Уравнения в вариациях для исследования устойчивости

УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИЯХ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [c.93]

Уравнения первого приближения (уравнения в вариациях) для исследования окрестности точек либрации L и б ограниченной эллиптической задачи трех тел составляют линейную систему с 2л-периодическими (относительно истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации L и Ц неустойчивы в смысле Ляпунова [85]. Здесь же сформулирована теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс. Этот результат согласуется с результатами исследования Ляпунова [64]. В дальнейшем многие исследователи [86], [129], [130], [131] и др., пользуясь аналитическими или численными методами, строили области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров 1, е (ц — малая возмущающая масса, е — эксцентриситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений (уравнений первого приближения). В нелинейной постановке при малых е [c.846]

Исследование устойчивости периодических решении, найденных методом малою параметра Пуанкаре, имеет ряд особенностей. Согласно теории А. М. Ляпунова (35J, решение вопроса об устойчивости зависит от характера решении системы уравнений в вариациях для уравнений (40) и решения (42) [c.54]

С целью исследования устойчивости полученных численно периодических решений запишем уравнение в вариациях для уравнения (2.3.5) [c.98]

Тогда для исследования устойчивости по первому приближению составляют систему, получаемую из (И ) отбрасыванием нелинейных слагаемых (уравнения в вариациях) [c.652]

Устойчивость траекторий (1). Впервые понятие устойчивости было установлено для системы, выведенной из положения равновесия ( 9.1). В 9.9 мы это понятие применили при исследовании равновесия гироскопической, системы, а в 9.6—при исследовании установившегося движения гироскопической системы. Наконец, при изучении уравнений в вариациях ( 23.1) мы ввели понятие устойчивости движения по первому приближению. [c.471]

Для исследования устойчивости рассматриваемых стационарных режимов воспользуемся уравнениями в вариациях системы (6) [c.131]

Для исследования устойчивости может быть применен метод составления уравнений вариаций в обобщенных функциях [74]. В практических расчетах используют энергетическое условие неустойчивости, позволяющее сразу выявить заведомо неустойчивые режимы. Если стационарный режим с одним соударением за период имеет параметры 1 и фо, то для неустойчивою движения [c.386]

Для исследования устойчивости полученных решений рассмотрим линеаризированное уравнение в вариациях (5.53) [c.154]

Тогда, все корни уравнения в вариациях будут чисто мнимыми и если среди этих корней нет одинаковых (т. е. три пары чисто мнимых корней все различны), то точки либрации L ) и ( 5) будут устойчивы в первом приближении. Сохранится ли эта устойчивость для точных уравнений (5.47) или нет, неизвестно, и этот вопрос требует дополнительного, тщательного исследования, которое может быть иногда проведено только в частных случаях. [c.257]

Понятие устойчивости можно ввести также и для периодических орбит. По традиции это делается с использованием характеристических показателей Пуанкаре. Для строгого определения и исследования устойчивости периодических орбит необходимо проинтегрировать уравнения в вариациях. Вначале рассмотрим понятие поверхности сечения. [c.168]

Одна из важных особенностей исследования характера решений системы в вариациях (52) связана с наличием в ней малого пара.метра. Если система, получающаяся из (52) при ц = О, т. е. система (46), имеет только затухающие при t оо решения, то изучаемое движение асимптотически устойчиво и при достаточно малых ц. Если система (46) имеет хотя бы одно неограниченно возрастающее при /-> оо решение, то рассматриваемое движение при достаточно малых (х неустойчиво. Когда система (46) имеет периодические решения, для ответа на вопрос об устойчивости движения (даже при достаточно малых i) необходимо рассмотреть члены уравнений (52), содержащие J.. [c.54]

От этих недостатков свободна методика исследования, основанная на рассмотрении уравнения движения <в вариациях относительно скорости и перегрузки летательного аппарата. С помощью этой же методики можно провести анализ устойчивости режимов скорости. Отметим, что необходимость такого анализа для летательного аппарата с РПД связана со спецификой прямоточного двигателя, заключающейся в зависимости тяговых характеристик от скорости полета. [c.245]

Применение энергетического метода сводится к исследованию свойств квадратичного функционала потенциальной энергии Э, равной сумме потенциальной энергии деформации (внутренней энергии) и потенциальной энергии внешних сил. Если для всех кинематически допустимых вариаций состояния Ь Э >> О, то состояние равновесия устойчиво если хотя бы для некоторых вариаций < О, то неустойчиво. Критическое значение параметра р следует искать среди тех значений, для которых одновременно ЬЭ = О, ЬЮ = 0. В предположениях, при которых составлены уравнения возмущенного движения (3.6), имеем [c.335]

