Представление в виде произведений операторов

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ [c.369]

Для дальнейшего примем, что в начале процесса, т. е. при / = 0, сигнальная и холостая моды не взаимодействуют между собой и что, следовательно, полный оператор плотности может быть представлен в виде произведения двух множителей один из них принадлежит сигнальной моде, а другой — холостой моде. [c.346]

Оператор взаимодействия электромагнитного излучения с активной средой может быть представлен в виде суммы членов, пропорциональных произведению компонент вектора напряженности электромагнитного поля и электрического момента активного центра. [c.35]

Если задана подстановка А, то представление ее в виде произведения перестановочных операторов производится путем выведения составляющих операторов от 5, до 5 по схеме [c.560]

Разложение регулярного представления, которое реализуется на функциях Р , сводится к разложению пространства В на неприводимые инвариантные подпространства относительно группы. Воспользуемся сейчас тем, что функцию Р мы выбрали в виде произведения (15.10). Это позволит нам наряду с оператором р перестановки аргументов рассматривать также оператор Р перестановки функций V , определяемый следующим равенством [c.177]

В линейном пространстве Д, образованном функциями Р ур , , Ур,), где (р1 р2. .. р ) — всевозможные перестановки чисел 1, 2,..., п, реализуется регулярное представление группы 8 . Не ограничивая общности результатов, можно представить функцию ( 1, У2,---,Уп) в виде произведения п функций 1( 1)... фп уп)- Разложение этого представления на неприводимые части можно произвести с помощью операторов Юнга, соответствующих схемам Юнга, которые строятся по указанному выше рекуррентному правилу. [c.182]

Еще более широкое понимание определения 2 получается, если в нем ограничиться рассмотрением элементов, финитных относительно Я, т.е. таких, что / = Е Х)/ для какого-либо ограниченного X. Пространство (топологическое) финитных элементов обозначаем — через Е = ( ), а двойственное ему относительно скалярного произведения в Л—через . В представлении в виде прямого интеграла (1) состоит из вектор-функций, которые только локально квадратично интегрируемы по мере (1т ). Ограниченный оператор А — 8 называем интегральным, если (11) выполняется для любых /, [c.51]

Множество ( конечномерных операторов плотно в р по норме I р, так что пространства р сепарабельны. Наиболее употребительны идеалы 62 операторов Гильберта—Шмидта и 1 ядерных операторов. Из (11) следует, что произведение двух операторов Гильберта—Шмидта—ядерный оператор. Верно и обратное любой ядерный оператор может быть представлен (конечно, не единственным образом) в виде произведения двух операторов Гильберта—Шмидта. Отметим, что любой симметрично-нормированный идеал 6 лежит между 61 и боо, т.е. 61 С в С воо- [c.55]

ОПЕРАТОРНОЕ разложение — представление произведений неск. локальных операторов, определённых в разл. точках пространства-времени, в виде суммы отд. локальных операторов. [c.409]

Разработанный в двух предыдущих разделах формализм дает возможность выразить собственные значения оператора плотности через векторы когерентных состояний. С математической точки зрения использование векторов когерентных состояний приводит к значительному упрощению при вычислении статистических средних. Так как когерентные состояния являются собственными состояниями полевых операторов Е( > (г/), то нормально упорядоченные произведения полевых операторов можно заменить при усреднении на произведения их собственных значений, т. е. рассматривать их не как операторы, а как числа. Корреляционные функции поля вида определяемые уравнением (2.1), есть средние именно от таких произведений операторов. Их можно довольно легко вычислить при использовании представлений, которые мы рассмотрим ниже. [c.85]

Важный класс стационарных полей, возникающих всегда, когда источник по природе своей хаотичен, представляют поля, для которых весовая функция в Р-представлении есть произведение гауссовых функций по одной на каждую моду. Оператор плотности представляется для этого случая в виде [c.138]

Если все свертки, приводящие к связной диаграмме, производятся внутри множителя в (93,1), то мы получим члены, изображающиеся описанными в IX, 13, обычными диаграммами (разумеется, с другим конкретным видом функций, отвечающих сплошным линиям). Напомним, что речь идет здесь о диаграммах в координатном представлении для неравновесных состояний (когда С-функции зависят от переменных и Х по отдельности) переход к импульсному представлению неудобен. Другие члены возникают от свертываний, в которых участвуют также и Т-операторы из = В каждом порядке теории возмущений они получаются из обычных членов заменой любого множителя V, взятого из 5, на множитель У из Эти члены изображаются диаграммами того же графического вида, но с несколько измененным правилом их прочтения. Эти изменения являются следствием трех обстоятельств 1) в 5+ операторы взаимодействия входят в виде (вместо —1У в 5) 2) все Т-операторы в + стоят всегда левее операторов в произведении 3) внутри множителя 5+ операторы упорядочены знаком Т-произведения (вместо Т). [c.476]

