ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МАЛОЙ РАЗМЕРНОСТИ

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ [c.385]

Когда мы говорим о динамических системах малой размерности, или, точнее говоря, о динамических системах с фазовым пространством малой размерности, мы имеем в виду простую и традиционную концепцию евклидовой размерности связного многообразия. Другими словами, мы полагаем, что [c.385]

В третьей и четвертой частях общая программа, очерченная в первой части, осуществляется значительно более глубоко для динамических систем малой размерности и гиперболических динамических систем, которые особенно хорошо поддаются такому анализу. Гиперболические системы являются ярким примером хорошо понятого сложного поведения. Эта сложность [c.12]

Во-вторых, очень часто ситуации малых размерностей служат превосходными модельными случаями и наглядными пособиями для важных общих динамических явлений. Иногда мы сталкиваемся с этими явлениями в системах малой размерности в ясной форме, очищенной от технических осложнений (часто громоздких). Это дает возможность понять и показать сущность исследуемых явлений наиболее эффективным способом. В качестве примеров можно привести использование растягивающих отображений окружности, подков на плоскости и гиперболических автоморфизмов двумерных торов для демонстрации различных аспектов гиперболического поведения в динамике, которое мы начали исследовать систематически в гл. 6 и которое составляет тему части 4 этой книги. Другой пример — понятия степени и индекса, изучаемые в гл. 8. Степень отображения окружности, введенная в 2.4, и индекс неподвижной точки двумерного многообразия — это хорошие наглядные модели более сложного общего случая. [c.386]

В последующих главах мы покажем, как многочисленные следствия этих двух фундаментальных одномерных свойств — теоремы о промежуточном значении и конформности одномерных дифференцируемых отображений — возникают в процессе анализа динамических систем малых размерностей. Следует обратить внимание на то, что использование этих явлений не ограничивается системами с одномерными фазовыми пространствами и голоморфными отображениями. Иногда, когда размерность фазового пространства равна двум или трем, важные инвариантные структуры, связанные [c.387]

В просто малоразмерной ситуации могут наблюдаться явления, характерные для общих динамических систем, например экспоненциальный рост числа периодических точек, положительность топологической энтропии (определение 3.1.3), нетривиальные гиперболические множества (определение 6.4.2) и присутствие большого количества инвариантных мер. Гладкие примеры из нашей второй группы, т. е. растягивающие отображения из 1.7, квадратичные отображения и двумерные подковы из 2.5 и гиперболические автоморфизмы двумерного тора ( 1.8) — представители этой категории. Имеются, однако, два различия между системами малых размерностей и ситуацией в динамике в целом. В первом случае некоторые сложные динамические явления появляются в упрощенной форме сравните, например, конструкцию марковского разбиения на параллелограммы для гиперболического автоморфизма двумерного тора, описанную в 2.5, с об- [c.388]

Теории колебаний, качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем удалось полностью исследовать лишь двумерные системы, а стохастические автоколебания возможны только у систем размерности, не меньшей трех. Методы малого параметра А. Пуанкаре [243, 244] и асимптотические методы Н. М. Крылова — Н. Н. Боголюбова [92], применимые к системам любой размерности, не позволяли обнаружить стохастические движения, если их не было у порождающей системы, что связано с нестепенным порядком малости областей существования стохастических движений по малому параметру. [c.81]

Однако существуют два больших класса систем, для которых эта программа, сформулированная и примененная к примерам в гл. 2, 3 и 4, может быть продвинута существенно дальше. Это динамические системы с фазовыми пространствами малых размерностей, анализу которых посвящена эта часть книги, и динамические системы с гиперболической структурой, которые мы начали обсуждать в гл. 6 и подвергнем более глубокому исследованию в части 4. [c.385]

Прежде чем перейти к обсуждению точного смысла слова малая размерность в нашем контексте, перечислим некоторые причины, по которым мы выделяем динамические системы, действующие на многообразиях малой размерности, в качестве отдельной темы для исследования. [c.386]

В этом месте мы существенно использовали малую размерность динамической системы, чтобы контролировать образы отрезков, используя ограниченность вариации. В 7 с помощью той же идеи будет доказана эргодичность диффеоморфизмов окружности, рассмотренных в настоящем параграфе. [c.407]

Система слабо взаимодействующих гармонических осцилляторов и система с быстро вращающимися фазами. До сих пор все приводимые нами модели дискретных динамических систем были не более чем трехмерные. Ограничиться столь простыми моделями удается далеко не всегда. Если изучение моделей большей размерности при сильных нелинейностях только начинается, то при малых нелинейностях такие исследования достаточно продвинуты, и здесь уже успели сформироваться некоторые типовые модели. В этой связи прежде всего можно указать на систему слабо взаимодействующих осцилляторов и роторов и на систему с так называемыми быстровращающимися фазами. [c.19]

