Лагранжа уравнение формула

Для дальнейшего преобразования используем тождество Лагранжа, полученное при выводе уравнений Лагранжа [см. формулу (32) 9 гл. 61 [c.422]

Поскольку мы наложили геометрические ограничения на характер деформации балки и предопределили заранее ноле деформаций, заданное формулой (12.1.2), содержащей две неизвестные функции одной только переменной z, для получения уравнений изгиба естественно применить вариационный принцип Лагранжа. Построим функционал Лагранжа но формуле (8.7.5) [c.388]

Уравнения движения системы в промежутке времени — согласно принципу Даламбера и преобразованию Лагранжа, выражаются формулой [c.459]

Покажем, что дифференциальные уравнения экстремалей интеграла (3) представляют собой в точности уравнения Лагранжа. Уравнения экстремалей ), на основании общих формул вариационного исчисления, будут [c.228]

Лаги для фундаментов под станки—Конструкции 14 — 550 Лагранжа уравнение 1 (2-я) — 34 Лагранжа уравнение движения 2 — 68 Лагранжа формула 1 (1-я)—149 Лаки 4 — 413, 416 — см. также Нитролаки [c.127]

Эйлера интеграл второго рода 1 (1-я)—139 Эйлера интеграл первого рода 1 (1-я)—172 Эйлера формула 1 (1-я) — 218 Эйлера-Лагранжа уравнения 1 (1-я) — 251 Эквивалентность пар I (2-я)—17 Эквивалентные системы сил 1 (2-я) — 14 Экзотермические реакции 1 (1-я) — 370 [c.352]

Преобразуем выражение для б / аналогично тому, как это делалось при выводе вариационного уравнения Лагранжа. Подставляя формулы Коши (1.7) в подынтегральное выражение и группируя соответствующие члены, имеем [c.40]

Пользуясь формулами для кинетической энергии (2) и обобщенных сил (4), составим, следуя Лагранжу, уравнения с липшими коор- [c.520]

Вариационный принцип наименьшего действия также выведен Лагранжем из формулы (Ь) 1, но показано также, что из этого принципа можно получить уравнения движения. Все это оправдывало имеющееся в предисловии заявление автора о том, что его работа объединит и представит с одной и той же точки зрения различные принципы, открытые с целью облегчения решения механических задач, укажет их связь и взаимную независимость, даст возможность судить об их правильности и сфере их применения. [c.157]

Будем использовать интерполяционную формулу Лагранжа (уравнение (3.390)), чтобы представить функцию Р(г). Интеграл от функции в пределах г и 2 + можно выразить как [c.366]

Рассмотрим теперь некоторую заданную и голоморфную внутри контура 5 функцию Ф(г). Тогда разложение этой функции от корня уравнения Лагранжа дается формулой [c.237]

Эти уравнения можно написать в сокращенном виде путем введения скобок Лагранжа, определяемых формулой [c.241]

В важной работе Брауэра [3] показано, что при двукратном интегрировании вероятная ошибка равна 0,1124/г , где п — число шагов (величина ошибки выражена в единицах, соответствующих последней значащей цифре). Так, например, после 100 шагов численного интегрирования уравнений второго порядка, описывающих движение спутника, мы с вероятностью 50% можем ожидать, что ошибка округления будет меньше 112,4. В этой работе также показано, что средние ошибки оскулирующих элементов орбиты, полученных численным интегрированием уравнений движения планет в форме Лагранжа (уравнений первого порядка) или при помощи обычных формул по компонентам х, у, г) и х, у, 2), будут пропорциональны Исключением является средняя орбитальная долгота, для которой средняя ошибка опять-таки пропорциональна га . Правда, следует заметить, что она получается в результате двукратного интегрирования. [c.224]

Скобки Пуассона появляются при выводе уравнений движения планет в форме Лагранжа посредством формул (1) — (3). Так как вообще а = а (а. р), то на основании уравнений (1) имеем [c.200]

Уравнения равновесия в перемещениях и граничные усло-ви к ним могут быть получены преобразованием вариации полной потенциальной энергии с помощью формулы для интегрирования по частям. Однако удобнее прямо воспользоваться уравнениями Эйлера —Лагранжа и формулами для естественных граничных условий, которые в случае изучаемого нами функционала [c.104]

Вывод уравнений Лагранжа. Для получения из (30) уравнений Лагранжа для обобщенной силы инерции необходимо доказать справедливость следующей формулы [c.408]

Структура уравнений Лагранжа и их составление. Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Число уравнений Лагранжа совпадает с числом обобщенных координат. Действительно, для кинетической энергии системы, используя ее определение и формулу (33) для [c.409]

Поскольку сила тяжести Р потенциальная, то уравнение Лагранжа можно составить в виде (129). Направляя ось 02 вертикально вниз, имеем в данном случае П=—Рг=—Ра os ф. Тогда по формуле (128) [c.381]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Так как система находится под действием консервативных сил —сил тяжести, то воспользуемся уравнениями Лагранжа для консервативной системы. Для этого найдем потенциальную энергию системы, пользуясь формулой (73.2), приняв плоскость движения ползуна за нулевую плоскость [c.361]

Произвести указанные в формулах (22) частное и полное дифференцирование, т. е. подставить полученные выше выражения для кинетической энергии и обобщенных сил в уравнения Лагранжа. [c.134]