Напомним теперь, что действие оператора свободной эволюции на переменные корреляционных функций преобразует их в г (г) = +р г/ш. Поскольку векторы расстояний Tij = - Tj преобразуются в векторы r j(r) = r j + (р- -р )г/ш, ясно, что при г —00. Таким образом, благодаря условию ослабления корреляций (3.2.7), последний член уравнения (3.2.13) обращается в ноль при е +0. Это очень важное обстоятельство, так как другие два члена в правой части уравнения (3.2.13) дают простое правило построения итерации произведения корреляционных функций. Действительно, мы видим, что в результате итерации одна из корреляционных функций заменяется соответствующим функционалом который, в свою очередь, может быть представлен некоторым блоком диаграмм. Схематическая иллюстрация этого приводится на рис. 3.5, где каждый из прямоугольников есть блок диаграмм, соответствующих функционалу Qs.. В случае, когда одной из корреляционных функций является = Д, итерацию следует проводить с помощью уравнения (3.2.4). В графической форме соответствующее правило показано на рис. 3.6. [c.186]

Таким образом, при преобразовании, соответствующем оператору однофононная температурная функция Грина преобразуется как базисная функция прямого произведения представлений [46, 47], по которым преобразуются операторные сомножители. В символическом виде имеем [c.79]

Итак, представление 5 -матрицы в нормальном виде действительно оказывается возможным. Для дальнейшего удобно принять специальное соглашение о записи нормальных произведений. Именно из формулы (1.21) явствует, что в п-м порядке теории возмущений член без сверток содержит нормальное произведение п пар ферми-операторов [c.271]

Будем считать, что набор а ,. . . , 2 описывает состояние ряда вертикальных или почти вертикальных стрелок у = +, если стрелка в столбце у направлена вверх у = -, если она направлена вниз. Более определенно, пусть набор а ,. . . , 2 описывает типичный ряд стрелок на линиях такой, как, например, верхний ряд линий на рис. 12.8, пронумерованный 1,. . . , 2/1. Рассмотрим оператор Л- х и2] в а-представлении (12.4.15). Он действует на стрелки, находящиеся в узлах 2] и 2у Ч- 1, и может рассматриваться как вершинная трансфер-матрица . Его ненулевые элементы в точности равны весовым множителям ыр. . . , в (12.4.3а), соответствующим шести стрелочным конфигурациям на рис. 12.9. Таким образом, этот оператор представляет собой вершинную трансфер-матрицу узла типа 1 в модели типа льда. Из (12.3.4) и (12.4.8в) мы видим, что произведение таких матриц для у = 1,. . . , л - 1 равно как раз V. Таким образом, V в (12.4.8) является трансфер-матрицей для ряда узлов типа 1 в модели типа льда. [c.337]

Рассмотрим теперь неявную аппроксимацию (5.30), (5.31), построенную по методу дробных шагов. Выражение (5.32) для модуля перехода показывает, что скорость затухания возмущений во всем спектре частот o)i, 0)2 может быть сколь угодно большой при достаточно большом т. Однако с увеличением т возрастают и погрешности аппроксимации, связанные с представлением оператора перехода от п к п+ в виде произведения операторов, соответствующих полушагам . В предельном случае (t= 00) получаем два слоя ( целый и полуцелый ), не имеющие ничего общего с искомым решением и не похожие друг на друга. Возникает естественная идея варьирования t сначала, когда преобладают возмущения, связанные с ошибками начального слоя, гасить эти возмущения быстрее, а затем, когда начинают все бо Еьшую роль играть погрешности аппроксимации, постепенно уменьшать г. На основе идей такого рода построены эффективные алгоритмы для решения стационарных сеточных краевых задач. [c.137]

Таким образом, матрица системы (3.70) является верхней треугольной, а системы (3.71) — нижней треугольной. Для таких систем решение выписьшается сразу, причем для нижней треугольной матрицы осуществляется прямой ход (прямая прогонка) — от меньших номеров к большим, а для верхней треугольной — обратный ход (обратная прогонка) — от больших номеров к меньшим. Представление оператора системы в виде произведения двух или более операторов (3.69) называется факторизацией оператора, а методы, основанные на решении с помощью такого представления, — методами факторизации. [c.183]

Тогда по теореме Рисса этот функционал может быть представлен в виде скалярного произведения (й, г)р где и G П. Следовательно, некоторый оператор Q ставит в соответствие каждой функции й G П функцию й П. Поэтому вопрос нахож-дения обобщенного решения задачи А заключается в решении операторного уравнения [c.233]

