Уравнение Пойнтинга

Следует отметить еще одно важное обстоятельство. Если две фазы находились при одинаковом давлении Pq, а затем давление одной из фаз было увеличено до Pi, то не следует думать, что теперь разность давлений, действующих на фазы, р, равна (Pi—Po) - в соответствии с уравнением Пойнтинга неизбежно должно возрасти давление и во второй фазе (до величины р > Ро), и, следовательно, разность p =Pi P2 будет всегда меньше, чем дополнительное давление на первую фазу pi—po). [c.149]

В соответствии с уравнением Пойнтинга [c.149]

Рассмотрим сферическую каплю жидкости, находящейся в равновесии со своим насыщенным паром при некоторой температуре Т . Если бы поверхность раздела между жидкостью и паром была плоской, то давление жидкости было бы равно давлению паровой фазы это было бы давление Ро — давление насыщения при температуре Tq. Однако в случае сферической капли на жидкую фазу действует дополнительное давление, обусловленное силами поверхностного натяжения. В соответствии с уравнением Пойнтинга ( 5-8) при этом возрастет давление и в паровой фазе. Если — давление в жидкой фазе, а — давление пара над каплей [c.152]

Как известно из курса общей термодинамики, при увеличении давления на одну из сосуществующих фаз возрастает давление и во второй фазе в соответствии с так называемым уравнением Пойнтинга [c.157]

Влияние внешнего давления на давление паров. Известно, что давление паров жидкости увеличивается с повышением общего давления, оказываемого на ее поверхность (например, давления инертного газа), в соответствии с уравнением Пойнтинга. [c.376]

Дальнейшие преобразования этого выражения нужно проводить при помощи энергетического тождества, называемого уравнением Пойнтинга. [c.187]

Теперь видно, что уравнения (3.4.14) и (3.4.15) являются всего лишь тождествами, которые непосредственно следуют из условий на разрывах для уравнений Максвелла в вакууме и из условия на разрыве, следующего из вырожденной формы уравнения Пойнтинга в вакууме, т. е. уравнения (см. (3.3.60)) [c.193]

Поскольку электромагнитная волна перемещается в пространстве, то одновременно будет осуществляться и перенос электромагнитной энергии, объемная плотность которой определяется для каждого момента времени по (1-5). Вектор переноса энергии электромагнитной волной был введен в 1884 г. Пойнтингом Л. 15]. Его выражение, вытекающее из уравнений Максвелла и формулы (1-5), имеет вид [c.16]

Это важное уравнение, впервые полученное английским физиком Д. Т. Пойнтингом, приводит нас к несколько неожиданному результату — оно показывает, что если возрастет давление на одну из фаз, находящихся в равновесии, то увеличится давление и во второй фазе, причем увеличение давления во второй фазе во столько раз меньше (или больше) приращения давления в первой фазе, во сколько раз удельный объем второй фазы меньше (или больше) удельного объема первой фазы. [c.148]

Следствием этого уравнения (впервые полученного Пойнтингом) является тот факт, что увеличение давления на одну из находящихся в равновесии фаз приводит к возрастанию давления и во второй фазе, причем увеличение давления во второй фазе [c.117]

Поскольку вектор Пойнтинга равен потоку энергии в среду, первое слагаемое в правой части выражения (4.1.10) должно быть равно и . Таким образом, мы имеем следующее уравнение [c.80]

Найдем, наконец, вектор Пойнтинга, который определяет направление распространения энергии из предыдущих уравнений следует, что [c.271]

Вектор Умова—Пойнтинга удовлетворяет уравнению div/ = 0. Следствием этого уравнения является закон сохранения мощности в лучевой трубке, образованной пучком лучей вблизи направления переноса электромагнитной энергии. Таким образом, соотношение (3.57) есть закон сохранения мощности Pir = P-dao = I-da в лучевой трубке с площадью doo в плоскости z = 0, в пределах которой [c.93]

V д.р = с1р" (уравнение Гиббса — Пойнтинга). (4.7> [c.201]

Гиббса — Пойнтинга уравнение 201 [c.299]

Основываясь на уравнениях Максвелла (2.6) — (2.9) для средних полей в веществе, можно показать, что плотность потока энергии и в этом случае характеризуется вектором Пойнтинга (1.50), хотя выражение для закона сохранения энергии электромагнитного поля в среде имеет иной вид, чем выражение (1.49) или (1.51) для вакуума. Для волны с определенным направлением вектора к (т. е. при параллельных к и к") вектор Пойнтинга направлен вдоль к. Интенсивность (среднее по времени значение плотности потока энергии) пропорциональна квадрату амплитуды напряженности поля, и в поглощающей среде, характеризуемой комплексным показателем преломления п + Ы, убывает вдоль направления волны по закону [c.81]

