Уравнения Ланжевена и уравнение Фоккера—Планка

Уравнения Ланжевена и уравнение Фоккера— Планка [c.187]

Хотя описание брауновского движения с помощью уравнения Фоккера—Планка (5.55), (5.44) эквивалентно описанию, основанному на уравнении Ланжевена (4.1), однако в первом случае расчетная схема является более удобной и компактной. Решение уравнений (5.44) или (5.55) с начальными условиями позволяет определить все необходимые средние значения в виде интегралов. [c.73]

Картина, описываемая уравнением Фоккера — Планка, разумеется, полностью согласуется с уравнением Ланжевена, рассматриваемым совместно со статистическими допущениями относительно А t). Однако в уравнении (11.3.21) и в аналогичном уравнении для вероятности перехода w информация представлена в значительно более компактной форме. Если решить начальную задачу для уравнения (11.3.21) (а в данном случае это можно сделать в явном виде ), то найденная вероятность перехода позволит сразу же вычислить любое среднее значение любой функции от v посредством квадратуры. [c.23]

Метод уравнения Фоккера-Планка и соответствующий нелинейный метод Ланжевена легко могут быть обобщены на многокомпонентные жидкости. Как было показано в параграфе 8.3, единственным новым обстоятельством является то, что в многокомпонентной жидкости существует несколько векторных диссипативных процессов, связанных с переносом энергии и вещества теплопроводность, диффузия и перекрестные эффекты. Поэтому случайные составляющие потока тепла и диффузионных потоков будут линейными комбинациями нескольких гауссовских переменных. Пример построения нелинейного метода Ланжевена для многокомпонентной жидкости можно найти в работе [132]. [c.241]

Временные корреляционные функции. Линейные флуктуации в неравновесных системах могут изучаться как с помощью уравнения Фоккера-Планка для функции (функционала) распределения, так и с помощью эквивалентной ему системы уравнений Ланжевена для гидродинамических переменных. Наш анализ будет основан на методе Ланжевена ). [c.242]

В этих же работах, а также в [304, 435] рассмотрено влияние внешнего шума на поведение системы и показано, что в случае е = О средняя длительность ламинарной фазы т пропорциональна где шума. Чтобы получить этот результат, авторы работ [304, 503] переходят от уравнения Ланжевена к соответствующему уравнению Фоккера — Планка. Однако решение этого уравнения получено в [304, 503] при граничных условиях, не соответствующих рис. 8.18. Соответствующие граничные условия получены в работе [229], результаты которой будут изложены ниже. [c.248]

Зародыши кристаллизации формируют иерархически соподчиненный статистический ансамбль, характеризуемый распределением тепла Q по координате и ультраметрического пространства. В рамках такого представления процесс кристаллизации сводится к эффективной диффузии частицы с координатой д по узлам иерархического дерева, положение которых задает время и. Процесс диффузии описывается уравнением Ланжевена (2.100) с белым шумом (2.101) и эффективным коэффициентом диффузии (температуропроводностью) х соответствующее уравнение Фоккера—Планка имеет вид (2.102). Стационарные распределения тепла и его потока даются выражениями (2.104), (2.105). Условие сохранения потока (2.93) определяет распределение (2.95) теплоты кристаллизации в ультраметрическом пространстве. Будучи слабо зависимым от и, поведение ансамбля зародышей задается синергетическим потенциалом (2.99), который имеет максимум при критическом тепловом эффекте (2.108) (см. рис. 36). Подобно формированию закритического зародыша в ходе фазового перехода первого рода [102], преодоление барьера обеспечивающее закритический тепловой эффект д> д., происходит за время (ср. с (2.106)) [c.219]

Поскольку строгая теория лазера достаточно сложна, мы разобьем наше рассмотрение на два этапа. В данной главе мы будем оперировать с квантовомеханическими уравнениями Ланжевена. Это даст нам возможность найти наиболее интересные и важные характеристики лазерного излучения, а именно его когерентность, шумы и статистику фотонов, способом, который достаточно легко понять и который позволит провести прямое сравнение с экспериментальными данными. В гл. 11 мы разовьем другой подход к квантовой теории лазерного излучения, на этот раз основанный на уравнении для матрицы плотности. Уравнение для матрицы плотности будет преобразовано в обобщенное уравнение Фоккера—Планка, а последнее затем будет приведено (при выполнении определенных условий) к уравнению, которым мы будем пользоваться в разд. 10.5. Читатели, которых не слишком интересуют детали такого квантовомеханического вывода, могут пропустить гл. 11. Для читателей, недостаточно знакомых с квантовой теорией, особенно с теорией квантованных полей, мы приведем следующее важное соображение. Из чтения последующих разделов читатель скоро обнаружит, что квантовые уравнения лазера очень похожи на полуклассические уравнения. Действительно, квантовые уравнения лазера имеют почти такой же вид, как полуклассические, различие лишь в наличии дополнительного члена, представляющего флуктуационные силы. Хотя соответствующие уравнения являются операторными, их физический смысл можно объяснить, оставаясь на классических позициях. [c.250]

