Задача Лиувилля

Так как рассматриваемый здесь случай, как было сказано вначале, представляет собой обобщение случая Лиувилля, то целесообразно указать, какие значения должны быть взяты для функций чь, Чь)> чтобы снова вернуться к динамической задаче Лиувилля. [c.345]

В качестве примера рассмотрим задачу Лиувилля (1858 г.) [c.200]

Это уравнение совпадает с уравнением Буре (7.4.54) для линейных случайных сред и с уравнением Ландау для задачи Лиувилля (см., например, Пригожин [1962]). Для линейных случайных сред это первое приближение получили также Келлер [1962] и Кубо [1963]. [c.409]

В настоящей, второй книге курса рассматриваются неравновесные системы многих частиц. Изучение таких систем является более сложной задачей. При решении этой задачи также возможны два различных подхода неравновесно-термодинамический и молекулярно-кинетический. Первый подход представляет собой обобщение термодинамики на неравновесные процессы, а второй— исходит из основного уравнения статистической физики — уравнения Лиувилля, частное решение которого уже использовалось в теории равновесных систем. [c.5]

Решение уравнения Лиувилля представляет собой столь же сложную задачу, как и решение уравнений механики для системы многих частиц. Однако оно позволяет получить более простые уравнения для вероятностей нахождения одной или нескольких частиц в элементах соответствующего фазового пространства. Исследование свойств молекулярных систем с помощью функций распределения комплексов частиц составляет содержание метода Боголюбова. [c.36]

Пользуясь обозначениями п. 305, доказать, что можно привести к квадратурам задачу движения точки по поверхности Лиувилля, когда [c.504]

Все же важно уже теперь отметить, что на основании общей теоремы Лиувилля, которую мы уже упоминали в п. 10 и доказательство которой отложили до 7 гл. X, задача 6 движении тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, будет интегрироваться только в квадратурах во всех тех случаях, когда для системы уравнений (34 ), (35 ) возможно указать первый интеграл, отличный от первых интегралов живых сил и моментов. [c.104]

Дифференциальные уравнения ДВИЖЕНИЯ, Мы будем рассматривать здесь один из тех случаев, когда благодаря некоторым частным предположениям (которые можно оправдать на основании физических соображений) удается указать для уравнений движения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, существование еще одного первого интеграла и, следовательно, на основании теоремы Лиувилля, упомянутой в п. 24, привести задачу к квадратурам. [c.111]

С точки зрения применения к конкретным задачам особую важность имеет случай, когда т = п, или случай, когда интегрирование канонической системы может быть сведено к операции нулевого порядка, т. е. к конечным операциям и к квадратурам. Мы ограничимся здесь доказательством теоремы С. Ли для этого частного случая, который известен под названием случая Лиувилля ) ). [c.311]

Следствия из теоремы Лиувилля для канонических систем с характеристической функцией, не зависящей от времени, в конкретных задачах, представляющих физический интерес, оправдывается [c.313]

Случай интегрируемости Штеккеля. Штеккель поставил себе задачу указать другие классы динамических задач, к которым можно было бы применить метод разделения переменных ) в частности, он искал все динамические задачи, интегрируемые этим методом, ограничиваясь предположением, что живая сила, как и в случае Лиувилля, является квадратичной формой от ортогонального вида. Таким образом, он пришел к важному обобщению результатов предыдущих пунктов не воспроизводя соображений, какими руководствовался Штеккель в его исследовании, мы ограничимся здесь лишь характеристикой динамических задач, найденных им таким способом. [c.343]

Форма полученного таким образом выражения для живой силы и предположение отсутствия активных сил позволяют непосредственно видеть, что определение геодезических линий эллипсоида приводит, как к частному случаю (п = 2, и — а, Ai = gi, /42 = — 9г)> к тому типу задач, интегрируемых посредством разделения переменных, который мы изучили в п. 62 (случай интегрируемости Лиувилля). [c.385]

Еще раз о локальности. Теорема Лиувилля, равно как и предыдущие теоремы, формально носит сугубо локальный характер. Из доказательства теоремы Дарбу следует, что всякая гамильтонова система вполне интегрируема в окрестности любой неособой своей точки. На практике, однако, нас не интересует потенциальное и бессодержательное существование интегралов в малом. Нам важны случаи, когда явно предъявляются первые интегралы движения, определенные во всем или почти всем фазовом пространстве задачи. Вместе с тем, поскольку на практике мы всегда имеем дело с аналитическими функциями, поведение которых в целом, как известно, определяется поведением в малом, то, опираясь на локальные теоремы, мы сможем в конце концов получать заключения нелокального характера о фазовом потоке. [c.266]

