Уравнения Гамильтона и отображения

Некоторые топологические соображения помогают наглядно представить, а затем и понять многомерное движение. Они естественно приводят к разностным уравнениям, т. е. к отображению динамической траектории системы на некоторое подпространство ее фазового пространства. В случае двух степеней свободы такие отображения дают простую и наглядную картину движения. Более того, использование отображений — обычно наиболее удобный путь проведения как аналитических и численных расчетов стохастического движения, так и математических доказательств существования различных типов траекторий. Вместе с тем регулярное движение, как мы видели в гл. 2, часто бывает удобно описывать дифференциальными уравнениями. Переход от дифференциальных уравнений (Гамильтона) к отображениям и обратно широко используется при анализе движения большинства нелинейных динамических систем. [c.175]

Дж. Най (I. Куе, 1984)заметил, что не все метаморфозы каустик и фронтов реализуются при движении фронта, определяемом уравнением эйконала (или Гамильтона — Якоби). Например, каустика системы лучей не может иметь вид губ с двумя точками возврата (хотя каустика лагранжева отображения — может). Дело в том, что включение лагранжева или лежандрова многообразия в гиперповерхность, заданную уравнением Гамильтона — Якоби или эйконала, накладывает топологические ограничения на сосуществование, а значит, и на метаморфозы особенностей (особенно в случае невырожденного, например, строго выпуклого по импульсам гамильтониана),— хотя сами по себе особенности реализуются и на гиперповерхности. [c.455]

Переход к отображению. Для двух степеней свободы функции f и g возмущенного отображения поворота (3.1.13) можно найти в первом порядке по е следующим образом. Интегрируя уравнение Гамильтона [c.182]

Подобно тому как непрерывное движение динамической системы можно описать разностными уравнениями на поверхности сечения Пуанкаре, физическую задачу, сформулированную в виде отображения, можно представить в форме уравнений Гамильтона. Это позволяет использовать методы усреднения и резонансной теории возмущений, рассмотренные в гл. 2. Как показано в п. 3.1в, разностные уравнения можно преобразовать в дифференциальные с помощью периодической б-функции (3.1.33). В случае отображения [c.235]

Ясно, что между двумя отображениями движение точки М подчиняется уравнениям Гамильтона в соответствующем четырехмерном фазовом пространстве. Выберем в окрестности тора Т , о котором говорилось выше, особую систему координат. Каждой точке М поставим в соответствие координаты (gi, 2) где qi — расстояние от точки М до ее ортогональной проекции на Г, Q2 — длина дуги 01 . Ясно, что в окрестности Г координаты qi, q2 (mod L) образуют систему лагранжевых координат. Пусть и р2 — соответствующие импульсы, масса М считается равной единице. Ясно, что на Г импульсы р и р2 совпадают с соответствующими скоростями v [c.230]

В главе 6 предлагается способ нормализации, отличный от классического и основанный на применении к 2я-периодической по t гамильтоновой системе метода точечных отображений. При нахождении точечного отображения используется тот факт, что преобразование фазового пространства, осуществляемое движениями гамильтоновой системы, является каноническим и находится не само отображение, а его производящая функция 8, удовлетворяющая уравнению Гамильтона — Якоби. При нахождении коэффициентов производящей функции, конечно, нужно проинтегрировать от = О до = 2я некоторую систему обыкновенных дифференциаль- [c.12]

Множество критических значений второй канонической проекции является гиперповерхностью SJ дM, R), определённой над дМ уравнением Гамильтона-Якоби = 1. Таким образом мы получили вложение SJ дM, R) W (естественный диффеоморфизм на Е) и отображение ехр SJ дM, К) ЗТ М (по существу, зто отображение совпадает с отображением ехр, определённом в примере перед теоремой 3). [c.213]

Пусть IV есть прямая сумма ортогональных подпространств. .., и спектр Д лежит в их объединении 0 W . Через И ,..., обозначим образы 1У], ..., при отображении А — . Легко понять, что система (4.2) распадается на р замкнутых подсистем с фазовыми пространствами Wi х W С С X . Пусть Щ — ограничение функции Гамильтона Я на Wi X W . Тогда Я = Н . Если базисные векторы. .., е принадлежат объединению и. .. и 1Ур, то в соответствующих канонических переменных уравнения (4.3) раз-, биваются на р замкнутых гамильтоновых систем с функциями Гамильтона Н (т. е. происходит частичное разделение переменных) при этом говорят, что исходная гамильтонова система есть прямая сумма своих подсистем. Если такое разложение (в сумму нетривиальных подпространств 1У,) невозможно, назовем гамильтонову систему неприводимой. Имеет место очевидное [c.389]

Мы интересуемся точечными отображениями, задаваемыми гамильтоновой системой дифференциальных уравнений. Пусть эта система имеет периодическое решение, совпадающее с началом координат, а функция Гамильтона аналитична по координатам и импульсам и 2л-периодична по t. Использование гамильтонова характера системы (1.1) существенно упрощает нахождение разложения оператора Т в ряд. [c.110]

В 3,3 мы рассмотрим линеаризованное движение и его устойчивость в окрестности неподвижных точек. Для иллюстрации применения этих методов к системам с дву.мя степенями свободы в 3,4 рассматривается модель ускорения Ферлш, описываемая с помощью отображения. Неподвижные точки (периодические решения) и их устойчивость исследуются аналитически и сравниваются с численными результатами. Получена также гамильтонова форма отображения. Наконец, в 3,5 рассматривается задача о движении маятника под действием периодического возмущения в окрестности сепаратрисы, Производится переход от уравнений Гамильтона к отображению и рассмотрен характер линеаризованного движения. Такой подход был использован Чириковым [70] при анализе перехода от регулярного к стохастическому движению. Этот метод будет изложен в гл. 4. Он применяется также при оценке скорости диффузии Арнольда в гл, 6. [c.176]