Уравнение (1.6.4) можно интерпретировать как закон сохранения энергии электромагнитного поля. При этом взятый с обратным знаком поток вектора Пойнтинга представляет собой полную энергию, втекающую в объем V за единицу времени >Уо — плотность запасенной в вакууме электромагнитной энергии — J Е — мощность, передаваемая от источников полю (при J Е < 0) [или от поля источникам (при J Е > 0)] в единице объема. И наконец, Е (ЭР/ ) — изменение в единице объема за единицу времени внутренней энергии электрических диполей за счет работы поля. [c.47]

Это и есть дивергентная форма основных уравнений движения. Здесь тс =руу —р — тензор плотности потока импульса среды, Л/"=(l V2 + е)ру-р-у-ЯУГ - вектор, получивший название вектора плотности потока энергии Умова — Пойнтинга их компоненты в прямоугольной декартовой системе координат равны = р — [c.306]

Из уравнений Максвелла следует для диэлектрика закон Пойнтинга (при проводимости, равной нулю) в форме [c.78]

Путем простых математических операций можно получить из уравнений Максвелла (1.3-2) и (1.3-3) закон Пойнтинга [c.83]

Уравнение (1.31-2) устанавливает связь между свойствами излучения электромагнитного поля, характеризуемого вектором Пойнтинга S., и векторами поля и их производными по времени. В смысле перехода к макроскопической электродинамике, который нам предстоит осуществить, эта связь должна соблюдаться в каждом элементе объема в любой момент времени t. Важные результаты можно получить при исследовании стационарных процессов в некотором элементе объема. Для этого следует определить усредненное по времени значение V.S., причем время усреднения должно быть велико по сравнению с обратными значениями частот рассматриваемых процессов. Если в соответствии с реальными обстоятельствами принять, что функции . (01 и [c.84]

Возникает следующая общая задача найти решение уравнения (1.32-1) для E.(t,r,) при определенных граничных условиях. Граничные условия задаются физическими предпосылками поставленной пробле мы, и им может быть дана математическая формулировка. В качестве примера разберем часто встречающийся случай. Пусть некоторая граничная поверхность диэлектрика заданным образом облучается снаружи. Тогда можно считать заданной зависимость напряженности электрического поля от времени. Если в результате решения уравнения (1.32-1) напряженность поля найдена как функция t и г., то Р. и У.Х( / ОР также определяются как функции / иг. по уравнению (1.3-4). Выражение V. X X (д д1)Р. следует рассматривать как неоднородный член в уравнении (1.32-2), тогда как остальные члены линейны по Н,. Определение решения Я. (/, г.) этого дифференциального уравнения приводит вместе с решением первого дифференциального уравнения к нахождению . X Я и вектора Пойнтинга 5 как функции координат и времени. Из изложенного следует, что определение E. t,r.) из уравнения (1.32-1) занимает центральное место во всей поставленной задаче. Ниже мы разъясним связанные с этим вопросы. , [c.91]

Поэтому становится возможным использование уравнений (1.32-22) и (1.32-23) в качестве исходных уравнений для расчета усиления и генерации волн. В частности, мы рассмотрим и здесь также нелинейную, анизотропную среду, в которой все волны распространяются в одном и том же направлении, за которое мы выберем ось г лабораторной системы координат. Кроме того, предположим, что направления векторов Пойнтинга приближенно совпадают с направлениями распространения волн подобно тому, как это уже было сделано в 1.3. В оптически одноосных кристаллах мы расположим ось у лабораторной системы в плоскости главного сечения, т. е. в плоскости, определяемой оптической осью и осью г. Тогда X- и //-компоненты напряженности поля будут распространяться соответственно как обыкновенные и необыкновенные волны. [c.164]

При выводе были сделаны известные приближения, оправданные с точки зрения применений и ниже количественно обоснованные (в частности, мы полагали соо (Ою, (Ою 3> > Г- и в связи с этими соотношениями пренебрегли вещественными частями восприимчивости X в первом и в третьем порядках). На основании закона Пойнтинга из этого уравнения легко вычислить энергию излучения, выделившуюся в единице объема и в единицу времени (ср. ч. I, разд. 1.31).Можно написать [c.292]

Продолжая сравнение теоремы Пойнтинга с уравнением сохранения энергии, заметим, что член, описывающий взаимодействия электромагнитного поля и вещества, представлен теперь в виде Е. Поскольку выражение для вектора из уравнений Максвелла не следует, никакой новой информации по поводу членов взаимодействия мы, естественно, таким путем не получаем. [c.26]

