойчивости) по обратному времени уравнений диффузии, теплопроводности, фильтрации жидкости, кинетических уравнений Больцмана в теории газов, кинетических уравнений Ландау и Ленарда-Балеску в теории плазмы и др. [c.60]

Введенный вновь материал распределен по всем трем разделам книги. В качестве неполного перечня новых вопросов отметим в ч. I параграфы, посвященные изложению термодинамики диэлектриков и плазмы, парадоксу Гиббса и принципу Нернста, в ч. II — теорию орто- и парамодификаций, теорию тепловой ионизации и диссоциации молекул, дебаевское экранирование, электронный газ в полупроводниках, формулу Найквиста и особенно главу Фазовые переходы , в ч. III — параграфы Безразмерная форма уравнений Боголюбова , Методы решения уравнения Больцмана , параграфы, посвященные затуханию Ландау, кинетическому уравнению для плазмы и проблеме необратимости. Существенно переработана и расширена глава Элементы неравновесной термодинамики , в которой помимо более детального рассмотрения области, близкой к равновесию, введен параграф, посвященный качественному рассмотрению состояний, далеких от равновесия. [c.7]

В гл. 11 мы вывели два уравнения (Больцмана и Власова — Ландау), которые представляют, важный класс кинетических уравнений. Определим кинетическое уравнение как замкнутое нелинейное уравнение, описывающее эволюцию во времени и приближение к равновесцю одночастичной функции распределения ). [c.50]

Первое существенное замечание состоит в следующем. В классической теории кинетическое уравнение в пределе слабого взаимодействия представляет собой дифферешщальное уравнение относительно переменной р. Такая его форма обусловлена тем, что в случав слабого взаимодействия отклонение траекторий частиц при столкновениях очень мало. Как показано в разд. 11.6, предложенный Ландау вывод уравнения, пол вшего его имя, из уравнения Больцмана основан именно на этой идее. В квантовых системах не существует подобной эквивалентности между пределом слабого взаимодействия и пределом малого отклонения. В квантовой механике даже слабый потенциал взаимодействия может привести к очень сильной передаче импульса вследствие принципа нвопрвделвнности Гейзенберга. Квантовый аналог полного уравнения Больцмана по форме точно совпадает с уравнением (18.8.1) это уравнение известно под названием уравнения Юлинга — Уленбека. Единственное отличив от (18.8.1) состоит в том, что функция W связана с точным сечением рассеяния для упругих столкновений, соответствующих заданному межмолеку-лярному потенциалу. Сечение рассеяния (18.8.2) соответствует первому отличному от нуля приближению для точного сечения рассеяния, т. е. первому борновскому приближению ). [c.251]

Предположение об экранировке кулоновского взаимодействия частиц в плазме позволяет сохранить смысл интеграла столкновений Больцмана (или, что в известном смысле идентично, интеграла столкновений Ландау) применительно к кинетической теории газа заряженных частиц. Однако то, что радиус дебаевского экранирования кулоновского поля заряда определяется плотностью числа заряженных частиц, является указание.м на необходимость выхода за рамки представлений, положенных в основу вывода кинетического уравнения Больцмана, учитывающего лип1ь парные столкновения частиц. Такой выход получается при применении теории многих частиц, позволяющей не только обосновать обычную кинетическую теорию, но и построить аппарат, пригодный для анализа явлений, для которых кинетическое уравнение Больцмана оказывается непригодным. В настоящее время уже известен ряд таких явлений. Одно из них, связанное с эффектом дина-лсической поляризуемости плазмы и проявляющееся, с одной стороны, в экранировке кулоновского поля заряда, а с другой,— во взаимодействии заряженных частиц с колебаниями плалмы, мы и рассмотрим здесь. [c.232]

Кулоновские поправки к термодинамическим функциям при слабой неидеальности можно вычислить, воспользовавшись методом Дебая — Хюккеля так, как это сделано в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1 ] (см. также работу Б. Л. Тимана 111]). Вокруг каждого из ионов или электронов образуется неравномерно заряженное облако из соседних частиц, причем распределение плотности заряда в этом облаке определяется законом Больцмана в соответствии с электростатическим потенциалом, создаваемым совместным действием центрального заряда и облака. Решение уравнения Пуассона для распределения электростатического потенциала по радиусу г около центрального иона с зарядом в первом приближении приводит к формуле [c.186]

В этом пункте мы попытаемся описать, не претендуя на математическую точность, общие черты в постановке задач о выводе основных кинетических уравнений уравнений Больцмана (L. Boltzmann), А. А. Власова, Л. Д. Ландау, Л. Эйлера, приняв за основу подход, развитый в 3. После этого мы перейдем к последовательному обсуждению отдельных уравнений и формулировке немногочисленных имеющихся здесь математи- ческих результатов. [c.267]

Кинетическое уравнение с интегралом столкновений Ландау позволяет решать задачи физики плазмы лишь с логарифмической точностью бзльшой аргумент кулоновского логарифма не вполне определен. Эта неопределенность связана с расходимостью интегралов на больших и малых углах рассеяния. Как уже указывалось, расходимость на больших углах не имеет принципиального характера она появляется лишь в результате произведенного при выводе разложения по степеням передаваемого импульса q в самом интеграле столкновений Больцмана эта расходимость отсутствует. Расходимость же на малых углах возникает в результате неучета экранирующего действия плазмы на взаимное рассеяние частиц в ней. Для вычисления интеграла столкновений с более высокой, чем логарифмическая, точностью необходимо последовательно учитывать экранирование с самого начала (а не только при определении о асти интегрирования в кулоновском логарифме). [c.225]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...