Разложение в ряды Тейлора

Если K=(p(A i), т. е. Х = Х-л... = ==Хп = 0, то формула разложения в ряд Тейлора следует из геометрических соображений, так как производная представляет собой тангенс угла наклона касательной к кривой. [c.22]

Так как смещения атомов Хп бесконечно малы, то разложением в ряд Тейлора по Хп выражения для потенциальной энергии взаимодействия и (хп) может быть определена сила, действующая на п-й атом, и, написав уравнение для системы сил, соответственно получим закон движения цепочки, который описывается системой дифференциальных уравнений [c.49]

Выбор наилучших величин S с учетом всех видов ограничений (равенств и неравенств) в малой окрестности Zn можно осуществлять по аналогии с методами локальной аппроксимации. Простейшая линейная аппроксимация с помощью разложения в ряде Тейлора приводит к выражениям типа (П.15) для целевой функций и ограничений. Учитывая постоянство функций и частных производных, определенных в фиксированной точке Zh, и подставляя полученные выражения Но к Hj в задачу Д, получаем следующую задачу линейного программирования (назовем ее Ж) [c.249]

Учитывая разложение в ряд Тейлора функции [c.117]

Следовательно, решение исходного уравнения представлено в терминах коэффициентов разложения в ряд Тейлора решения уравнения (3) [c.274]

После разложения в ряд Тейлора и соответствующих преобразований тельно получаем [c.109]

Щие приращения для приближений неизвестных на s-й итерации. Очевидно, что определение эквивалентно определению методе Ньютона система линейных уравнений обычно записывается, относительно приращений Аи р. Для ее получения значения коэффициентов a Я представим, используя разложение в ряд Тейлора в точке и ограничиваясь его первым членом, в следую- [c.16]

Кроме явных существуют неявные схемы, в которых значение искомой функции на новом временном слое находится в результате решения уравнения, включающего это значение и значения для предыдущих моментов времени. Неявную схему Эйлера можно получить, если использовать разложение в ряд Тейлора в точке Tj+, Ti лг 7 / + — Т (Xj+,) Ат. Тогда придем к схеме [c.29]

Эта величина ) называется погрешностью аппроксимации исходного дис )ференциального уравнения разностным уравнением. Из разложения в ряд Тейлора (1.32) нетрудно найти, что [c.30]

Найдем выражение для 6 (Ат), представив в (3.5) 7 /— с помощью разложения в ряд Тейлора в точке х , т ) [c.71]

Коэффициенты уравнений (3.67) — (3.69), зависящие от температуры заменяют следующими приближенными выражениями, вытекающими из разложения в ряд Тейлора в точке [c.109]

На нижней грани давление с точностью до второго члена разложения в ряд Тейлора равно dx, и на эту грань действует сила [c.133]

В теории упругости много занимались определением первых ненулевых эффектов, обусловленных тем, что величина /с конечна. Существует обширная литература (см. [33]), посвященная нелокальным теориям деформаций. Для рассматриваемого здесь случая теория не настолько разработана, однако имеет смысл вывести уравнение, которое в наинизшем порядке учитывает то обстоятельство, что величина /с конечна. Такое уравнение можно получить разложением в ряд Тейлора (х ) в подынтегральной функции. Это эквивалентно замене Й(к) в уравнении (54) на ak . В обоих случаях для ф(х) получается следующее уравнение [c.265]

Обсудим связь между материалом, изложенным в данном пункте, где речь шла об описании механических явлений вблизи положения равновесия, и макроскопической картиной пространства конфигураций. Мы оперировали с координатами, имевшими значение локальных координат. Они отражали малые локальные вариации bqi координат I вблизи положения равновесия Р. Потенциальная энергия V вследствие разложения в ряд Тейлора также отражала локальные вариации потенциальной энергии V в окрестности точки Я. Линейные члены выпадали, поскольку мы разлагали функцию вблизи точки равновесия. Разложение начиналось с членов второго порядка и давало то, что в общем случае называется второй вариацией функции (см. гл. II, п. 3). Теперь мы видим, что та же самая вторая вариация, которая была существенна при определении экстремальных свойств стационарной точки, существенна и в вопросе об устойчивости либо неустойчивости состояния равновесия. Если все X положительны, то вторая вариация является положительно определенной формой это означает, что потенциальная энергия увеличивается в любом направлении от Р. Следовательно, потенциальная энергия имеет локальный минимум в точке Р. Утверждения о наличии минимума потенциальной энергии и существовании устойчивого положения равновесия эквивалентны. Если по крайней мере один из корней отрицателен, то вторая вариация меняет знак и стационарное значение потенциальной энергии не является уже истинным экстремумом. В то же время соответствующее положение равновесия неустойчиво. [c.188]

