Отсутствие аналитических интегралов

Обобщение теоремы Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов [c.14]

Из этого рассуждения нельзя вывести отсутствие гладких интегралов, ибо Л нигде не плотно. Можно показать, что периодические точки в Л являются гиперболическими и, следовательно, невырожденными. С другой стороны, они плотны в Л, а множество Л — ключевое подмножество в В для класса аналитических функций. Поэтому отсутствие аналитических интегралов можно также установить с помощью результатов п. 1 8 гл. IV. Другой способ доказательства неинтегрируемости основан на применении третьего свойства из предложения 1. Легко видеть, что устойчивая и неустойчивая сепаратрисы периодических точек не совпадают (и пересекаются) это позволяет применить теорему 1 из 2. [c.304]

Границы стохастических слоев должны иметь очень сложную нерегулярную структуру. Эта структура влияет на форму инвариантных торов в окрестности границы. Поскольку разрушенные торы расположены в фазовом пространстве всюду плотно (как множество рациональных чисел), то инвариантные торы всегда будут испытывать на себе влияние близко лежащих к ним стохастических слоев. Это должно привести к тому, что, вообще, неразрушенные инвариантные торы должны иметь столь сложную форму, что она не может быть представлена в виде аналитических добавок к невозмущенной форме тора. В этом и раскрывается смысл теоремы Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов движения при сколь угодно малых возмущениях. Те аналитические интегралы движения, которые находятся в первом порядке теории возмущений, например, при нелинейном резонансе, являются всего лишь грубым (но практически вполне удовлетворительным) приближением. [c.96]

Отсутствие аналитических интегралов. [c.252]

Можно показать, что периодические траектории, лежащие в Л, являются гиперболическими и, следовательно, невырожденными. С другой стороны, они плотны в Л, а множество А является ключевым в В. Поэтому отсутствие аналитических интегралов можно установить методом Пуанкаре (см. п. 1.2). [c.253]

К сожалению, гамильтониан задачи Эйлера-Пуансо Жо не аналитичен в Д°, так как прямые 2Жо 1, Ь) = ЦВ являются для него особыми (см. 2 гл. II). Поэтому мы будем доказывать отсутствие новых интегралов, аналитических в переменных, не имеющих аналитических особенностей в окрестности вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции (специальные канонические переменные, переменные Эйлера-Пуассона). При этом доказательства несуществования интегралов сильно усложняются в техническом отношении. [c.62]

Задача о существовании дополнительного интеграла уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, аналитического по каноническим переменным и параметру (л, впервые поставлена А. Пуанкаре в п. 86 его Новых методов небесной механики . Анализируя разложение возмущающей функции, А. Пуанкаре показал, что (в нашей терминологии) вековое множество не является всюду плотным, и, следовательно, его общая теорема об отсутствии новых аналитических интегралов не применима ...ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только п [у нас и , В. К.) становится кратным п [у нас и)1, В. К.)] отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраическим. [c.72]

Используя ветвление решений, можно установить отсутствие однозначных аналитических интегралов при малых, но фиксированных значениях параметра е О (см. [72]). [c.260]

Доказательство неинтегрируемости уравнений движения вихревых колец, приведенное в данной работе, основано на явлении расщепления сепаратрис в гамильтоновых системах, что приводит к отсутствию дополнительных аналитических интегралов. Методы исследования этого явления заложены Пуанкаре [31] и впоследствии развиты в работах [1,12, 11,10,17]. Обзор современных результатов в этой области содержится в монографии [14]. [c.368]

При Л = m в подынтегральных выражениях возникают особенности, что требует специальных приемов интегрирования в окрестности узловой точки п-го граничного элемента, когда г N, N ) О, N Г . Для прямолинейного элемента несобственные интегралы нетрудно вычислить аналитически. Криволинейный граничный элемент в окрестности узловой точки Г можно приближенно представить прямолинейным участком Г, г, для которого интегралы находят аналитически, а на остальной части элемента, где особенности в подынтегральных выражениях отсутствуют, проводится интегрирование численно. Так как (6.46) справедливо и для частного случая перемещения тела как жесткого целого, для каждой строки матрицы [Н] сумма компонентов должна быть равна нулю. Поэтому диагональные компоненты этой матрицы можно также найти из равенства [c.235]