Однородная граничная задача, сформулированная для конечного интервала (а, Ь). в случае регулярных в этом интервале коэ-фициентов уравнения Штурма — Лиувилля, при р(лг)>0, г(дг)>0, имеет бесконечную последовательность дискретных собственных значений (точечный спектр), а принадлежащая им система собственных функций представляет замкнутую полную ортогональную систему с весом р х) (см. стр. 263). В случае 1-й, 2-й и 3-й краевых задач собственные значения — простые. [c.240]

Формула обращения обычно находится при помощи разложения функции в ряды по ортогональным функциям соответствующей задачи Штурма — Лиувилля. Поэтому рещения, получаемые этими методами, имеют те же принципиальные недостатки, как и решения, получаемые классическими методами. Так, формулы обращения имеют вид для синус-преобразования [c.83]

Решение дифференциального уравнения (10-2-11) при условиях (10-2-12) — (10-2-13) можно получить методом разделения переменных, используя свойства задачи Штурма—Лиувилля оно имеет следующий вид [c.468]

Задача (4.36), (4.37) есть задача Штурма — Лиувилля, которая, как известно, имеет счетное семейство решений [c.110]

Задача (4.44), (4.45) (задача Штурма— Лиувилля) имеет счетное множество решений [c.110]

Рассмотрим задачу Штурма—Лиувилля [c.19]

Пусть Vn z, и 7п = 7п( ) — собственные элементы задачи Штурма-Лиувилля [c.632]

В свете сказанного в п. 1 неудивительно, что решение уравнения Лиувилля эквивалентно решению динамической задачи, т. е. нахождению всех динамических траекторий. Формально это следует из вида характеристик уравнения (86.2) [c.475]

Заметим, что последнее уравнение системы (86.7) для функции является замкнутым и тождественным уравнению Лиувилля (86.2). С математической точки зрения интегрирование системы уравнений (86.7) следовало бы начинать с интегрирования этого уравнения. При этом, естественно, не нужно было бы интегрировать остальные N — 1 уравнения системы, так как все -частичные функции распределения могут быть найдены по формулам (86.4), после того как найдена функция (х/,..., х , /), и система вообще стала бы не нужной. Однако, как мы уже говорили, интегрирование уравнения Лиувилля представляет собой практически невыполнимую задачу. [c.478]

Заканчивая рассмотрение вопроса об особенностях, объясним причину столь пристального внимания к этому вопросу в данной книге. Дело в том, что с появлением сингулярностей в граничной задаче связаны не только описанные трудности в трактовке конечных результатов решения. Оказывается, что априорное знание характера особенности в рассматриваемой задаче часто дает возможность сделать далеко идущие выводы о свойствах ее решения в целом. Особенно это относится к случаям, когда такое решение ищется в виде рядов по полным системам функции некоторой задачи Штурма — Лиувилля. Важнейшим свойством рядов по ним является зависимость характера убывания коэффициентов разложения от локальных свойств представляемых функций. Часто это позволяет еще до решения задачи найти асимптотические выражения для искомых величин. Такая возможность используется в рассматриваемых в книге задачах и является основой получения удовлетворительной точности в рамках достаточно простых вычислений. [c.36]

Практическая реализация такого подхода усложнена необходимостью искать разложение функций / (Zi) и (г ) по неортогональной системе частных решений. Если обратиться к истории вопроса, то в связи с этой задачей можно проследить довольно типичную ситуацию во взаимоотношении математики и физики. Рассуждения в рамках физических аналогий (струна, мембрана, стержень) служили достаточно убедительным основанием для надежд на разрешимость задачи о таком представлении. Однако математического обоснования ее разрешимости до последнего времени не существовало. Возникающие здесь математические вопросы послужили стимулом к развитию некоторых новых по сравнению с классической проблемой Штурма — Лиувилля направлений в теории краевых задач и дифференциальных уравнений. Их характерные аспекты отражены, например, в обзоре Воровича [25]. Все же отметим, что, несмотря на большое число исследований, ряд практически важных вопросов данной проблемы остается не выясненным. В частности, еще не решен вопрос об оценке поведения коэффициентов разложения в зависимости от дифференциальных свойств разлагаемых функций. [c.159]

