Эволюция на фазовой плоскости

Понятие устойчивости резонанса (или застревания в резонансе) используется в практических задачах, связанных со спуском космических аппаратов в атмосферу. Для реализации устойчивого резонанса необходимо, чтобы на фазовой плоскости существовала колебательная область, ограниченная сепаратрисой, то есть, чтобы выполнялось условие (4.37), и достаточно, чтобы при отсутствии внутри колебательной области предельного цикла производная по медленному времени г полной энергии системы Е была меньше, чем производная по медленному времени потенциальной энергии ]Ус, вычисленной в седловой точке (рис. 4.6). В этом случае колебательная область расширяется быстрее, чем фазовая траектория приближается к границе области, ограниченной сепаратрисой. Производная Е/(1т показывает эволюцию фазовой траектории маятниковой системы (4.31), а производная (1 с/(1г — эволюцию сепаратрисы под действием малых возмущений (/1 0). Поскольку речь идёт о колебательном движении системы, то об указанных производных можно говорить только в смысле их средних на периоде колебаний значений. Так как переход через сепаратрису возможен лишь в малой её окрестности, то соответствующие производные следует усреднять на сепаратрисе, ограничивающей область, устойчивость движения в которой исследуется. Достаточное условие устойчивости резо- [c.128]

Существенно, что знаки правых частей усредненных уравнений (12)-(13) зависят только от переменных (долгота угла) и i (наклонность), это позволяет проследить эволюцию названных переменных на фазовой плоскости (г,Г2). Правая часть уравнения (12) есть квадратный трехчлен относительно os i7, запишем корни выражения [c.366]

Идеи современной нелинейной динамики часто представляют в геометрической форме или в виде рисунков. Например, движение осциллятора без затухания, х + ы х = О, можно представить на фазовой плоскости (дг, х) в виде эллипса (рис. 1.13). На таком рисунке время представлено неявно и временная эволюция описывается движением вдоль эллипса по часовой стрелке. Размер эллипса зависит от задания начальных условий для (х, х). [c.27]

Таким образом, учёт второй гармоники в зависимости восстанавливающего момента от угла нутации Ма а) приводит к возникновению качественно новых свойств, не характерных для случая Лагранжа, обусловленных возможностью появления на фазовом портрете системы особой точки типа седла, соответствующей неустойчивому положению равновесия. При наличии возмущений происходит эволюция величины энергии Е, что может привести к проходу её через критическое значение Это соответствует пересечению фазовой траекторией сепаратрисы, когда осуществляется переход между областями фазовой плоскости, внешне сопровождающийся скачкообразным изменением амплитуды колебаний угла нутации. Эту важную особенность необходимо учитывать при построении асимптотических приближений возмущённой системы. [c.76]

Рис. 22.1. Эволюция элементарного фазового объема на плоскости в случаях а — устойчивого состояния равновесия б — предельного цикла в — сепаратрисы, идущей из седла в седло

Рис. 22.2. Эволюция элементарного фазового объема на плоскости в случае неустойчивого состояния равновесия

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, в том числе в материаловедении и механике деформируемых тел, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, отрезками, плоскостями, многоугольниками, многогранниками, сферами, метрическая и топологическая размерности которых равны между собой. При этом внутренняя структура исследуемого объекта, как правило, игнорируется, а процессы образования структур и их взаимодействия между собой и с окружающей средой характеризуются интегральными термодинамическими параметрами. Это, естественно, приводит к утрате значительной части информации о свойствах и поведении исследуемых систем, которые, в сущности, заменяются более или менее адекватными моделями. В некоторых случаях такая замена вполне оправданна. В то же время известны ситуации, когда использование топологически неэквивалентных моделей принципиально недопустимо. В частности, при изучении сложных динамических систем необходимо учитывать особенности топологии как тонкой структуры объектов, так и фазовых траекторий системы. Дробная метрическая размерность таких объектов не только характеризует их геометрический образ, но и отражает процессы их образования и эволюции, а также определяет динамические свойства. [c.33]

Резонансными могут быть и волны с квазистационарной огибающей. Рост амплитуды гармонических волн возникает в тех случаях, когда прямая с = Со на плоскости с, д) касается фазовой кривой в некоторой точке д = Я Ф О (при этом с = g). Эволюция огибающей определяется при этом тем же путем, что и волны при = 0 исследованием выражения (55.8) (см. 61). [c.334]

Проблема интегрируемости. Переход от уравнений движения (1.1) и (2.7) к гамильтоновой системе со скобкой (1.10) и (2.17), описывающей эволюцию взаимного расположения вихрей, соответствует процессу редукции в алгебраической форме. Для реального понижения порядка необходимо, так же как и в случае плоскости, ввести некоторую систему координат (не обязательно канонических) на симплектических листах, которые и являются фазовым пространством приведенной системы. В дальнейшем ( 3) мы проделаем эту процедуру для частного случая при N = Ъ, при введении канонических (симплектических) координат, которые выражаются в очень частном случае через эллиптические функции. При К = 4 нам удалось построить соответствующие симплектические координаты только для случая плоскости, для случая сферы можно указать лишь общие соображения, позволяющие разобрать общий алгоритм, хотя и не являются каноническими, но также могут быть использованы для аналитических и численных исследований. [c.43]