Как уже отмечалось, переход от уравнений Гамильтона к отображению и обратно используется при анализе движения динамических систем. Как мы увидим в следующем параграфе, типичное поведение гамильтоновых систем описывается обычно в терминах отображений. Используя отображение, легко провести также численное моделирование нелинейных колебаний на времени порядка миллионов периодов. Наконец, аналитический вывод диффузионных уравнений для хаотического движения получается, опять-таки исходя из отображений. Вместе с тем регулярные свойства отображений часто легче получить из уравнений Гамильтона. Как мы увидим ниже, отображения можно представить в виде некоторых специальных уравнений Гамильтона. Это позволяет связать анализ отображений с общей теорией гамильтоновых систелг. Покажем сначала, как перейти от уравнений Гамильтона к отображению, и наоборот. [c.182]

Исследования нелинейной динамики (в том числе и методом сечения Пуанкаре) путем численного интегрирования уравнений Гамильтона очень трудоемки, поскольку шаг интегрирования должен быть много меньше характерного периода движения. В отличие от этого прямое итерирование заданного на том же периоде отображения может быть легко выполнено на сотни тысяч периодов и дает в существенных чертах ту же картину движения, что и уравнения Гамильтона. Такие отображения интенсивно использовались в различных исследованиях нелинейных колебаний. В 3.4 мы рассмотрим этим методом задачу об ускорении Ферми [126]. Здесь же проиллюстрируем некоторые обсуждавшиеся выше особенности на примере квадратичного отображения поворота, исследованного Хеноном [185] [c.204]

Канонические отображения в четномерных пространствах исследовались Пуанкаре в связи с интегрированием уравнений Гамильтона и теорией интегральных инвариантов [ ]. Особые свойства плоских канонических отображений были отмечены в [ Изложение теории канонических отображений читатель может найти в классической монографии [ [c.53]

Ряд Маклорена интеграла (1.17) начинается с невырожденной квадратичной формы. Конечно, уравнения Гамильтона могут допускать вырожденный интеграл. По-видимому, теорема 3 справедлива и в том случае, когда вместо непрерывно дифференцируемых интегралов вида (1.17) рассматриваются 2тг-периодические по t интегргшы, представимые в окрестности точки х = у = О сходящимися степенными рядами. Этот результат, вероятно, можно доказать методом работы [59]. Необходимо проверить, что изолированные периодические точки отображения за период возмущенной системы (1.18) составляют ключевое множество для класса функций, аналитических в окрестности начала координат. [c.318]

Дальнейшая нелинейная нормализация может быть осугцествлена либо при помогци классического преобразования Биркгофа [21], либо при помогци сравнительно нового метода Депри-Хори или его модификаций [22]. Для неавтономной системы оказался эффективным [17 метод точечных отображений, основанный на приближенном решении уравнения Гамильтона-Якоби вблизи точки qj = Pj =0. Нелинейная нормализация последовательно упрогцает (или даже уничтожает совсем) члены третьей, четвертой и т. д. степеней в разложении (2). При этом нормальная форма членов степени в преобразованной функции Гамильтона будет зависеть от наличия или отсутствия резонансов (3) до порядка включительно. [c.116]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

Действие в фазовом простраистве. Пусть снова М = r N и Я УИ ХД->/ —гладкая функция Гамильтона. На расширенном фазовом пространстве МХА корректно определена 1-форма pdq—Hdt—форма энергии-импульса . Рассмотрим "ладкий путь (о [0, 1]->AIXA, траектория которого в расширенном фазовом пространстве представляется уравнениями p=p(t). Множество всех таких путей обозначим Й. Т1 иацией пути (о (с подвижными концами) назовем отображение С-е, e)->Q такое, что "1 а(0) = (о. [c.37]

Доказательство этой теоремы можно провести совершенно так же, как это сделано Мозером [5] при доказательстве аналогичной теоремы при т = 2. Укажем основные моменты доказательства. Подробности изложены в [57]. Сначала надо привести функцию Гамильтона (1.2) к виду (5.2) и, используя интеграл Н — = onst, свести систему (1.1) к системе с одной степенью свободы. Применяя затем теорему Мозера об инвариантных кривых к отображению, порождаемому полученной гамильтоновой системой дифференциальных уравнений второго порядка, можно показать, что при выполнении условия (5.5) на каждом уровне Н = onst в любой достаточно малой окрестности начала координат существуют инвариантные торы системы (1.1). Отсюда следует устойчивость положения равновесия. [c.86]

Математическая теория основана на том факте, что уравнения движения Гамильтона (1.1) определяют непрерывное точечное преобразование (или отображение) в фазовом ьространстве, которое сохраняет опредедеиную меру. Это известная теорема, называемая теоремой Лиувилля. Возьмем произвольную совокупность фазовых точек или, для большей наглядности, некоторую область фазового пространства, имеющую определенный объем. Если границы области изменяются с течением времени, то фазовые точки движутся ио естественным траекториям, но мера этой совокупности, или величина объема деформированной области, остается инвариантной.. Другими словами, естественное движение напоминает течение несжимаемой жидкости в 2/-мерном фазовом пространстве. Если существуют некоторые интегралы движения, то движение фазовых точек может происходить лишь в ограниченных частях эргодической поверхности. Однако обычные динамические системы не имеют других интегралов [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...