ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Спектральная задача из "Многосеточные методы конечных элементов " В этом параграфе рассматривается трехмерная задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка. Для дискретизации задачи применяется метод Бубнова — Галёркина с кусочно-линейными базисными функциями на тетраэдрах. Для приближенного решения получающейся системы линейных алгебраических уравнений использованы алгоритмы, построенные в 4.2. Они дают приближенное решение исходной дифференциальной задачи с точностью 0(/г ) в норме L2 (12) с затратой 0(N) арифметических операций, где h - характерный линейный размер пространственной триангуляции, гМ - число ее узлов. [c.222] Построим пространственную триан1уляцию многогранника 12. Для этого разобьем его сначала на небольшое число замкнутых невырожденных тетраэдов (зон). Это разбиение будем называть согласованным, если два любых тетраэдра либо не пересекаются, либо имеют одну общую вершину, или одно общее ребро, или одну общую грань. Через /о обозначим максимальную длину ребра этих тетраэдров. Положим и,- = 2 и для всех i = = 0, I. р произведем разбиение каждого исходного тетраэдра на nf равновеликих тетраэдров. Для этого дополним его до трехгранной призмы с помощью еще двух тетраэдров, равных ему по объему (рис. 5.8). Каждое ребро призмы разделим на и,- частей и через полученные точки проведем четыре семейства плоскостей, параллельных граням. В итоге получится nf призм, подобных исходной с коэффициентом 1/и,.. Каждая из них делится на 3 тетраэдра подобно исходной призме. Из 2nf получившихся тетраэдров оставим только nf, составляющих исходный тетраэдр. В итоге получается 3 вида тетраэдров с равными объемами, но с разными длинами ребер. [c.223] Обозначим через Я линейную оболочку этой системы функций. [c.223] Для векторов с компонентами у G 12 ., кусочно-линейные восполнения строится по формуле w i(x)= 2 W y VVx). [c.224] Для нее из теоремы 6.4 гл. 3 получается следующее утверждение. [c.224] Таким образом, вьшолнены предположения теорем 2.1, 3.1 гл. 4 как для алгоритма В из 4.2, так и для алгоритма В из 4.3 и позтому справедливы оценки (2.20), (2.49), (3.9), (3.29) гл. 4. [c.225] Сопоставление зтой величины для разных к вновь сводится к изучению функции (р) в (1.29) и дает рекомендацию к = . [c.225] Из исследования фзшкции видно,что в нужной нам полосе величин /3 и р двукратная стратегия предпочтительнее. [c.225] Теперь вместо вьщеления главной части проведем оценку сверху для величины Ф/ (е), как в 5.1, а затем оценим сверху общее число арифметических операций в алгоритме В. [c.226] Здесь - восполнение в Н р вектора К р константа Сд (к) не зависит от/, /г,. Мр - число неизвестных системы (5.10) при I =р. [c.226] В этом параграфе рассматривается спектральная задача для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка. Для дискретизации задачи применяется метод Бубнова — Галёркина с кусочно-линей-ными базисными функциями на треугольниках, как ив 5.1. Для приближенного решения получающейся алгебраической спектральной задачи используются алгоритмы, построенные в 4.5, 4.6. Они дают простые и кратные собстветые числа с точностью 0(Н ) и соответствующие собственные функции исходной дифференциальной задачи с такой же точностью в норме 2 (12) Число арифметических операций для достижения этой точности является величиной порядка 0(]с М), где к — кратность собственного числа дифференциальной задачи, N - число узлов разностной сетки. [c.226] Сходимость решений проекционно-сеточной спектральной задачи (6.5) характеризуется свойствами, приведенными в 3.5. То есть выполнены условия К, Ь 4Л. [c.227] Здесь - собственные функции задачи (6.1), (6.2), соответствующие собственным числам Х,=...= Хй, а кир - некоторые константы, фиксированные для этой и всех последующих сеток. Ясно, что их нельзя брать меньше или равными, чем константы с,з и с,2 в неравенствах (5.17) из 3 . [c.227] Дальнейшее, построение приближенных собственных чисел и векторов на последующих сетках 12 , .., осуществляется с помощью алгоритма В, изложенного в 4.7. [c.228] Теперь у нас вьшолнены все условия теоремы 7.1 из 4.7 и справедливо ее утверждение о возможности вычисления с помощью алгоритма В приближенных собственных чисел и векторов, удовлетворяющих оценкам (6.9), (6.10) для = 1. р. [c.228] Подсчет числа арифметических операций проводится так же, как в 5.1. Единственное отличие состоит в добавлении числа операций, затрачиваемых на ортогонализацию. Из описания алгоритма В видно, что использовша двукратная стратегия. [c.228] Теорема 6.2. Пусть приближенные собственные числа X и векторы задачи (6.5) вычислены с помощью алгоритма В из 4.6. Тогда для достижения оценок (6,9), (6.10) на сетке 12 требуется количество арифметических операций на более Np, где константа с (к, р) не зави-ситоткр. [c.228] В графе 2 приведено число внутренних узлов сетки. В графах 3—5 приведены погрешности первых трех собственных чисел. В графе 6 содержится время (о) вычис-левия первого собственного числа и собственной функгцог в секундах. В графе 7 это время (Ь) в миллисекундах отнесено к одному узлу сетки. [c.229] Вернуться к основной статье