Закон Гука плоской деформации

Исследуя деформации и рассматривая вопросы прочности при объемном и плоском напряженных состояниях, будем в соответствии с основными гипотезами и допущениями предполагать, что материал следует закону Гука, а деформации малы. [c.175]

Для плоской задачи в соответствии с законом Гука относительная деформация в горизонтальном направлении [c.65]

На поверхности пластины известны компоненты тензора деформаций e,l = 0,6 10- 622=0,1 10- ei2 = —0,05-10 . Используя выражения закона Гука для плоского напряженного состояния, вычислить соответствующие напряжения 011, 022, 015, если =2-10 МПа, [c.129]

Различие в задачах о плоском напряженном состоянии и плоской деформации проявится при определении деформаций и перемещений в силу различия выражений закона Гука. [c.134]

Принимая BO внимание соотношения (10.43) для деформаций и закон Гука (7.12) для плоского напряженного состояния, находим [c.225]

Установим зависимость между компонентами напряжений и деформациями в полярных координатах. Для этого в уравнении (I. 16) заменим индекс х на г, а у на 0, получим выражения закона Гука для плоского напряженного состояния в полярных координатах [c.33]

Решения плоской задачи в тригонометрических рядах, подробно рассмотренные выше для изотропного материала, могут быть распространены и на случай ортотропного материала, например, подчиняющегося закону Гука в форме равенств (4.9). В этом случае, проводя решение в напряжениях и используя функцию напряжений Ф х, у) (4.18), придем не к бигармоническому уравнению (4.20), а к уравнению совместности деформаций такого вида [c.108]

Для определения коэффициентов Л, S, С нужно, кроме двух граничных условий (6.46), иметь еще и третье условие. Третьим условием является независимость проекций вектора перемещения Ur, Ыф от полярного угла ф, так как независимость компонентов тензора напряжений от угла ф не обязательно приводит к независимости вектора перемещения от полярного угла ф. Для случая плоской деформации г и ф определяются из формул закона Гука [c.112]

Формулы закона Гука для плоского напряженного состояния (9.51) и для плоской деформации (9.52) можно привести соответственно к следующим видам [c.232]

При экспериментальном исследовании плоского и линейного напряженного состояний применяется тензометрия. По найденным опытным путем деформациям с помощью закона Гука определяют напряжения. Для обработки экспериментальных данных необходимо иметь зависимости, устанавливающие связь между деформациями в данной точке по различным направлениям. [c.44]

Перепишем закон Гука для плоской деформации и обобщенного плоского напряженного состояния, представив напряжения через функцию Эйри [c.368]

Формулы (6.51) выражают обобщенный закон Гука для изотропного тела, т. е. зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае трехосного напряженного состояния. Заметим, что сжимающие напряжения подставляют в эти формулы со знаком минус . Из формул (6.51) легко получить формулу закона Гука для плоского напряженного состояния. Например, для случая О2 = 0 [c.194]

Расчеты на прочность с учетом пластических деформаций будут рассмотрены в гл. 19. Здесь ограничимся лишь определением нормальных напряжений при изгибе балки прямоугольного поперечного сечения, материал которой не следует закону Гука на протяжении всего процесса нагружения, причем зависимости между напряжениями и деформациями различны при растяжении и сжатии. Рассмотрим также случай изгиба при различных модулях упругости для растяжения и сжатия. Опыты показывают, что и в указанных случаях гипотеза плоских сечений справедлива. [c.346]

При этих предположениях основные уравнения плоской деформации дифференциальные уравнения равновесия (5.2), условия на поверхности (5.3), формулы Коши (5.4) и уравнение сплошности (5.5) сохранят такой же вид и в задаче об обобщенном плоском напряженном состоянии, а формулы закона Гука (4.5) примут следующий вид [c.54]

