Фоккера

Уравнение Фоккера—Планка [c.53]

Как легко убедиться, уравнение Фоккера—Планка (4.46) описывает релаксацию конфигурационного распределения брауновских частиц к распределению Больцмана. Полагая в стационарном случае дw дt=0, из (4.46) получаем У/ = 0. Если границы системы непроницаемы для частиц (по крайней мере те, достижению которых не препятствует внешний потенциал), то отсюда следует, что в системе отсутствуют потоки [c.54]

В наиболее простом случае свободной брауновской частицы уравнение Фоккера—Планка сводится к обычному уравнению диффузии [c.54]

Пусть теперь на частицу дополнительно воздействует постоянная внешняя сила (например, сила тяжести Fg=—тд). Уравнение Фоккера—Планка в этом случае имеет вид [c.55]

Вывод уравнения Фоккера—Планка из уравнения Лиувилля [c.55]

Обсудим кратко и, естественно, в упрощенном виде сложную проблему вывода уравнения Фоккера—Планка из основного уравнения статистической физики — уравнения Лиувилля [c.55]

Ввиду принципиальной важности микроскопического обоснования уравнения Фоккера—Планка рассмотрим другой, более строгий, его вывод из уравнения Лиувилля >. [c.58]

Следует отметить, что область применимости уравнения Фоккера—Планка не ограничивается теорией брауновского движения или разреженного газа тяжелых молекул в среде легких молекул. [c.60]

Это уравнение может быть выведено и широко используется для описания однокомпонентных систем с дальнодействующим (например, кулоновским) взаимодействием. Физически это связано с тем, что каждая молекула ( частица ) вследствие дальнодействия взаимодействует одновременно с большим числом других молекул ( среда ), причем по той же причине доминирующую роль в их взаимодействии играют так называемые дальние столкновения (большие прицельные расстояния), при которых скорость рассеиваемых молекул почти не меняется и углы столкновения малы. На основе последнего предположения можно вывести уравнение Фоккера—Планка, например из кинетического уравнения Больцмана (несмотря на то, что первое предположение без второго не соответствует самому уравнению Больцмана (приближение парных столкновений)). [c.60]

В предыдущей главе мы вывели уравнение Фоккера—Планка, исходя из физических предположений. Покажем, что это уравнение является следствием уравнения Смолуховского (при выполнении ряда перечисленных ниже условий). [c.68]

Выведем с учетом приведенных выше условий из уравнения Смолуховского (5.27) уравнение Фоккера—Планка. Для этого умножим уравнение (5.27) на 1/А( и достаточно гладкую финитную вспомогательную функцию а х), представив ее в виде ряда Тэйлора, и проинтегрируем уравнение по х [c.68]

Полученное уравнение Фоккера—Планка для условной плотности вероятности — линейное уравнение второго порядка в частных производных параболического типа (в математической литературе это уравнение называют также прямым уравнением Колмогорова). [c.70]

Заметим, что совпадение уравнения Фоккера—Планка для Р2 х<1, и х, t) и Р х, t) является очевидным следствием линейности соотношения (5.43) между этими функциями и самого уравнения. [c.71]

Как было показано в предыдущем параграфе, все конечномерные плотности вероятности марковских процессов выражаются соотношениями (5.25) через эти две функции, что и определяет важную роль, которую играют уравнения Смолуховского (Чепмена—Колмогорова) и Фоккера—Планка (Колмогорова). [c.71]

Оператор Фоккера—Планка, стоящий в правой части уравнения, описывает необратимость поведения частицы, связанную с трением (первый член) и диффузией в импульсном пространстве (второй член). Нетрудно убедиться, что стационарное решение, релаксацию к которому описывает уравнение Фоккера—Планка, соответствует распределению Максвелла—Больцмана [c.73]

Хотя описание брауновского движения с помощью уравнения Фоккера—Планка (5.55), (5.44) эквивалентно описанию, основанному на уравнении Ланжевена (4.1), однако в первом случае расчетная схема является более удобной и компактной. Решение уравнений (5.44) или (5.55) с начальными условиями позволяет определить все необходимые средние значения в виде интегралов. [c.73]

Аналогичным образом изменяется вывод уравнения Фоккера— Планка ( 20). Отличие состоит в том, что под интегралом разложение производится в л-мерный ряд Тэйлора, и соответственно условия типа (5.31) — (5.33) записываются для п моментов первого порядка (коэффициенты Лй(л , )), п п+ )12 моментов второго порядка (коэффициенты Бй ( , t)) и т. д. [c.85]

Окончательно вместо (5.39) получаем многомерное уравнение Фоккера—Планка [c.85]

Приравнивая <а<=Л1<(0, <р)/уи находим уравнение Фоккера— Планка для вращательного брауновского движения (для Рг или [c.87]