Здесь л есть матричный элемент перехода Ь /, Ь1/— операторы рождения и уничтожения состояний 2> и 1> -то атома Е<-)(л/.) есть отрицательно-частотная компонента напряженности поля в месте нахождения -то атома этот оператор содержит оператор уничтожения для фотснов с частотой ш. При исследовании взаимодействия с излучением мы примем, что соблюдается так называемое необратимое приближение, т. е. что начальное распределение (тепловое распределение) атомов не изменяется существенно под действием излучения. Следовательно, если вначале, т. е. при 1 = 0, полный оператор плотности может быть представлен в виде р(0) = р/1 (О)р (0) (произведение множителей, соответствующих атомам и полю излучения), то при >0 должно соблюдаться соотнощение р( ) = (О)р ( ). Можно построить уравнение движения отдельно для рг(0> 6СЛИ в уравнении для полного оператора плотности р образовать след по отнощению к атомной парциальной системе при этом следует указать, что ро-цедура аналогична примененной в п. 3.113, хотя там [c.461]

Несмотря на то, что явно вычислить удаётся фактичесш лишь гауссовы интегралы, этого достаточно для метод теории возмущений в квантовой статистике и квантовой теории поля. С помощью функциональных интегралов были впервые получены правила Фейнмана (см. Фейнмане диаграммы) для вычисления матрицы рассеяния S в квантовой электродинамике. Осн. ф-лой, используемой в приложениях функциональных интегралов к задачам теории поля и статистич. механики, является представление вакуумного среднего хронологических произведений операторов (Грина функций) в виде функционального ин. теграла [c.384]

Изложенный выше подход связан с дифференциальными операторами специального типа (самосопряженными операторами), которые входили во все наши уравнения. В начальных главах мы выводили уравнения ПМГЭ, используя процедуру интегрирования по частям. Такой подход является более обш,им, чем представление F i в виде симметричного произведения, что приводит к (Б.6) и (Б.9). Пусть общее дифференциальное уравнение представляется в виде [c.476]

Заметим также, что основные понятия и представления, были выражены в начале в виде векторов и некоторых простых скалярных произведений, но последовательно прищди к тому, что в совокупном применении дифференциальных операторов, линейных и особенно проективных преобразований кроются важные свойства рассматриваемых явлений. [c.153]

Мулътинтеграл Вольтерра-Шлезингера. Представление (2.36) оператора эволюции во времени и в виде бесконечного произведения операторов в двух отношениях является обобш,ением интеграла Римана вместо суммы входит произведение и вместо с-чисел входят операторы. Следуя Вольтерра и Шлезингеру, определим так называемый мультинтеграл как [c.81]

Связь мультинтеграла Вольтерра-Шлезингера с представлением оператора эволюции во времени в квантовой электродинамике в виде бесконечного произведения [c.89]

В заключение подчеркнем следующие два обстоятельства.. Во-первых, при выводе систем (1.3) и (1.4) условие конечномерности алгебры не накладывалось. Однако в отличие от конечномерного, в бесконечномерном случае интегрирование возникающих систем в конечном виде невозможно как будет показано в гл. V, решение задачи Гурса для них дается бесконечными формальными рядами, исследование сходимости которых, требует дополнительного рассмотрения с привлечением свойств алгебр типа конечности роста. Во-вторых, представление (1.1) применимо также и для суперсимметричных динамических систем, когда операторы вида (1.2) принимают значения в соответствующей супералгеб ре Ли = снабженной градуировкой (1.4.7). При этом в соответствии с (1.4.20) четным (нечетным) образующим подалгебры q( -) в скалярных произведениях сопоставляются функции z+, z с коммутирующими (антикоммутирующими) значениями. Как и в случае алгебр Ли системы уравнений, ассоциируемые с конечномерными супералгебрами Ли, интегрируемы в конечном виде, тогда как для бесконечномерных супералгебр Ли — в формальных рядах. [c.117]

Яф(2[)=9№2. Физик без труда узнает в выписанных выше операторах представление матриц Паули /, ах и абстрактно определенных их йордановыми произведениями и реализованных в виде (2 X 2)-матриц. [c.103]

Материал полностью оригинален и является конкретным применением результатов гл. 3 к линейным системам с постоянными коэффициентами. Обертывающие алгебры как нулевого приближения, так и возмущенной системы являются конечномерными. Импримитивные множества в этом случае — это линейные пространства. Вследствие перехода в этих пространствах к представлению операторов матрицами все основные задачи сводятся к задачам линейной алгебры. Неожиданными и, на наш взгляд, изящными являются результаты теоремы 3.2 и следствия 3.1, которые устанавливают связь обычного скалярного произведения в пространстве с формой Киллинга (1 , 3 = 1г (ай Ж, а(1 3 ), где в/ — элементы алгебры Ли, определяющей скалярное произведение в алгебре Ли. Материал главы опубликован в виде препринта [83]. [c.266]

Сравнивая (13.15) с (12.23), мы видим, что в рассматриваемом случае составляющие оператора полного момента количества движения совпадает (с точностью до множителя) с инфинитезимальными операторами прямого произведения представлений и. Поэтому наша задача просто сводится к разложению прямого произведения двух неприводимых представлений группы вращений на неприводимые представления. Применяя правило Клебша—Гордана, мы получаем, что квантовое число Ь может принимать значения /1+ 21 Л + 2 - 1, , 1 1 Собственные функции операторов и согласно (12.28) имеют вид [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...