Эти формулы отличаются от формул закона Гука для плоской деформации (5.7) только значениями упругих постоянных. Следовательно, при решении задач о плоской деформации и обобщенном плоском напряженном состоянии можно пользоваться одними и теми же уравнениями и объединять обе задачи в одну плоскую задачу теории упругости. [c.54]

Возьмем уравнение сплошности (5.5) и подставим в него деформации из формул закона Гука (5.8) для обобщенного плоского напряженного состояния. После упрощения получим [c.54]

Для полного решения задачи вычислим деформации и перемещения. Из формул закона Гука для плоской задачи (5.8) после подстановки в них напряжений (5.24) находим [c.68]

Формулы закона Гука для обобщенного плоского напряженного состояния в полярных координатах также получим как частный случай из формул закона Гука в цилиндрической системе координат (3.3), сохраняя только составляющие напряжений и деформаций, действующие в плоскости 0Ог [c.83]

Подставляя теперь выражения для компонент деформации (48), (49) и (50) в уравнения, выражающие закон Гука для плоского напряженного состояния [c.93]

Для перехода от деформаций тела к напряжениям используем закон Гука ( 6) при плоском напряженном состоянии [c.557]

Относительные линейные и угловые деформации ребер элемента можно вычислить на основании обобщенного закона Гука. Для плоского напряженного состояния [c.24]

Поперечные сечения бруса остаются плоскими и не смещаются вдоль его оси, а контуры сечений и их радиусы не деформируются, т. е. для любой точки бруса деформации ,,, j, и в направлениях ребер рассматриваемого параллелепипеда равны нулю. Из формул (3.22), выражающих обобщенный закон Гука, очевидно, что условие ,, = Ej, = О выполняется лишь в случае [c.173]

В курсах теории упругости дается вывод уравнений равновесия плоской задачи теории упругости (в этом случае имеем три уравнения равновесия в пренебрежении массовыми силами и инерционными членами). Приведем полную систему, которая замыкается законом Гука для изотропного тела при плоской деформации [c.20]

Если воспользоваться законом Гука и выразить из (2.1) смещения и, V через напряжения, определяемые соотношениями (2.7), то получим следующие выражения для случая плоской деформации (8г = 0) [c.22]

Связь менаду деформациями и напряжениями определяется уравнениями обобщенного закона Гука. В случае обобщенного плоского напряженного состояния эти уравнения имеют вид [c.67]

Равенства являются выражением закона Гука при наиболее общем для изотропного тела случае — при объемном напряженном состоянии и объемной деформации. Исключая из (13.3) значение Стз, получаем закон Гука для плоского напряженного состояния, а исключая Стз и Оз — для линейного напряженного состояния. [c.213]

Закон Гука для случая плоской деформации представим в виде, разрешенном относительно компонент тензора деформаций [c.496]

Из того факта, что критерий максимальной деформации описывается, как показано на рис. 4, кусочно линейными функциями, следует необходимость наложения дополнительных ограничений на поверхность прочности в пространстве напряжений, обеспечивающих согласование критерия с известными физическими представлениями о явлении разрушения. В случае плоской деформации пластин из анизотропного материала, подчиняющегося закону Гука (утверждение (20)), критерий максимальной деформации можно записать через максимальные напряжения [c.423]

Сопоставление уравнений двух случаев плоской задачи теории упругости. Сопоставление уравнений, полученных выше для двух случаев плоской задачи теории упругости, показывает, что все группы соответствуюш,их уравнений в сравниваемых задачах идентичны, за исключением уравнений закона Гука, в которых различие состоит лишь в величинах упругих постоянных — в случае плоского обобщенного напряженного состояния имеют место обычные модуль упругости Е и коэффициент Пуассона [i, в случае же плоской деформации вместо этих величин в уравнениях фигурируют ) i = /(l —ц ) и Hi = [i/(1—ц). Полная идентичность уравнений, за исключением только что отмеченной [c.661]