Этот результат усиливает теорему 3 из 1, которая при тех же предположениях гарантирует отсутствие дополнительного аналитического интеграла, независимого от интеграла энергии. Действительно, как было отмечено в 3 гл. П, каждый интеграл уравнений Гамильтона порождает гамильтоново поле симметрий. Более того, полям симметрий могут отвечать многозначные интегралы (напомним, что под многозначной функцией на М мы понимаем замкнутую 1-форму [c.194]

Данное в тексте доказательство можно представить в более аналитическом виде следующим образом. Мы во всяком случае учтем все значения, если в обоих интегралах, сумма которых равна Н, проинтегрируем по всем переменным от — со до со. Скорости, которые в газе отсутствуют, все равно выпадут из интегралов, так как для них функции f и t обращаются в нуль. Тогда пределы остаются неизменными, и мы находим dH di, дифференцируя по / под знаком интеграла, что дает [c.57]

Отсутствие аналитических интегралов в предположении о несовпадении пересекающихся асимптотических поверхностей фактически доказано Р. Кашменом [189] (он, правда, рассматривал неавтономные гамильтоновы системы с одной степенью свободы). Несуществование нетривиальных групп симметрий установлено в [101]. Ясно, что в гамильтоновом случае из результата об отсутствии групп симметрий вытекает результат об отсутствии новых интегралов. [c.262]

При этом ньютоновский центр расположен в точке 71 = 72 = О, 73 = 1. Все траектории шарового волчка, соответствующего задаче Кеплера, являются периодическими (как для 6 , так и для "З), при этом изображающая материальная точка движется в зависимости констант первых интегралов по коническому сечению [229, 240]. Можно рассмотреть различные возмущения задачи Кеплера — в частности, ограниченную задачу двух тел на 6 . В [200] показано, что последняя задача является хаотической, траектории не являются эллипсами, и имеется некоторое смещение перигелия, позволяющее нетрадиционным образом (не связанным с эффектами ОТО) интерпретировать результаты астрономических наблюдений. Доказательство отсутствия аналитических интегралов, по предположению авторов, было недавно получено С. Л. Зиглиным. [c.338]

Вопрос о существовании интегралов движения при включении малого взаимодействия между различными степенями свободы исследовался Пуанкаре для гамильтониана (4.5) и практически при тех же условиях, что и в теореме KAM. Результатом этих исследований явилась известная теорема Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов движения при сколь угодно малых е. В дальнейшем были попытки в работах Ферми и Пригожина [7] использовать результаты этой теории для обоснования статистической механики. Безуспешность этих попыток стала очевидной только после теоремы KAM. Действительно, система резонансных торов является всюду плотвой в фазовом пространстве. Эти торы разрушаются в результате взаимодействия. Поэтому инвариантным торам приходится очень сложным образом обходить области разрушения. Это приводит к тому, что инвариантные торы существуют, но оказываются неаналнтическимн ( ) функциями [c.40]

В окрестности гомоклинических периодических траекторий с трансверсальными асимптотическими поверхностями справедливо утверждение, аналогичное теореме 12. Строгое доказательство этого утверждения, восходящего к Биркгофу (1935), принадлежит Смейлу (1965) и Л. П. Шильиикову (1967) (см. [33]). Отметим, что доказательство отсутствия аналитических интегралов (теорема 10) не зависит от свойства трансверсальности. Однако наличие нетрансверсальных асимптотических поверхностей может сильно влиять на качественное поведение траекторий (см. [33]). [c.253]