Если направление оси поменять на обратное, что соответствует направлению оси у навстречу вектору Пойнтинга, то уравнение [c.116]

Важно подчеркнуть, что уравнение Пойнтинга справедливо только в том случае, если 7 = onst. Иными словами, если возрастет давление на одну из находящихся в равновесии фаз, то давление в другой фазе увеличится только в том случае, когда температура сосуществующих фаз поддерживается постоянной. Если же это ограничение не наложено, то увеличение давления на одну из фаз вовсе не обязательно должно сопровождаться изменением давления во- второй фазе (у рассматриваемой системы появляется лишняя степень свободы). Этот случай фазового равновесия описывается приводимым несколько ниже уравнением (5-152). [c.149]

Это важное соотношение, до известной степени напоминающее уравнение Клапейрона—Клаузиуса, связывает между собой величины dpIdT для сосуществующих фаз при неодинаковых давлениях в этих фазах. Если давления в сосуществующих фазах одинаковы, то уравнение (5-152) автоматически преобразуется в обычное уравнение Клапейрона—Клаузиуса (5-107). Если же r= onst, то это уравнение превращается в уравнение Пойнтинга (5-142). [c.150]

Рассмотрим однородный слой упругой непроводящей поляризующейся и намагничивающейся среды О < а < 1 (х, как всегда, лагранжева координата). Пусть этот слой подвергнут однородной деформации, соответствующей некоторым значениям щ. Для определенности будем считать, что частицы, соответствующие X = О, при этой деформации не переместились, а перемещения частиц, соответствующих х = 1, определяются вектором с компонентами щ. Вследствие деформации среды или из-за изменения внещнего поля в рассматриваемом слое могут измениться векторы D и В. Изменение поля, поскольку отсутствуют токи и заряды, описывается системой (2.34). Уравнение Пойнтинга (2.35) показывает, что изменение D и В сопровождается возникновением потока электромагнитной энергии вне слоя и притоком электромагнитной энергии к слою, занятому средой. Это отличает рассматриваемую ситуацию от того, что обычно имеет место в механике сплошной среды и в магнитоупругости. [c.147]

Рассмотрим этот случай более детально. При медленном растяжении величина может быть подсчитана в соответствии с уравнением (III, е) и выражена через напряжение, или деформацию, относительный объем или плотность. Между всеми этими величинами имеются однозначные зависимости. Следовательно, в этом случае имеется определенное всестороннее растягивающее напряжение (или объемное расширение, относительный объем, плотность), при котором материал разрушится. Как сказано выше, это всестороннее растягивающее напряжение равно молекулярным или атомным силам сцепления. Соответственно для непористых материалов прочность при всестороннем растяжении должна быть очень высокой. В классической гидродинамике принимается, что жидкости не имеют такой прочности, однако Пойнтинг и Томсон (1929 г.), исходя из термодинамического рассмотрения, оценили, что прочность воды при всестороннем растяжении равна около 25 ООО am, а Ван дер Ваальс вычислил из своего уравнения величину, равную приблизительно 10 ООО am. Рейнольдс нашел из действительного эксперимента, что вода может выдерживать без разрушения растяжение около 5 am. В письме (1943 г.) я предположил, что хорошо известное явление кавитационной эрозии металлов может быть следствием отрыва частиц металла водой, прежде чем достигается ее собственная прочность при растяжении. Это означало бы, что прочность металла при всестороннем растяжении ниже, чем воды. В ответ на мое письмо, Сильвер (Silver, 1943 г.) указал, что разрушение жидкости происходит благодаря... образованию пузырьков пара. Образование полостей, заполненных паром, вокруг ядер не позволяет достигнуть полной прочности на растяжение, что косвенно подтверждает расчетное значение прочности на растяжение для жидкости в замкнутом пространстве . Это означает, что жидкость в действительности не является непористым телом, она содержит микроскопические полости, вокруг которых имеется концентрация напряжений. Теперь, если даже жидкость в действительности имеет поры, молекулы которой легко затекают внутрь пор, уменьшая и закрывая их, то тем более это нужно предположить относительно твердых тел, где поры, образующиеся в процессе формирования, являются устойчивыми. Следовательно, в то время как теоретически сцепление может быть очень высоким, в действительности, ввиду наличия пор и трещип, прочность при всестороннем растяжении будет сравнительно низкой. [c.122]