TO, применяя разложение в ряд Тейлора и ограничиваясь членами первого порядка, систему (5.3) можно записать в виде линейной [c.197]

Кроме того, можно считать, что коэффи] иенты rs в этом выражении имеют постоянные значения, равные их значениям в положении равновесия. В правой части уравнения (9.1.7) мы оставим лишь члены первого порядка в разложении в ряд Тейлора по <7), - Чп- [c.141]

А н а л и т и ч е с к о е выражение принципа Гаусса. Если обозначить координаты точки массы т ко времени t через (х, у, г), то по разложении в ряд Тейлора они ко времени t dt будут [c.887]

Рис. 43, Движение в окрестности точек остановки практически равноускоренное (т. е. график функции s t) в окрестности точек экстремума хорошо аппроксимируется параболой, изображающей разложение в ряд Тейлора с точностью до членов третьего порядка малости)

Численное решение системы (3) не позволяет судить о степени влияния различных параметров на устойчивость равновесия номинальной точки БП в малом (в смысле Ляпунова). Для анализа устойчивости номинальной точки используем первую теорему Ляпунова [3]. Линеаризуем функции (4), входящие в правые части уравнений (3), в окрестности исследуемой равновесной точки Хах) разложением в ряд Тейлора с удержанием первого члена. После линеаризации система уравнений (3) приобретает вид [c.77]

Если введение новых фазовых координат нежелательно (в ряде случаев это приводит к существенному повышению порядка исходной системы уравнений и к необходимости вычисления дополнительных начальных условий), то можно воспользоваться используемой выше идеей представления таких выражений в виде ряда Тейлора в окрестности точек л ,- = т,- по степеням центрированных фазовых координат. Для широкого круга задач разложение в ряд Тейлора относительно математических ожиданий достаточно быстро сходится. [c.156]

Величину шага по времени выбираем с учетом условия малости квадратичного слагаемого по сравнению с линейным в разложении в ряд Тейлора приращения интенсивности деформаций ползучести [75] [c.32]

Линеаризация может быть произведена при помощи ряда Тейлора. Применим разложение в ряд Тейлора к уравнениям (9.2) и ограничимся только членами первого порядка. Разложение произведем по степеням (Ху — и (jjk — Щк) [c.262]

Для уточнения границ устойчивости и сближения теоретических и экспериментальных характеристик исследователи предлагают разные формулы для аппроксимации нелинейных характеристик и различные методы линеаризации (разложение в ряд Тейлора, степенной, гармоническая линеаризация) [22, 38—40]. Кроме того, вводятся дополнительные уточнения, например, учитываются особенности сухого трения [27, 37], характеристика и динамика клапанов [27, 16, 36, 38]. Аналогично исследуется динамика гидроприводов и других машин. [c.261]

Для ускорения сходимости иногда применяют метод Ньютона [28]. Если в градиентных методах при выборе направления убывания функции (2.21) используется лишь линейная часть ее разложения в ряд Тейлора, то в методе Ньютона используется квадратичная часть этого разложения. Возможность ускорения сходимости связана с тем, что квадратичная часть разложения аппроксимирует функцию гораздо точнее, чем линейная. [c.46]