Формально задача Пенлеве об алгебраических интегралах и мероморфных решениях не включается в эту задачу, так как алгебраические функции в общем случае неоднозначны. Однако следует отметить, что при доказательстве отсутствия алгебраических интегралов уравнений задачи о тяжелом твердом теле основная трудность состоит в доказательстве несуществования дополнительного интеграла, являющегося отношением двух многочленов или просто многочленом), который, конечно, однозначен [44]. Кроме того, свойство системы аналитических дифференциальных уравнений иметь ал- [c.128]

В ограниченной задаче трех тел известны более слабые результаты о неинтегрируемости. Пуанкаре доказал отсутствие дополнительных интегралов, аналитических по массам / 1 и / г тяжелых точек [225]. Либре и Симо [216], используя метод квазислучайных движений по В. М. Алексееву, доказали несуществование нового аналитического интеграла при условии, что масса одного из тел мала. Кроме этого, известен результат К. Зигеля [229] об отсутствии новых алгебраических первых интегралов это утверждение доказывается методом Брунса. По-видимому, ограниченная задача трех тел не допускает полиномиальных по импульсам первых интегралов, независимых от интеграла энергии. [c.147]

Этот результат усиливает теоремы 1 и 2 1, так как любой интеграл, независимый с интегралом энергии, порождает нетривиальное поле симметрий, В частности, из теоремы 1 вытекает отсутствие многозначных аналитических интегралов. Основная трудность в доказательстве теоремы 1 состоит в том, чтобы установить линейную зависимость векторов и, v во всех точках Eh. Так как г О, то и = Xv. Известно (см. 3 гл, П), что Л — интеграл гамильтоновой системы на Eh. Поскольку Л — аналитическая функция и род М больше единицы, то Л = onst по теореме 2 из 1, [c.153]

Как уже говорилось во введении, постановка задачи об интегралах возмущенных гамильтоновых систем, аналитических по малому параметру, принадлежит Пуанкаре [225 146, гл. V]. Предполагая множество Р1 всюду плотным, Пуанкаре доказал отсутствие однозначных интегралов, независимых с интегралом энергии и аналитических по фазовым переменным и параметру е. В работе [75] показано, что предположение о плотности множества Р1 можно ослабить достаточно, чтобы Р1 было ключевым множеством для класса аналитических функций, В докладе автора на семинаре им. И, Г, Петровского [80] было дано распространение метода Пуанкаре на случай, когда интегралы разыскиваются в виде формальных рядов по степеням е с аналитическими или гладкими коэффициентами (см. теоремы 3 и 4). Распространение метода Пуанкаре на гамильтоновы системы с периодическим гамильтонианом содержится в [75]. Обобщения результатов Пуанкаре на негамильтоновы системы стандартного вида (1,1) (см. теоремы 1 и 2) в литературе, по-видимому, не обсуждались. [c.185]

Множество Пуанкаре Р этой задачи состоит из прямых, параллельных оси уг uly —v = О, Н у ф 0. Оно всюду плотно заполняет полуплоскость Ух > 0. Однако применить теорему 4 об отсутствии новых аналитических интегралов непосредственно нельзя из-за вырождения невозмущенной задачи det д Но/ду = 0. Эта трудность преодолевается тем, что канонические уравнения с гамильтонианами Н и ехр Н имеют одни и те же траектории (но не решения). Следовательно, эти уравнения интегрируемы или неин-гегрируемы одновременно. Остается заметить, что [c.187]

Используя теорему 6, получаем, что если выпуклая оболочка Д не является ромбом, то уравнения Гамильтона с гамильтонианом (8.25) при е > О имеют бесконечно много различных изоэнергетически невырожденных решений с одним и тем же периодом (или энергией). К сожалению, область существования этих решений по е неограниченно уменьшается при к —> оо. Поэтому при каждом фиксированном е > О мы можем гарантировать существование большого, но конечного числа изоэнергетически невырожденных периодических решений. Это обстоятельство не позволяет доказать неинтегрируемость системы (8.25) при малых фиксированных значениях е > 0. Однако можно доказать отсутствие аналитического по е семейства первых интегралов и нетривиальных групп симметрий. [c.232]