Слабый крупномасштабный или широкополосный хаос динамические процессы можно охарактеризовать с помощью орбит в фазовом пространстве малого числа измерений 3 < п < 1 (от 1 до 3 мод в механических системах) и обычно удается измерить фрактальную размерность, которая оказывается меньшей 7 хаотические орбиты охватывают обширные области фазового пространства спектры состоят из широкого набора частот, особенно меньших частоты возбуждения (если последнее присутствует) [c.46]

Во-первых, что, впрочем, не так важно, динамические системы малой размерности выражаются аналитически через функции малого количества переменных и могут быть представлены наглядно, т. е. графически, с помощью таких обычных геометрических объектов, как кривые и поверхности. Формулы, уравнения и графики, входящие в описание таких систем, конечно, делают эту область динамики а priori простейшей с точки зрения интуитивного восприятия. [c.386]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Слабая Т. J)T. волновых полей, когда из-за сильной дисперсии волновые пакеты перекрываются на. малое время и взаимодействие между волнами оказывается достаточно слабым—справедливо приближение (гипотеза) случайных фаз волн. Пример слабой Т. (в таком понимании)—волнение на поверхности моря без образования барашков. 2) Движение среды (или поля), соответствующее хаосу динамическому. При этом размерность фазового пространства динамической системы, описывающей Т. (или число независимых возбуждённых мод колебаний), прибл. glO. В простейшем случае — это низкоразмерный временной хаос (примером является Лоренца систсма). В более общем случае — низкоразмерный пространственно-временной хаос (пример—динамика дефектов в жидких кристаллах). [c.178]

Для динамических систем размерности, большей трех, отображение (1.1) гл. 2 дает другой пример неограниченного вытягивания и укладки. Характерной его особенностью является укладка без складываний, которая требует для точечного отображения размерности не меньше трех, а для соответствующей динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями,— не меньше четырех. Уже этот факт говорит о возможностл существенного отличия четырехмерных систем от трехмерных, а не только трехмерных от двумерных. Насколько реально такое различие, в настоящее время сказать трудно в силу очень малой изученности четырехмерных систем. Отметим тут же, что в четырехмерных системах, как будет видно из дальнейшего, возможны бифуркации, которых нет в трехмерных систе1мах. Весьма правдоподобно, что отличие четырехмерных систем от трехмерных скорее всего окажется весьма значительным. [c.76]

В этой книге мы преимущественно рассматриваем динамические системы с компактным фазовым пространством. Чтобы применить излагаемые нами понятия и методы к гамильтоновой системе с гамильтонианом Н, можно рассмотреть ограничение динамики на гиперповерхности Н = с, которые часто оказываются компактными, например для геодезического потока на компактном римановом многообразии, где эти гиперповерхности представляют собой сферические расслоения над конфигурационным пространством. Иногда можно еще понизить размерность системы, используя первые интегралы, отличные от интеграла энергии. Если с не является критическим значением гамильтониана и гиперповерхность Д, = х( Я(х) = с компактна, то гамильтонова система сохраняет невырожден1 ю (2п— 1)-форму которая может быть описана следующим образом. Локально можно разложить 2п-мерную меру, порождение формой ш, на (2п-1)-мерные меры на для всех достаточно малых 5 и рассматривать условные меры, каждая из которых определена с точностью до мультипликативной константы. Таким образом, в этом случае благодаря предложению 5.5.12 можно применить теорему Пуанкаре о возвращении 4.1.19, эргодическую теорему Биркгофа 4.1.2 и другие факты из эргодической теории к ограничению гамильтоновой системы на Д.. [c.237]

Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых моделях. Как мы видели выше, бифуркации удвоения периода найдены и во многих динамических системах с малой размерностью, таких, как аттрактор Рёслера, отображение Хенона, уравнение Дюффинга и др. [Некоторые эксперименты по конвекции Рэлея—Бенара обнаруживают эти бифуркации, а также некоторые признаки их универсальности. Спектры скорости высокого разрешения в эксперименте Рэлея—Бенара с водой, показанные на рис. 7.33 [155, 157], демонстрируют некоторые из бифуркаций удвоения. Было проведено также сравнение экспериментальных значений амплитуд субгармоник с предсказаниями модели Фейгенбаума. Как показано в п. 7.26, отношение амплитуд развитых субгармоник должно быть равным у х 6,6. На рис. 7.33,г [c.482]