Выразим уравнение совместности деформаций (9.90) через напряжения. С этой целью воспользуемся законом Гука (применим вариант обобщенного плоского напряженного состояния — уравнения (9.91)). Подставляя (9.91) в (9.90) и сокращая на Х/Е, будем иметь [c.662]

Вторая гипотеза используется лишь при определении перемещений и связанной с ними осевой деформации волокон стержня, параллельных его оси. Эта гипотеза, таким образом, используется при определении лишь нормальных напряжений в плоскости поперечного сечения стержня на основании уравнений закона Гука. Касательные же напряжения в рамках второй гипотезы, разумеется, не могут быть определены при помощи закона Гука, поскольку согласно этой гипотезе сдвиги равны нулю. Для определения касательных напряжений используется уравнение равновесия. Картина здесь совершенно аналогична наблюдаемой в теории поперечного изгиба стержней гипотеза плоских сечений применяется лишь для определения и (путем использования закона Гука), для отыскания же х х и (или) Хгу рассматривается равновесие элемента балки, так как закон Гука применен быть не может, поскольку в рамках гипотезы плоских сечений сдвигов нет. [c.386]

Если исходить из переменности модуля упругости и сохранения гипотезы плоских сечений при условии малости деформаций, то для стержней, выполненных из такого материала, дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня оказывается таким же, как и в случае соблюдения закона Гука, а следовательно, сохраняют свой вид и формулы для критической силы и критического напряжения, с той лишь разницей, что вместо постоянного ) (Eq) вводится переменный модуль упругости Е = Е а) [c.367]

Здесь а,- и 0а — радиальное и кольцевое напряжения в точке с радиусом г, являющиеся всюду главными напряжениями а ти Ъ — внутренний и наружный радиусы кольца ра, Ръ внутреннее и наружное давления. Используя закон Гука для случая плоского напряженного состояния, можно получить следующие выражения для деформаций в кольце [c.81]

При решении задачи использована гипотеза плоских сечений, теорема о разгрузке , предложенная А. А. Ильюшиным, и закон Гука. Упругие деформации внеконтактных участков заготовки при правке (разгибании) не учитывались. [c.96]

Определим деформации 8,и ед в направлениях главных напряжений при плоском напряженном состоянии (рис. И.30). Для этого используем закон Гука для одноосного напряженного состояция [см. формулу (II.3)], а также зависимость (II.5) между продольной и поперечной деформациями и принцип независимости действия сил (принцип сложения деформаций). [c.60]

Для плоской деформации все приведенные уравнения, кроме закона Гука, остаются в силе. Закон Гука записывается в несколько отличной форме ввиду наличия напряжения (4.2). Так, например, первая строка (4.7) получает вид == — ia )/E. Подста- [c.74]

Формула (8.86) носит общий характер, хотя и получена на примере плоской задачи. Чтобы ею воспользоваться, необходимо построить только две матрицы, а именно матрицу закона Гука D, связывающую напряжения и деформации (или усилия и деформации), и матрицу В, которая позволяет перейти от перемещений к деформациям в элементе. Это иллюстируется далее на примере задачи изгиба пластины. [c.266]

На втором допущении надо остановиться несколько подробнее, так как нередки ошибки, связанные с его изложением. Это допущение о линейной зависимости между перемещением и силами, его вызывающими, или допущение о линейной деформируемости системы. Нередко это допущение отождествляют с законом Гука, но это верно только в историческом аспекте. В настоящее время закон Гука трактуется как закон, описывающий поведение не конструкции, а ее материала, закорг, устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями (а не силами и перемещениями). Мы упоминаем об истории вопроса потому, что сам Гук действительно говорил (выражаясь современным языком) о линейной деформируемости стержня или пружины. Нетрудно представить, скажем, стальную плоскую пружину малой жесткости. При ее нагружении в пределах пропорциональности перемещения будут велики и нелинейно связаны с вызывающей их силой, в то же время материал пружины будет работать в пределах справедливости закона Гука. Итак, в качестве второго допущения надо формулировать принцип линейной деформируемости, не упоминая о законе Гука сведения о нем будут даны в теме Растяжение . [c.54]