Для эффективного построения приближенного решения необходимо предварительно решить уравнения первого или второго приближения (усредненные уравнения). Однако эти уравнения (так же, как и точные) являются дифференциальными, что накладывает определенные ограничения на возможность применения изложенного метода. В большинстве случаев усредненные уравнения, в особенности уравнения первого приближения, более простые и поддаются исследованию. Во многих случаях, в которых общее решение не удается получить, можно найти важные частные решения, например, соответствующие установившимся колебательным процессам. При п = 1 уравнения первою приближения (125) интегрируются в квадратурах при п = 2 для их исследования может быть использована известная теория Пуанкаре. При любом п, если Хо ( ) обращается в нуль в некоторой точке = о, можем рассматривать квазистатическое решение j = уравнений первого приближения. Для исследования устойчивости этого решения можно поступать обычным образом, составив уравнения для малых отклонений (уравнения в вариациях) [c.86]

Еще одно направление, в котором развивались исследования по аналитической механике,— применение понятия теоретически устойчивых двия№пий к исследованию действительных движений механики. Основные работы и здесь принадлежат Н. Г. Четаеву, который высказал и развил идею о возможности создании аналитической механики на основе отбора истинных состояний движения из всех возможных движений, обладающих устойчивостью того или иного характера. Эта идея была развита Чета-евым в работах 1931 — 1945 гг. Сформулировав задачу об устойчивости механических систем, Четаев дает строгое доказательство того, что для невозмущенных движений в случае их устойчивости в первом приближении уравнения Пуанкаре в вариациях будут иметь лишь нулевые характеристические числа. Если невозмущенное движение устойчиво, то соответствующие уравнения в вариациях [c.289]

Это условие является вариационной формулировкой статического критерия устойчивости, так как из него непосредственно следуют дифференциальные уравнения статического критерия. Таким образом, для исследования устойчивости можно использовать или условие (0.1), или условие (0.3). Эти условия свидетельствуют о том, что приращение энергии в точке бифуркации становится положительно полуопределенной функцией — функцией, принимающей или положительные, или нулевые значения. Можно также использовать условие минимума второй вариации [c.54]

Исследование устойчивости основного состояния (3)-(8) для горизонтальной (вертикальной) выработки и (9)-(14) для сферической выработки с многослойными крепями при принятии обобш енной концепции продолжаюш егося нагружения [10] и при предположении, что слои работают совместно без проскальзывания и отставания, сводится к решению систем дифференциальных уравнений в вариациях при соответствуюш их граничных условиях [7]. Для случаев вертикальной и сферической выработок рассматривается осесимметричная форма потери устойчивости и = м(г, г), г = О, гу = ги(г, х). [c.303]

В случае, когда уравнения (3) линейные, точечные отображения (6) могут быть получены в явном виде. По явному виду точечных отображений могут быть составлены уравнения периодических движений и характеристические уравнения для исследования устойчивости найденных периодических движений. Это было проделано для релейных и некоторых кусочно-линейных систем (Ю. И. Неймарк, 1955—1956 Ю. И. Неймарк и Л. П. Шильников, 1960) и для систем с ударными взаимодействиями (В. А. Горохов, 1966). В случае, когда уравнения (3) нелинейные и получение их явных решений невозможно, характеристическое уравнение может быть составлено по уравнениям в вариациях и уравнениям (5) (Ю. И. Неймарк, 1958). В практически часто встречающемся случае, когда соотнощения (5) представляют собою сшивание решений на поверхности разрыва правых частей дифференциальных уравнений, правило составления характеристического уравнения для исследования устойчивости периодического движения было указано в упомянутой работе Ю. И. Неймарка и затем подробно развито в работах М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [c.154]

Следовательно, доказательство утверждения (и) 421 будет закончено, если только по крайней мере один из двенадцати характеристических показателей s для уравнений в вариациях окажется при соответствующих значениях масс пц отрицательным и иррациональным. Удостовериться в последнем можно путем исследования корней уравнения det sE — А) =0. Эти громоздкие 1Г элементарные исс.иедования аналогичны тем, о которых указывалось в 381. Выполняя их в данном случае, найдем, что если точка равновесия = aj уравнений (29i) соответствует треугольному решению, то восемь корней уравнения det sE — А) = О из двенадцати принадлежат, как и в 382, к устойчивому типу. Если исключить эти корни, то остающееся биквадратное уравнение легко разрешимо. Один из его корней s = s(/ i, т , /из) оказывается отрицательным при произвольных тщ, т , тпз и его значение зависит от масс гщ (входящих в коэффициенты уравнения). Кроме того, этот корень s = s(mi, /иг, гпз) принимает иррациональное значение, так как он является алгебраической, а следовательно, непрерывной функцией пц. [c.415]