Уравнение Фоккера—Планка (11.123) содержит и полевые, и атомные переменные. Вместе с тем из полуклассического подхода нам известно, что в случае лазера на пороге генерации атомные переменные можно исключить. Оказывается, что и из уравнения Фок кера—Планка вблизи порога атомные переменные легко исключить Это можно сделать двумя способами либо непосредственно в урав нении Фоккера—Планка, либо с помощью уравнения Ланжевена Выбор того или иного способа определяется отчасти личным вку сом, отчасти соображениями удобства. Кружной путь через урав нение Ланжевена на самом деле проще, так что мы выбираем его Как показано в классической статистической физике, уравнение Фоккера—Планка (11.123) совершенно эквивалентно следующей системе уравнений Ланжевена [c.313]

Отметим, что классическому уравнению Ланжевена (11.132) соответствует классическое уравнение Фоккера—Планка, совпадающее с уравнением (10.151). Однако в разд. 10.5 мы получили это классическое уравнение Фоккера—Планка эвристическим путем из квантовомеханических уравнений Ланжевена, а здесь мы его вывели из квантовомеханических уравнений с помощью принципа соответствия. Чтобы наш вывод был более общим, мы возьмем коэффициент Q в той форме, которая была использована в разд. 10.5. На основании выражений (11.129) и (11.130) коэффициент С можно представить в виде [c.314]

Вблизи критической точки Я = О линеаризация становится неприменимой. В этом нетрудно убедиться, взглянув на корреляционную функцию (10.2.9) при Я О правая часть расходится. Такого рода эффекты хорошо известны в теории фазовых переходов и называются критическими флуктуациями. Однако в физических системах, находящихся достаточно далеко от теплового равновесия, и во многих других системах такие флуктуации ограничены, что с математической точки зрения обусловлено членом — Ьи в уравнении (10.2.1). Наиболее изящный подход, позволяющий учесть этот член, основан на использовании уравнения Фоккера— Планка. Пусть Р (/) обладает свойствами (10.2.2), (10.2.3) и имеет гауссово распределение (см. [1]). Из разд. 4.2 известно, что уравнение Фоккера—Планка для плотности вероятности /, соответствующей уравнению Ланжевена (10.2.1), имеет вид [c.330]

Методы, позволяющие надлежащим образом учитывать и описывать флуктуации, которые составляют необходимую часть любой адекватной теории фазовых переходов, дает статистическая механика. Специалисты по статистической механике с восторгом отмечают, что типичные уравнения их науки (такие, как уравнение Ланжевена, уравнение Фоккера—Планка или уравнение для многочастичной функции распределения) занимают достойное место и в синергетике. Инженерам-электрикам знакомы другие аспекты синергетики — теория цепей, положительная и отрицательная обратная связь, нелинейные колебания. Инженеры — механики и строители усматривают в синергетике знакомые черты теории устойчивости под действием статических и динамических нагрузок, выпучивания оболочек при закритическом нагружении и нелинейных колебаний. Синергетика занимается изучением поведения систем при изменении управляющих параметров, поэтому те, кто работает в кибернетике, склонны рассматривать синергетику как часть теории управления. [c.361]

Практическое лосббие содержит краткое изложение основных математических методов и некоторых задач, наиболее существенных для радиофизических приложений. Особенностью книги является изложение квантовой теории в форме, максимально сближающей квантовые и классические методы. Это достигается за счет использования гейзенберговских уравнений метода упорядоченных представлений, в том числе метода Вигнера квантового уравнения Фоккера-Планка уравнения Ланжевена и т. д. [c.281]

Основная идея метода Ланжевена в теории гидродинамических флуктуаций состоит во введении в уравнения переноса случайных источников , описывающих тепловой шум. После этого уравнения переноса становятся стохастическими дифференциальными уравнениями а их решения описывают не только регулярное (усредненное) движение, но и флуктуации на фоне этого движения. Средние значения случайных источников равны нулю, а их корреляции определяются из дополнительных условий самосо-гласования, например, из флуктуационно-диссипационной теоремы. Метод стохастических уравнений и метод уравнения Фоккера-Планка дополняют друг друга. Отметим, однако, что эти методы, вообще говоря, не эквивалентны. Мы видели, что уравнение Фоккера-Планка может быть выведено из фундаментального уравнения неравновесной статистической механики — уравнения Лиувилля, в то время как метод стохастических уравнений по своей сути является феноменологическим и его применимость необходимо обосновывать в каждом конкретном случае. Тем не менее, метод Ланжевена часто оказывается очень удобным, особенно при вычислении временных корреляционных функций флуктуаций. Поэтому представляет интерес построение стохастических гидродинамических уравнений, соответствующих уравнению Фоккера-Планка (9.1.63). [c.237]