Движения энергии происходят с помощью упругих волн и выражаются простой теоремой Количество энергии, проходящее через элемент поверхности тела в единицу времени, разно силе давления, или натяжения, действующей на этот элемент, умноженной на скорость движения элемента . Эта теорема ничем не отличается от теоремы Максвелла о световом давлении. Позднее, в 1884 г. идеи Н. А. Умова воспринял английский физик Пойнтинг в применении к электромагнитному полю [33 ]. Свойства перехода энергии от одного тела к другому Умов раскрывает на основе аналогии со свойствами перехода вещества. Энергия систе.мы тел не зависит от вида превращения энергии при переходе системы из одного состояния в другое, принимаемое нормальным . Энергия системы за время преврап1,ения уменьшается на величину, эквивалентную внешним воздействиям. Умов предложил следующий вид уравнения движения энергии [c.74]

В этой вводной главе дается обзор и вывод некоторых основных соотношений для классических электромагнитных полей. Исходя из у ивнений Максвелла и материальных уравнений, мы получим выражения для плотности и потока энергии электромагнитного поля. Будет доказана теорема Пойнтинга, а также выведены законы сохранения и волновые уравнения. Мы подробно рассмотрим распространение монохроматических плоских волн и некоторые их важные свойства, а также обсудим понятия фазовой скорости и групповой скорости волнового пакета, распространяющегося в среде с дисперсией. [c.9]

СкЕшярная величина U представляет собой плотность энергии электромагнитного поля и имеет размерность джоуль на кубический метр (Дж/м ). Вектор S является потоком энергии и называется вектором Пойнтинга он имеет размерность Дж/(м -с). Величина ISI — это мощность, переносимая полем через единичную площадку в направлении вектора S и имеющая размерность ватт на квадратный метр (Вт/м ). Таким образом, величина V-S представляет собой результирующий поток электромагнитной мощности из единичного объема. Соотношение (1.2.4) известно как уравнение непрерывности или сохранения энергии (теорема Пойнтинга). Аналогичным образом можно получить законы сохранения импульса для, электромагнитных полей. Мы предлагаем читателю вывести их самостоятельно в качестве упражнения (задача 1.4). [c.14]

Чтобы решить краевую задачу электромагнитной дифракции, кроме использования уравнений Максвелла и граничных условий, необходимо удовлетворить также некоторым дополнительным условиям. Одно из них — это принцип излучения на бесконечности Зоммерфельда, согласно которому количество энергии от источников, проходящей через конечную площадку, находящуюся на бесконечном удалении от этих источников, стремится к нулю. (На самом деле этот принцип несколько более сильный он утверждает, что источники должны излучать, а не поглощать энергию.) Второе условие следует из закона сохранения энергии и теоремы Пойнтинга. Третье условие возникает в процессе разложения поля в ряд Фурье по плоским волнам и требует включения волн не только с действительными волновыми числами, но и с мнимыми. Для волн с мнимыми волновыми числами, т. е, затухающих волн, или же в общем случае неоднородных волн с комплексными волновыми числами, поверхность равной амплитуды не совпадает с поверхностью равной фазы. Например, в двумерном случае обычной цилиндрической линзы, вариации толщины которой создают изменения в поглощении света в линзе, поверхности равных фаз и равных амплитуд ортогональны друг другу. В рптцке чаще всего встрв чаются именно неоднородные во.дны. [c.37]

Вектор Пойнтинга S = [ЕН] определяет интенсивность волны вдоль луча J(x) = сЕопо . Поскольку S = a p/ /Lto = J(x)ei, то интенсивность можно найти из уравнения div (Jei) = 0. [c.297]

Если принять во внимание зависимость между напряженностью электрического поля и усредненным по времени вектором Пойнтинга, то дифференциальное уравнение (1.31-10) можно привести к виду, в котором в правой части амплитуды заменяются на (5(/а г)), так что будет присутствовать только одна функция, зависящая от 2. При наших исходных предположениях амплитуду напряженности магнитного поля, направленного вдоль оси у, можно положить равной (п - 7цос) (/а г), причем следует считать (д, = 1 ( > —линейный вещественный показатель преломления. Отсюда следует [c.88]

Выпишем на основании уравнений Максвелла выражение для ШуЗц, где —вектор Умова — Пойнтинга [c.33]

Геометрические световые лучи можно теперь определить как траектории, ортогональные к геометрическим волновым фронтам / = onst. Мы будем приписывать этим линиям направление, полагая, что оно совпадает в каждой точке с направлением усредненного вектора Пойнтинга ). Если радиус-вектор ns) точки Р, расположенной на луче, рассматривать как функцию длин s дуги луча, то dr/ds = s, и уравнение луча запишется в виде [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...