Другим критерием определения режима эволюции системы является сечение Пуанкаре [8, 10]. При построении сечения в фазовом пространстве исследуемой системы выбирается плоскость, на которой фиксируются координаты точек пересечения фазовой траектории отдельного вихря (или маркера) в заранее выбранном направлении. В результате появляется последовательность точек, которые являются своеобразным протоколом движения рассматриваемой системы. Для периодических систем в качестве метода дискретизации фазовой траектории можно выбрать эквидистантные интервалы времени, соответствующие периоду движения. [c.447]

В теории релаксационных колебаний наша задача встречается в момент перестройки типичных семейств систем с одной быстрой и двумя медленными переменными, зависящих от одного параметра. Контактная структура в трёхмерном фазовом пространстве есть поле плоскостей, порождённых (вертикальным) направлением быстрого движения и (произвольным) направлением малого возмущающего поля. Быстрая релаксация отправляет фазовую точку вдоль вертикальной прямой на медленную поверхность, на которой отсутствует движение с быстрой скоростью. Медленная эволюция по этой поверхности протекает вдоль характеристик медленной поверхности нашего контактного пространства. [c.290]

Zo3 = y/ e (рис. 5.29). Начало координат на фазовой плоскости является особой точкой типа устойчивого фокуса. Все возмущения, меньшие амплитуды, соответствующей неустойчивому предельному циклу, осцил-ляторно затухают. Возмущения, большие амплитуды, отвечающей неустойчивому предельному циклу, осцилля-торно увеличиваются и амплитуды этих колебаний стремятся к предельному устойчивому циклу изнутри. Если амплитуда колебаний по какой-либо причине стала больше амплитуды, соответствующей устойчивому предельному циклу, то первая постепенно будет уменьшаться, стремясь в пределе снаружи навиться на предельный цикл. При изменении значения k происходит эволюция картины на фазовой плоскости. [c.210]

Рассмотрим вначале волны малой амплитуды, когда v = vq + v, v exp[ (wi — kx)] vo v ). Из (18.5) в этом приближении находим, что dv /dt + vodv /dx = О, и, следовательно, и = Vok vq = onst), т. е. в линейном случае в системе дисперсии нет. Пусть теперь в момент времени t = О пучок оказывается возмущенным по скорости по закону а sin f a . Перейдем в движущуюся со скоростью vq систему координат и рассмотрим эволюцию начального возмущения. Введем X = Жст — vot И V = Vo + и. Опуская индекс, в этой системе получим du/dt + udu/dx = 0. Решение этого нелинейного уравнения имеет вид так называемой простой волны и = U t — ж/и), где выражение для и определяется начальным возмущением. При распространении такой волны в нелинейной среде ее профиль меняется со временем, поскольку разные точки на профиле волны бегут с различной скоростью. В случае пучка это есть следствие того, что частицы смещаются друг относительно друга из-за разных скоростей, причем одни частицы могут обогнать другие в результате функция и х, t) станет неоднозначной [7]. Проследим за пучком на фазовой плоскости их, на которой каждая точка смещается со своей собственной скоростью. Верхней полуплоскости (и > 0) соответствует движение вправо, а нижний (и < 0) — влево, причем скорость каждой точки пропорциональна ее удалению от оси X. Рисунок 18.1 иллюстрирует процесс эволюции пучка на фазовой плоскости их. Начальное состояние пучка — синусоида а sin f a на плоскости их здесь же штриховой линией показана зависимость плотности объемного заряда пучка от х (рис. 18.1а). С течением времени происходит искажение профиля волны частицы с и > О уходят вперед. [c.371]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

В колебательных системах с периодической вынуждающей силой отображение Пуанкаре можно получить, стробоскопически измеряя динамические переменные в моменты, соответствующие определенной фазе вынуждающего движения. В задаче с п переменными сечение Пуанкаре получается в результате измерения п — 1 переменных в те моменты, когда п-я переменная принимает некоторое определенное значение или когда траектория в фазовом пространстве пересекает некоторую произвольную плоскость, как показано на рис. 1.17 (см. также гл. 2 и 4). Если известен закон эволюции в промежутке между двумя пересечениями выбранной плоскости, то можно связать положение траектории в моменты , и / с помощью известных функций. Например, в случае, показанном на рис. 1.17 [c.33]

В астрофизических и биологических приложениях нам приходится прослеживать эволюцию структур не только на плоскости или в евклидовом пространстве, но и на сферах и еще более сложных многообразиях. Примерами могут служить начальные стадии развития эмбрионов или образование структур в атмосферах планет, например Юпитера. Разумеется, в менее реалистических ( более модельных ) ситуациях мы можем рассматривать и бесконечно протяженные среды. При этом мы обнаружим явления, хорошо известные из теории фазовых переходов, и можем применить к ним метод ренормгруппы. [c.77]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...