В предыдущей главе мы излагали квантовую теорию лазера на основе квантовых уравнений Ланжевена. Преимущество этих уравнений состоит в том, что их физический смысл легко уяснить благодаря аналогии с полуклассическими уравнениями для лазера. Они довольно легко решаются (даже в квантовом случае) для допорогового и надпорогового режима путем линеаризации. Вместе с тем небольшой интервал значений накачки в окрестности порога, в котором происходят наиболее интресные явления, нельзя проанализировать с помощью квантовых уравнений Ланжевена. Это связано с тем, что, хотя уравнения и применимы, не известен способ их решения для данной области. Поэтому в разд. 10.5 мы вынуждены были обратиться к уравнению Фоккера — Планка. Там мы выводили классическое уравнение Фоккера—Планка из квантовых уравнений Ланжевена на основе эвристических соображений. Цель настоящей главы — восполнить указанный пробел. Мы хотим здесь вывести прежнее уравнение Фоккера—Планка из первых принципов , причем сложную квантовомеханическую задачу будем решать по этапам с помощью вполне обоснованной и хорошо известной приближенной процедуры. В данном разделе мы сделаем первый шаг на этом пути п выведем уравнение для матрицы плотности лазера. От читателя требуется знакомство с основными свойствами уравнения для матрицы плотности. [c.291]

Гл. 4 Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения , пожалуй, слишком фрагментарна. Основное внимание в ней уделяется двум возможным трактовкам нелинейных стохастических уравнений (дилемма Ито—Стратоновича) и переходу к соответствующим уравнениям Фоккера—Планка. Вопрос о преимуществах каждой из двух трактовок фактически не обсуждается, а такой анализ был бы полезен, поскольку они не исчерпывают всех вариантов возможна иная запись уравнения Фоккера—Планка и соответствующего уравнения Ланжевена, более естественная с точки зрения общей кинетической теории. (Для системы с диссипативной нелинейностью это приводит к обобщенному выражению Эйнштейна для коэффициента диффузии.) [c.8]

Для полноты упомянем об уравнениях Ланжевена, представляющих собой частные случаи уравнений (4.2.1), поскольку входящие в них флуктуирующие силы не зависят от переменной q и времени t. Следовательно, соответствующее уравнение Фоккера— Планка одно и то же и в исчислении Ито, и в исчислении Стратоновича. [c.187]

После подробного изложения математических методов, иногда сопряженных с необходимостью производить довольно громоздкие вычисления, уместно перевести дух и кратко сформулировать наиболее существенные выводы, к которым приводят отдельные этапы алгоритма. Отправным пунктом наших теоретических построений были нелинейные уравнения с флуктуирующими силами. На первом этапе мы предполагали, что эти силы пренебрежимо малы. Затем мы исследовали поведение систем, содержаших флуктуирующие силы, вблизи критических точек. Оказалось, что в достаточно малой окрестности критической точки поведение системы определяется небольшим числом параметров порядка и принцип подчинения позволяет исключить все подчиненные переменные. Включение флуктуирующих сил не нарушает процедуру исключения переменных, и мы приходим к уравнениям для параметров порядка с флуктуирующими силами. Такие уравнения для параметров порядка могут быть типа уравнений Ланжевена—Ито или Стратоновича. Эти уравнения, вообще говоря, нелинейны, и вблизи критических точек нелинейность не становится пренебрежимо малой. С другой стороны, часто бывает достаточно учесть лишь главный член нелинейности. Наиболее изящный подход к решению такого рода задач состоит в преобразовании уравнений для параметра порядка типа уравнения Ланжевена—Ито или Стратоновича в уравнение Фоккера—Планка. За последние десятилетия эта программа была реализована на различных системах. Выяснилось, что во многих случаях, когда возникают пространственные структуры, принцип детального равновесия на уровне уравнений для параметров порядка обусловлен соотношениями симметрии. В подобных случаях удается оценить распределение вероятности, с которой реализуются отдельные конфигурации при определенных значениях параметров порядка и,-. В свою очередь это позволяет вычислить вероятность образования тех или иных пространственных структур и найти устойчивые конфигурации по минимуму V (и) в [c.348]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...