Используя ветвление решений, можно установить отсутствие однозначных аналитических интегралов при малых, но фиксированных значениях параметра е ф 0. Приведем один из результатов в этом направлении, принадлежащий С. Л. Зиглину [63]. [c.333]

Во второй части статьи мы покажем неинтегрирумость гамильтоновой системы, описывающей движение четырех точечных вихрей на сфере. Приводимое здесь доказательство опирается на соответствующее доказательство С. Л. Зиглина для плоского случая [9]. Как и в предыдущей задаче (см. первую часть статьи), нужно найти малый параметр так, чтобы привести нашу систему к системе, мало отличающейся от интегрируемой. Дальнейшее доказательство сводится к анализу расщепления сепаратрис полученной системы. Их трансверсальное (то есть под ненулевым углом) пересечение означает отсутствие дополнительных аналитических интегралов. [c.376]

Отметим в заключение, что вековое множество задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки играет важную роль при доказательстве отсутствия действительного аналитического интеграла (гл. III), при исследовании рождения изолированных периодических решений ( 2 гл. IV) и, наконец, при решении задачи Пенлеве о ветвлении решений и несуществовании однозначных интегралов ( 3-4 гл. V). Это позволяет с разных сторон рассмотреть классическую задачу об интегрируемости уравнений динамики твердого тела. [c.129]

Условия отсутствия полного набора инволютивных интегралов многомерных гамильтоновых систем указаны С. В. Болотиным [28]. Рассмотрим неавтономную гамильтонову систему с аналитическим гамильтонианом Я = Но г) + Н1 г,Ь) + о ), периодическим по времени. Здесь 2 = (х,у) — набор 2п симплектических переменных. Предполагается, что невозмущенная система имеет два гиперболических положения равновесия с различными вещественными собственными значениями, а также, что точки соединены двоякоасимптотическим решением t — Zo(t), I е Е. [c.264]

Л. А. Галин [32] решил ряд задач о контактных напряжениях для движущихся по упругому полупространству штампов произвольной формы с учетом сил трения. Была также решена задача о давлении штампа на анизотропную среду. Л. А. Галин для решения контактных задач вводит две аналитические функции, являющиеся интегралами Коши. Плотности этих интегралов есть нормальное и касательное напряжения. Это позволило решить задачу о движении плоского штампа при наличии участков со скольжением и сцеплением. Эту же задачу, но при отсутствии трения на участке скольжения, решил С. В. Фалькович [105]. [c.321]

Если этот метод рассматривать с точки зрения теории аппроксимации функций, нетрудно видеть, что исходным в нем является представление аппроксимируемых функций параметрическими интегралами типа (4.3). Действительно, в нашей задаче аналитическая структура функций р (Я) известна и, следовательно, отсутствует надобность строить и навязывать оптическим характеристикам какие-либо иные аналитические конструкции, подобные, скажем, многочленам, рядам Фурье и т. п. Поэтому метод обратной задачи является численным методом аппроксимации функций, который реализует их главное аналитическое свойство, а именно представимость параметрическими интегралами. Следует заметить, что этб представление может принимать как форму интеграла Римана, так и Стилтьеса. Для обоих вариантов выше изложены соответствующие алгоритмы. [c.230]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Вместе с тем Пуанкаре установил факт отсутствия при 3 дополнительных изолированных интегралов, и этот результат учитывает, следовательно, замечания, сделанные в 129. Тем не менее результат Пуанкаре, а также формальное его уточнение, сделанное Пенлеве, не является достаточным с точки зрения, указанной в 129—130. Действительно, эти отрицательные результаты относятся к случаю не фиксированных, а скорее неопределенных значений масс /тг, в уравнениях (5), и дополнительно предполагается, что интегралы, существование которых отрицается, зависят от переменных значений параметров nii определенным аналитическим образом. Очевидно, что эти предположения пе допускают сами по себе какую-либо динамическую интерпретацию, поскольку динамическая система (5) определена именно при фиксированныхл положительных числах тпг. [c.293]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...