Аналогичным путем могут быть представлены также равенства (2-39), (2-105) и др. Шаги интегрирования в направлении соответствующих координатных осей обычно выбираются путем разбивки тела на элементарные слои. При этом выбор величины Дт остается окончательно не решенным. Увеличение ее численного значения может значительно сократить объем вычислительной работы, а потому чрезвычайно заманчиво. Однако если принять Дт чрезмерно большой величиной, то погрешность, вызываемая разложением в ряд Тейлора, когда тепловой поток за время Дт считается пропорциональным начальному по времени градиенту температуры, может стать значительной. Иначе говоря, при больших значениях Ах ошибка, вызываемая экстраполяцией, может резко возрасти, что немедленно отразится на точности вычислений последующих температурных полей. [c.106]

Ошибки дискретизации являются результатом замены реальной теплопроводящей среды дискретными электрическими ячейками. При этом следует иметь в виду, что ошибки в основном возникают в результате ири-менения сосредоточенных емкостей и индуктивностей. Ошибки, связанные с дискретизацией области, определяются шагом сетки и зависят от характера температурного поля. Это может быть легко продемонстрировано с помощью разложения в ряд Тейлора температуры в некоторой точке области. Ошибка дискретизации координат определяется зависимостью [c.359]

Экспериментатор, ставя опыт, имеет возможность непосредственно следить за функциональным изменением реальной скорости разогрева Ь (г, т) в различных точках тела. Поэтому в принципе безразлично, какая из перечисленных причин оказывает большее влияние на температурное поле образца. Важно лишь, чтобы скорость изменялась на рабочем участке опыта монотонно. Тогда функцию Ь (г, т) подобно (t), с (t) и а (t) можно с удовлетворительной точностью представлять в окрестности базовой температуры (г) разложениями в ряд Тейлора по перепаду й и приращению А о базовой температуры to (т) [c.11]

Для аналитической функции 1 г), определённой разложением в ряд Тейлора [c.519]

Разложение в ряд Тейлора термических сопротивлений из равенств (4) и (6) и сопоставление этих рядов показывает, что точность формулы (6) порядка 1/к (у + Ь . Величина первой поправки А к выражению (6) [c.7]

Интегрирование системы конечно-элементных уравнений (1.35) можно осуществить различными способами [55, 177, 178], наибольшее применение среди которых получили методы центральных разностей, Вилсона, Галеркина, Ньюмарка. Нельзя формально подходить к использованию того или иного метода,, так как каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны, которыми и определяется область их рационального применения. Так, применение центральных разностей имеет несомненное преимущество при использовании сосредоточенной (диагональной) матрицы масс, однако устойчивость его зависит от выбора шага интегрирования во времени Ат. Выбирая безусловно устойчивые и более точные двухпараметрические методы интегрирования Ньюмарка и Галеркина, мы значительно увеличиваем время счета. Оптимально и достаточно просто реализуемое интегрирование уравнения (1.35) можно провести с помощью модифицированной одношаговой процедуры Вилсона по двум схемам, отличающимся числом членов разложения в ряд Тейлора функций (т) , (й т) , ы(т) в момент времени т [7]. [c.25]

Вводя гипотезу о гладкости функции по переменной Хз, с помощью разложения в ряд Тейлора по этой переменной и с использованием равенства (2.74) убеждаемся, что Стдз имеет порядок малости h [c.58]

Найти разложение в ряд Тейлора функнии (р(х) в точке. V, используя метод удвоения переменных. [c.316]

Аналогичным образом можно записать разложение в ряд Тейлора функции Н(х, у, 7j) в окрестностях номк нального значения параметра а, . [c.25]

Для исследования влияния нелинейности функции /.i=Xi(i) в области на амплитудно-частотную характеристику ГДТ проведем гармоническую линеаризацию функции A,i = A, (t) разложением ее в тригонометрический ряд Фурье, отбросив при этом все гармоники выше первой на том основании, что они не пропускаются ГДТ (основное условие приемлемости этого метода). При этом предполагается, что передаточное отношение изменяется синусоидально, т. е. t = asin (at), где а и и — амплитуда и частота колебания t. Остальные нелинейности уравнений (54) подвергаются обычной линеаризации в области ix разложением в ряд Тейлора с оставлением только линейной составляющей. Таким образом, предполагаем, что функция > (i) обладает наиболее сильно выраженной нелинейностью. [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...