В качестве простейшего примера рассмотрим вращательное брауновское движение свободной частицы. Полярную координатную ось направим вдоль оси частицы при =0 6(0)=0. Вследствие аксиальной симметрии задачи плотность вероятности Р зависит только от полярного угла 0. Уравнение Фоккера—Планка (5.132) принимает вид [c.88]

Получим сначала в представлении углов Эйлера 01=0, 02=ф. вз=ф и проекций угловой скорости ы/ на главные оси инерции частицы Ьу, уравнение Фоккера—Планка для двухосной частицы из уравнения эволюции [c.233]

Теперь, для определения оз, учтем уравнение движения (5.124), в котором, чтобы получить уравнение Фоккера—Планка, описывающее релаксацию к распределению Максвелла (5.125), достаточно формально заменить случайный момент ц величиной [c.234]

Уравнение Фоккера—Планка для одноосной частицы имеет вид [c.235]

Заметим, что модель Фоккера—Планка широко используется для описания диэлектрической проницаемости, вязкости и других физических свойств жидких кристаллов, полимеров, магнитных жидкостей и ряда других систем. Более подробные сведения можно найти в специальной литературе. [c.238]

Фоккера — Планка — 73, 238 Онзагера соотношения взаимности— 14 [c.240]

Аналитические методы статистического анализа нелинейных динамических систем условно можно подразделить на следующие 1) исследование на основе уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова (ФПК) [42 и др. 1 2) характеристические функции на основе уравнений В. С. Пугачева [25, 68, 69] 3) статистическая линеаризация многомерных нелинейных функций И. Е. Казакова [33, 34, 54] 4) метод моментов [33, 74, 69] 5) семиинварианты (кумулянты) [251 6) метод малого параметра, усреднения и асимптотический метод [27, 50] 7) канонические разложения [85] 8) метод Винера [85 ] с использованием рядов Вольтерра и ортогональных спектров [85] и др. [c.144]

При выводе уравнения Фоккера—Планка из уравнения Лан-жевена в гл. IV мы отбросили инерциальный член. Теперь нетрудно понять, почему это было сделано. Дело в том, что с инерцией связана память частицы о движении x t) в прошлом. Поэтому при учете инерции случайный процесс л (/) не является марковским (см. также сноску на с. 236). [c.72]

Рассмотрим винеровский случайный процесс (см. 18), описывающий, пока для простоты, одномерное брауновское движение свободной частицы (многомерное обобщение этого подхода очевидно). Мы уже знаем, что условия и безусловная плотности вероятности удовлетворяют уравнениям Смолуховского (5.27) и Фоккера—Планка (5.39) (в данном случае — уравнению диффузии (5.47)), и нашли их решение (5.48). Обсудим, каким образом можно определить вероятность тех или иных траекторий х 1) бра-уновской частицы, начинающихся при =0 в точке хо. Для этого прежде всего разделим временной интервал (0, ) на п частей (например, равных At=t n) t =jAt и введем для каждого момента пространственные интервалы (aj, 6 ,). Теперь разобьем множество возможных траекторий частицы в зависимости от того, проходят ли они через эти ворота (или окна ) а <Х]<Ь , где, как и раньше, Xj = x(tj) (рис. 9). Вероятность реализации такого множества траекторий можно найти, интегрируя условную плотность вероятности [c.90]

Обсудим кратко выведенные выше уравнения Фоккера—Планка (вращательной ди( )())узии), некоторые их решения и отличия вращательного брауновского движения от трансляционного. [c.237]

Бондтестер-70 Фоккер-Б. В. Нидерланды 30— 1000 Сеть 110/220 В, 50/44 0 Гц постоянное напряжение tl5 В 13,2 Количественная оценка когезионной прочности соединения и выявление не-проклеев в изделиях из металлов и неметаллов [c.307]

Речь идет о вариационных задачах, которые допускают непрерывную группу (в смысле Ли) вытекающие отсюда следствия для соответствующих дифференциальных уравнений находят свое наиболее общее выражение в теоремах, которые формулируются в 1 и доказываются в последующих параграфах. Относительно этих дифференциальных уравнений, возникающих из вариационных задач, возможны высказывания, значительно более точные, нежели относительно любых допускающих группу дифференциальных уравнений, которые являются предметом исследований Ли. Итак, последующее изложение базируется на объединении методов формального вариационного исчисления с методами теории групп Ли. Для специальных групп и для вариационных задач это объединение методов не ново я упомяну Гамеля и Герглоца (Herglotz), занимавшихся специальными конечными группами, Лоренца и его учеников (например, Фоккера), Вейля и Клейна, занимавшихся специальными бесконечными группами ). Вторая статья Клейна и настоящая работа в особенности взаимно повлияли друг на друга в связи с этим я хотела бы указать на заключительные замечания в статье Клейна. [c.611]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...