Использование уравнений Лагранжа для систем, содержащих механические голономные связи. Если система содержит механические связи, но все они голономны, то можно в качестве новых координат использовать обобщенные координаты qi,. .., q (их число = ЗЛ/ — / 3/V равно числу степеней свободы системы), а формулы (8) получаются так, как это было пояснено выше (см. рассуждения, приводящие к формулам (60)). [c.155]

Из формул (56) и (57) следует, что для координаты ф уравнение Лагранжа имеет вид [c.192]

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

Обратим внимание теперь на то, что справедливо и обратное утверждение если соответствующая а = 0 кривая из пучка, представленного на рис. VI 1.2, такова, что действие по Гамильтону достигает на этой кривой стационарного значения и при а = 0 вариация действия равна нулю, то эта кривая удовлетворяет уравнению Лагранжа, т. е. является прямым путем. Действительно, если положить равной нулю вариацию действия в левой части уравнения (61) и вспомнить затем, что вариации координат б<7у независимы и могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла, порознь равны нулю, т. е. что уравнения Лагранжа удовлетворяются всегда, когда в формуле (61) левая часть обращается в нуль. [c.280]

Легко показать, что экстремаль является инвариантом преобразований, т. е. если преобразования (62) выполняются одновременно над кривой пучка, представляющей собой экстремаль, и над функционалом, то преобразованная кривая остается экстремалью для преобразованного функционала. Отсюда и из обратного утверждения принципа Гамильтона (см. выше) сразу следует, что преобразованный прямой путь удовлетворяет уравнениям Лагранжа с лагранжианом L, который определяется по формуле (64). [c.281]

Разумеется, как в том случае, когда время не преобразуется и L может быть вычислен по формуле (65), так и в том случае, когда время преобразуется и L вычисляется по формуле (64), новый лагранжиан (как функция новых переменных), вообще говоря, отличается от старого лагранжиана (как функции старых переменных). Именно поэтому мы говорим о ковариантности (а не об инвариантности) уравнений Лагранжа по отношению к любым преобразованиям вида (62). Но, разумеется, среди преобразований (62) содержатся и преобразования специального вида, такие, что для них L как функция новых переменных имеет совершенно такой же вид, что и L как функция старых переменных, т. е. [c.282]

Для построенного таким образом семейства можно рассмотреть действие по Гамильтону и вариацию действия. Для вариации действия по Гамильтону воспользуемся формулой (60). Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что все кривые однопараметрического семейства являются прямыми путями и, следовательно, на них тождественно выполняются уравнения Лагранжа. Поэтому интеграл, стоящий в правой части формулы (60), в данном случае тождественно обращается в нуль, и формулы для приращения функционала содержат только проинтегрированную часть [c.295]

После подстановки формул (3), (4) и (5) в уравнение Лагранжа второго рода (1) находим дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси [c.475]

После подстановки формул (2), (3), (4) и (5) в систему уравнений Лагранжа получим искомые дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки [c.477]

Подставив формулы (4), (7) и (8) в уравнение Лагранжа (2), получим [c.479]

Е> результате подстановки формул (3), (9) и (10) в уравнение Лагранжа (1) получим дифференциальное уравнение движения лебедки для обобщенной координаты срр. [c.483]

ЭТОГО нужно было мысленно разорвать данную систему на две части в точке сцепления зубчатых колес / и 2, заменив действие отброшенной части конструкции соответствующей силой реакции связи. В составленную систему дифференциальных уравнений движения войдет сила реакции связи. Лишь после исключения этой силы реакции из полученной системы уравнений можно прийти к формуле (11). Преимущество уравнений Лагранжа, не содержащих сил реакций связей, соверщенно очевидно. [c.484]

После подстановки формул (4), (7), (17) и (18) в уравнение (1) получим уравнения Лагранжа второго рода для обобщенных координат ач и s [c.501]

После подстановки формул (4), (5), (14), (15) и (16) в уравнения (1) получим уравнения Лагранжа для обобщенных координат фо и [c.510]

Переходим ко второму способу составления дифференциального уравнения малых колебаний при помощи уравнений Лагранжа. Выбираем угол ср за обобщенную координату системы. Тогда кинетическая энергия системы может быть представлена формулой [c.593]

Система уравнений Лагранжа второго рода представляет собой систему s обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат. Интегрирование этих уравнений дает нам обобщенные коорди наты Qu Qi, , как функции времени и 2s произвольных постоянных интегрирования. Далее на основании формул (3.19) можно получить декартовы координаты в зависимости от времени t и 2s произвольных постоянных интегрирования. [c.60]

Составив уравнения Лагранжа по формулам (1. I), получйм для обеих обобщенных координат [c.30]

В отличие от уравнений Лагранжа, при формули- ровке принципа Гамильтона пространственные коор-, динаты. явно не используются. Поэтому его можно применять для описания систем с бесконечным чис- Л лом степеней свободы, например произвольно колеб- > лющегрся тела. [c.64]

Начиная с этого параграфа, мы всегда будем считать, что оси I, т), направлены по главным осям тела для точки О. При таком выборе осей кинетическая энергия тела, как это было выяснено в 3, может быть предстгвлена формулой (43). Положим 1 = г1з, 2 = Ф. = 0 и, собираясь составить уравнения Лагранжа для тела с неподвижной точксй, прежде всего найдем, чему равны обобщенные силы, соответствующие эйлеровым углам. [c.191]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Е1озвращаясь к составлению уравнения Лагранжа для рассматриваемого кривошипно-шатунного механизма, вычислим частную производную от кинетической энергии Т, определенной формулой (17), [c.491]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...