Таким образом, рассматриваемая система с течением времени продолжает находиться в состоянии, близком к геострофическому балансу, а влияние агеострофичности проявляется в возникновении высокочастотных колебаний малой амплитуды, которые накладываются на стационарные значения зависимых переменных. Заметим, что такое состояние является устойчивым по отношению к малым возмущениям, поскольку формулы (10) остаются справедливыми при незначительном изменении параметров т , и I, например в случае, если 2т]/ = 1+о(е), = = —1+о(е), 2(0)=о(б) . Переходя к размерным переменным, приходим к выводу, что квазигеострофические решения невязких модельных уравнений при К 1 характеризуются медленными изменениями с частотой порядка относительной завихренности жидкости и быстрыми колебаниями с частотой порядка угловой скорости вращения системы в целом. Поэтому геофизический триплет можно рассматривать как результат осреднения системы (1), (2) по периоду быстрых колебаний. Другими словами, взаимоотношение между динамическими системами (1), (2) и (4) носит такой же характер, как между уравнениями гидродинамики и квазигеострофическими моделями геофизических течений. [c.166]

В случае, когда потенциал и имеет конечный радиус дейст- ВИЯ, удается проверить кластерный характер равновесной динамической системы. Точнее, в размерности й = [35] и в размерности >2 при малых значениях г [36] (ср. с теоремой 2.2) типичная (по отношению к соответствующему распределенин> Гиббса) точка х обладает следующим свойством. Частицы (<7,/7)6х можно разбить на конечные попарно непересекающие-ся группы (кластеры) таким образом, что при движении на заданном ограниченном интервале времени частицы из разных кластеров не вступают во взаимодействие друг с другом. Затем происходит перераспределение частиц по новым кластерам, которые снова движутся независимо, и т. д. [c.258]

Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распределённые) Д. с.—системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечно-мерно.м случае консервативные и диссипативные Д. с. — системы с сохраняющимся и несохраняющимся фазовым объёмом. Г амильтоновы системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс консервативных систем. У диссипативных систе.м с неогранич. фазовым нространством часто существует ограниченная область в нём, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с. с н е п р е-рывным временем (потоки) и Д. С. с дискретным временем (каскады) дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель п оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике н т. д.). Грубые и пегрубые Д. с. понятие грубости (структурной устойчивости) характеризует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении её параметров. Значения параметров, при к-рых система перестаёт быть грубой, наз. б и ф у р-к а ц и о н н ы м II (см. Бифуркация). При размерности фазового пространства больше 2 могут существовать целые области в пространстве пара.метров, где Д. с. оказывается негрубой. [c.626]

При исследовании динамических контактных задач для нолуограниченных тел выбор методов исследования напрямую зависит от значений частоты колебания. Случаи низких и средних частот могут быть изучены с применением регулярных методов (см. гл.1) — метод ортогональных многочленов, метод больших Л , метод фиктивного поглош,ения, прямые численные методы и т.д. С ростом частоты колебания регулярные методы, как правило, приводят к алгебраическим системам очень высокой размерности и при дальнейшем росте частоты теряют устойчивость. Сингулярные асимптотические методы (в частности, метод малых Л ) с успехом применялись к решению высокочастотных контактных задач в антиплоском случае [1,2], где символ ядра основного интегрального уравнения допускает факторизацию в простой форме. Данный параграф посвящен развитию сингулярных методов для задач, в которых известные стандартные подходы, как правило, не приводят к явным аналитическим решениям. Изложение, в основном, следует работам автора [3-5]. [c.278]

Первое ограничение системы (7-И) накладывается диапазоном частоты вращения коробки скоростей станка. Второе ограничение накладывается по минимуму — возможностью получения малых подач станком, по максимуму — допустимой шероховатостью поверхности детали. Третье и четвертое ограничение приносит с собой заготовка. Пятое ограничение — либо по тбчности, тогда R совпадает (не полностью) с Лд либо по прочности, тогда R — сила или напряжение в слабом звене системы СПИД либо по мощности, тогда и—мощность, приведенная к валу двигателя . либр по какой-то характеристике качества поверхностного слоя. Шестое ограничение накладывается точностью, предъявляемой к обрабатываемой детали, здесь бдоп — допускаемое колебание размера динамической настройки, т. е. часть размерного допуска доп (мы рассматриваем случаи обработки, когда превалирующей является погрешность динамической настройки). Седьмое ограничение— по стойкости режущего инструмента — рассмотрено выше. [c.478]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...