Если на всей поверхности тела заданы усилия, граничные условия задают на поверхности линейные комбинации искомых функций, т. е. напряжения. Но если заданы перемещения точек поверхности, то сформулировать граничные условия в напряжениях в общем виде невозможно эти условия будут содержать некоторые интегралы от напряжений и их производных, которые получатся, если в формулы Чезаро внести выражения деформаций через напряжения по закону Гука. Иногда, например, в плоской задаче теории упругости соответствующие преобразования удается довести до конца. [c.251]

Рассуждения, приведенные в 157, показывают, что перемещения и, v, W, которые в действительности возникают в теле, когда в каждом его элементе существуют несовместные компоненты деформации (а), совпадают с t ivh, которые возникают в обычном упругом теле при действии объемных сил (д) и поверхностных сил (е). Однако некоторые общие особенности такой деформации можно вывести из условий равновесия в предположении, что после введения деформаций (а) поведение элементов подчиняется закону Гука. Рассмотрим, например, тело, в котором имеются начальные напряжения Ох, , Гху причем тело в целом свободно от каких-либо нагрузок или связей (рис. 233). Для любой части тела, находящейся справа от плоского сечения АА, параллельного плоскости г/2, равновесие требует, чтобы [c.471]

Предположим, что касательное напряжение в любой точке поперечного сечения (рис. III.8, а) с координатами р, а направлено произвольно по отношению к радиусу. Разложим его на два компонента — нормальный к радиусу и Tjjp— направленный по радиусу. Рассмотрим деформацию элемента, вырезанного из бруса (рис. III.8, б). Отрезок О А = = ОА —из гипотезы жесткости сечения в своей плоскости у р = О — из гипотезы Бернулли (поперечное сечение остается плоским). Но т ,р = Gy р—закон Гука при чистом сдвиге, поэтому Т ,р = О и х = [c.90]

Различие между этими разделами механики состоит, во-первых, в рассматриваемых объектах (так, например, в курсе сопротивления материалов рассматривается главным образом брус, в теории упругости помимо бруса изучаются нанряжеиное и деформированное состояния пластин, оболочек, массива, а в строительной механике объектами изучения являются системы, состоящие из стержней (фермы), балок (рамы), пластин и оболочек) во-вторых, в принимаемых допущениях (теории упругости, пластичности и ползучести отличаются друг от друга тем, что в них принимаются различные физические законы, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями, но не вводится каких-либо деформационных гипотез, а в сопротивлении материалов физический закон тот же, что и в теории упругости (закон Гука), но, кроме того, принимается дополнительно ряд допущений — гипотеза плоских сечений, ненадавлпвания волокон и т. д.) в-третьих, в методах, используемых для решения задач (в теории упругости приходится решать существенно более слопшые уравнения, чем в сопротивлении материалов, и для их решения приходится прибегать к более сложным математическим методам). [c.7]

Далее рассмотргш физические уравнения, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями при обобщенном плоском напряя енном состоянии. В полярных координатах уравнения закона Гука имеют следующий вид [c.92]

При вычислении констант слоистой модели трехмерноармированного композиционного материала применяют два подхода. В первом из них используют обобщенный закон Гука для ортотропного слоистого материала в случае трехмерного деформирования. Исходя из условия равенства послое-вых деформаций, параллельных плоскости слоев (условия Фойгта), и равенства напряжений, перпендикулярных плоскости слоев (условия Рейсса), вычисляют все константы материала. Во втором подходе [4] используют зависимости, в которых напряжения Oft, перпендикулярные плоскости слоев 1/, не учитывают, что следует из условий плоской задачи. Тогда свойства материала в направлении k следует рассчитывать при сведении трехмерной структуры к слоистой, но [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...