В заключение мы отметим метод, созданный Н. Н. Боголюбовым. В 1945 г. Боголюбов предложил для систем весьма общего вида новый метод доказательства существования интегрального многообразия и изучения качественной картины поведения интегральных кривых в окрестности этого многообразия. Метод Боголюбова позволяет и фактически построить решение в окрестности интегрального многообразия, т. е. этог метод является значительным развитием первого метода или новым первым методом. Кстати, здесь у Боголюбова, как и у Ляпунова, возникают характеристические числа, совокупность которых и определяет качественную картину вблизи некоторой точки или периодического решения. И если имеется т характеристических чисел с отрицательной вещественной частью, то имеется т-параметрическое семейство решений, асимптотически приближающихся к стационарной точке или периодическому решению. Работы в этом направлении, объединяемые так называемой киевской школой, сейчас нелегко и обозреть. По изучению интегральных многообразий глубокие исследования провел Ю, А. Митропольский и его ученйки, которые рассматривали вопросы существования интегральных многообразий и их устойчивость как в смысле Ляпунова, так и при вариации правых частей дифференциальных уравнений и притом для весьма разнообразных > колебательных систем. Здесь устойчивость интегральных многообразий в смысле Ляпунова является аналогом того, что мы видели во всех сомнительных случаях у Ляпунова (но у Боголюбова и Митропольского рассматриваются системы более общего вида). Устойчивость же интегральных многообразий при вариации правых частей уравнений является задачей нового типа. [c.82]

В работах Э. И. Григолюка и Ю. В. Липовцева (1965, 1966) был развит статический метод исследования устойчивости вязко-упругих оболочек, основанный на изучении ветвления форм равновесия в процессе ползучести. Так как вследствие ползучести напряженное и деформированное состояние оболочки непрерывно меняется, то в некоторый момент времени исходная форма равновесия оказывается не единственно возможной и появляются смежные формы равновесия, отличные от исходной. Э. И. Григолюком и Ю. В. Липовцевым было показано, что учет ползучести не приводит к принципиальным изменениям тех представлений о понятии устойчивости и методов решения, которые сложились при исследовании устойчивости упругих систем. Меняется и уточняется лишь расчетная схема. Причем эти изменения существенны лишь в той ее части, которая связана с определением напряжений и деформаций исходного состояния системы. Здесь необходимо учитывать возможные отклонения системы от идеального состояния, обусловленные наличием начальных перемещений, особенностями приложения нагрузки и т. д. Уравнения же нейтрального равновесия, записанные относительно мгновенных приращений (вариаций) напряжений и перемещений, имеют тот же вид, что и для упругих систем. При их записи необходимо лишь учитывать те дополнительные деформации и напряжения исходного состояния, которые накапливаются в процессе ползучести. [c.349]

Исслгдование сомнительного случая. В предыдущем параграфе мы показали, что если характеристическое уравнение системы в вариациях не имеет корней, действительные части которых равны нулю, то вопрос об устойчивости полностью решается рассмотрением только первого приближения. Но если действительная часть хотя бы одного корня есть нуль, то первое приближение недостаточно для решения задачи, и приходится принимать в рассмотрение также члены высших порядков в правых частях диференциальных уравнений возмуп1Снного движения. Связанные с этим исследования чрезвычайно сложны и здесь воспроизведены быть не могут. [c.479]

Но этот случай, как мы показали, как раз является сомнительным, и для выяснения вопроса об устойчивости нужны с южные и тонкие исследования членов высших порядков. Например, рассмотрим частные решения ограниченной задачи о трех телах. Выло показано (см. главу VIII), что для решений первой группы характеристическое уравнение системы в вариациях при любом значении ji имеет два действительных корня и два чисто мнимых. Так как уравнения возмущенного движения имеют каноническую форму, то действительные корни имеют разные знаки, а, следовательно, частные решения первой группы неустойчивы, и может иметь место только условная устойчивость. [c.479]

Устойчивость установившихся режимов работы привода определяется видом характеристического уравнения линеаризованной системы (9). Спектр собственных частот системы зависит от упруго-массовых параметров привода и от параметров МВН — его жесткости, массы и передаточного отношения рычажной системы. Для оценки влияния каждого из этих факторов использовался численный метод решения с последовательной вариацией конструктивно реализуемых параметров МВН. Установлено, что, изменяя параметры МВН, можно управлять спектром собственных частот привода, смещая последние из опасных резонансных зон. Идеальный безмассовый МВН с абсолютно жесткими связями играет роль безынерционной следящей системы и не влияет на собственные частоты привода. Все корни xapaKTepn TH4e Kofo определителя в исследованном диапазоне изменения параметров МВН являются действительными положительными числами. Значит, в рамках принятых допущений о малости отклонений система привода с МВН устойчива. Вопрос об устойчивости больших отклонений решался путем моделирования неустановившихся режимов работы приводов на АВМ. [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...