Таким образом, для рассматриваемых случаев изгиба и кручения граничные условия удовлетворяются, и задача Штурма — Лиувилля поставлена правильно при R н Р, противоположных по знаку S и Q. Отсюда следует, что собственные решения ортогональны, собственные значения %, действительны н положительны и что произвольная функция на интервале (а,Ь) может быть разложена в сходящийся ряд по собственным решениям. [c.352]

Применяя к этому случаю следствие из теоремы Лиувилля, указанное в п. 45, мы заключаем, что достаточно найти еще один интеграл, который не зависел бы от t и был бы отличен от интеграла Н = onst энергии и, кроме того, находился бы в инволюции с (т, е. не содержал явно 4 ), чтобы задача о движении твердого тела вокруг закрепленной точки была разрешена только посредством квадратур. [c.318]

С другой стороны, то обстоятельство, что в указанных выше случаях Лиувилля и Штеккеля приложимость метода разделения переменных связывается с существованием квадратичных относительно q первых интегралов, заставляло изучать условия, при которых динамическая задача допускает первые интегралы указанного выше вида. Известные типы таких задач были указаны, кроме Штеккеля, Ди Пирро б) и Пэнлевеб). И для этих динамических задач, [c.345]

Геодезические линии эллипсоида. В п. 44 гл. II мы рассматривали геодезические линии какой угодно поверхности о как траектории движения по инерции (спонтанное движение) материальной точки, удерживаемой без трения на поверхности а. В случае поверхности общего типа мы ограничились указанием на основании интеграла живых сил, что движение происходит с постоянной по величине скоростью, не занимаясь задачей интегрирования, которое к тому же, если не вводить частных предположений, мы не сможем выполнить элементарными средствами. В специальном случае поверхности вращения-мы видели (пп. 45, 46 гл. 11), что имеет место также интеграл плбщадей в плоскостях, нормальных к оси вращения, и что это обстоятельство позволяет привести определение движения по инерции, а следовательно, и геодезических тиний к квадратурам. Здесь читатель может убедиться в этом без вычислений, обращаясь к теореме Лиувилля из п. 44. [c.384]

Если же функция Н не является знакоопределенной или зависит от времени, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотически устойчивым в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость. Следовательно, если линеаризованные уравнения не дают строгого решения вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительной вещественной частью), то возникает необходимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. [c.543]

Очевидно, что уравнение Лиувилля (32) Lt-инвариантно. Действительно, если знак оператора Лиувилля L изменить на обратный (в классической механике это можно сделать путем инверсии скорости), а также изменить на обратный знак t, то уравнение Лиувилля не изменится. С другой стороны, легко можно показать [18], что слагаемое в уравнении Больцмана, учитывающее столкновения (правая часть в (29)), нарушает Lt-симметрию, так как оно четно по L. Поэтому ранее поставленный вопрос имеет смысл перефразировать следующим образом как можно нарушить Li-симметрию, свойственную явлениям, служащим объектом изучения классической или квантовой механики Наша точка зрения на этот вопрос состоит в том, что динамическое и термодинамическое описания систем в определенном смысле являются эквивалентными описаниями эволюции системы, связанными друг с другом пеупитарпым преобразованием. Разрешите мне вкратце показать, как мы можем приступить к решению этой задачи. Метод, которым я буду пользоваться, был разработан в тесном сотрудничестве с моими коллегами, работаюп1ими в Брюсселе и Остине [20-22]. [c.147]

Дальнейшее решение задачи можно вести по-разному используя специфические для этой задачи конечные преобразования Ханкеля, как это делают М. В. Елистратова [Л. 24], А. В. Лыков и др. тогда решение получается в виде рядов по собственным функциям соответствующей задачи Штурма — Лиувилля разлагая входящие в (8-5-23) функции в ряд Дини — Бесселя (Л. 9, 10, 23] [c.388]

Если а(г) = 0 и 5(а ) = 0 (граничные условия второго рода), fi = 0 и Tj,Q= onst также являются собственными значениями и собственной функцией задачи Штурма —Лиувилля. Тогда решение примет вид [c.112]

Ш. Штурм ( h. Sturm) и Ж. Лиувилль (J. Liouvilie). Понятия и методы, зародившиеся в процессе изучения Ш.— Л. 3., сыграли большую роль в развитии мн. направлений математики и физики. Она была и остаётся пост, источником новых идей и задач для спектральной теории операторов и смежных вопросов анализа. Особое значение она приобрела после открытия связи с нек-рыми эволюционными нелинейными уравнениями математической физики. [c.476]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...