Частные решения задачи трех тел

Прямолинейные решения задачи трех тел. Другой класс частных решений задачи трех тел (см. предыдущий пункт) найдем, исследуя условие, при котором для трех масс о, /Пь т , расположенных в трех точках Д, Р , лежащих на одной прямой, результирующая притяжения, которое одна из них испытывает со стороны двух других, пропорциональна ее расстоянию от центра тяжести системы. [c.217]

Затем был поставлен вопрос о разыскании классов механических задач, интегрируемых подобно эйлеровой задаче о движении материальной точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, в квадратурах (системы Лиувилля), а также о разыскании каких-либо новых частных решений динамических задач, отличных от знаменитых частных решений задачи трех тел, отмеченных еще Эйлером и подробно изученных Лагранжем и Лапласом. [c.326]

ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 357 [c.357]

Частные решения задачи трех тел [c.357]

Уравнения Ляпунова. Частные решения задачи трех тел [c.738]

Определение. Лагранжевыми частными решениями задачи трех тел называются вещественные решения системы [c.528]

Пять таких орбит были найдены еще Лагранжем в качестве частных решений задачи трех тел. [c.102]

При рассмотрении задачи п тел можно сформулировать несколько полезных утверждений, имеющих общий характер и представляющих собой десять интегралов движеиия. Эти интегралы были известны уже Эйлеру, но с тех пор других подобных соотношений не обнаружено. Кроме того, Лагранжем были найдены некоторые частные решения задачи трех тел, представляющие интерес как для астрономии, так и для астродинамики. Эти решения реализуются, если начальные условия удовлетворяют определенным соотношениям. [c.128]

Прямая N не обязательно зависит фактически от f. В частности, весьма трудной представляется проблема определения всех частных решений задачи трех тел, удовлетворяющих условия.м (I) и (П) и обладающих фиксированной прямой N . Как можно судить по известным до сих пор данным, такие решения, возможно, не существуют. Эта проблема связана с вопросом, поднимаемым ниже в 436. [c.383]

Частные решения задачи трех тел были найдены Эйлером, Лагранжем и Лапласом. Мы здесь кратко рассмотрим частное к решение Лагранжа — так называемое треугольное решение. Лагранж [c.167]

Частное решение задачи трех тел, в котором точки а ,, и о.Жз, двигаясь по коническим сечениям, всегда располагаются на одной прямой, было найдено Эйлером. [c.169]

Аналитическое направление ставит задачи о представлении переменных параметров любых систем небесных тел при помощи рядов, абсолютно и равномерно сходящихся для всех значений времени, заключенных в достаточно обширном промежутке, а также о достаточно эффек-, тивных оценках остаточных членов этих рядов. К этому же направлению относятся изыскания новых частных решений задачи трех и многих тел и нахождение вполне интегрируемых случаев этих и других задач. [c.333]

Здесь рассматриваются частные решения общей задачи трех тел, приводятся теоремы Брунса и Пуанкаре о несуществовании алгебраических и однозначных трансцендентных интегралов задачи трех тел, кроме десяти классических, и излагаются исследования Зундмана, дающая общее математическое решение задачи трех тел. [c.6]

Для установления частных решений задачи трех твердых тел удобнее всего воспользоваться вместо прямоугольных координат точек l и Сг относительно точки Со такими же переменными Ляпунова, которые были использованы в задаче о движении трех материальных точек. [c.422]

Таким образом, были выявлены условия, при наличии кото-ры.х могут существовать частные решения задачи трех твердых тел, аналогичные классическим лагранжевы.м и эйлеровым решениям задачи трех материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона. [c.441]

Но задача об устойчивости этих частных решений задачи трех твердых тел стала рассматриваться только в самое последнее вре.мя и существенного развития еще не получила. [c.441]

Общее решение задачи трех тел с необходимым числом произвольных постоянных до сих пор неизвестно. В то же время найдены различные частные решения, которые зависят от некоторого числа произвольных постоянных. При этом в последнее время стали играть большую роль периодические решения, и с их помощью изучение задачи трех тел пошло по новым путям, которые имеют большой теоретический интерес. Исследование этих орбит продвинулось уже столь далеко, что открыло новые горизонты в числовых расчетах орбит небесных тел. [c.353]

Хотя не известно никакого обш его формального решения проблемы трех тел, однако существуют частные решения проблемы, известной как задача Лагранжа ), в которой конфигурация этих тел представляет собой либо жесткую прямую линию, либо треугольник это следующие движения [c.162]

Вполне естественно раз уж не удается найти обш ее решение пытаться получить частные решения задачи трех тел, для которых интегрирование оказывается возможным, например за счет соображений симметрии. Легко убедиться в том, что система из гравитирующих материальных точек не может иметь состояния статического равновесия. Лагранжу и Эйлеру удалось, однако, показать, что возможно равновесие динамическое три тела находятся в точках с неизменными координатами, но в неинерциальной, равномерно вращающейся системе координат. Другими словами, каждое из тел совершает равномерное круговое движение вокруг общего центра масс, с одной и той же угловой скоростью. [c.34]

Другими частными решениями задачи трех тел, существование которых доказано строго, являются периодические орбиты. Работа Пуанкаре ) представляет обширную теорию этого класса орбит. В гл. XII настоящей книги пример такого рода периодических орбит приводится при рассмотрении теории Хилла —Брауна движения Луны. Метод, примененный для изучения орбит в окрестности периодической орбиты, выбранной в качестве первого приближения в теории Луны, применим в большинстве случаев и к периодическим орбитам в ограниченной задаче. Однако в этом случае уравнения в вариациях больше не являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, как это было для частных решений Лагранжа. Коэффициенты этих линейных уравнений представляют собой периодические функции времени. [c.234]

Следующее исследование покажет, что частные решения задачи трех тел, возникающие в (4), но-нрежнему не являются наиболее общими траекториями тройного столкновения [1, 2, 3]. При онределении всех из них можно иредноложить, что в коллинеарном случае с использованием обозначений из предыдущего параграфа точка Р2 при t = О лежит между Р3 и Pi, так как две другие возможности могут быть сведены к этой с помощью циклической перестановки индексов. [c.111]

Частные решения задачи трех тел, которые мы здесь рассмотрим, впервые были получены Лагранжем в преми .ова 1Ном мемуаре 1772 г. Метод, принятый здесь, радикально отличается от метода Лагранжа и легче поддается обобщению для сл гчая большего количества тел. Но, с другой стороны, этим методом не достигается понижение порядка задачи, что составляло интересную черту мемуара Лагранжа. Однако так как не было возможности использовать каким-либо путем это понижение, то оно не имеет особого практического значения. [c.248]

Однако, прежде чем перейти к описанию таких методов, рассмотрим частные решения задачи трех тел, полученные Лагранжем. При этом будем следовать Дэнби [5]. [c.139]

Лагранжевы частные решения задачи трех тел, ранее pa Mi, тренные в разд. 5.7—5.9, показывают, что в пространстве междУ Землей и Луной существуют пять точек, в которых (если пренебречь возмущениями от Солнца) останется в равновесии частица, причем геометрия ее положения относительно Земли и ЛунЫ [c.384]

Разумеется, О Пейл и его коллеги понимают, что строительство подобных колоний—дело далекого будущего. Поэтому на первом этапе Принстонская группа предлагает построить две вечные станции в либрационных точках орбиты Луны (на 120 градусов от нее в обе стороны). До тех пор, пока существует система Земля — Луна, эти станции останутся на этих местах — частное решение задачи трех тел, сформулированной Ньютоном и решенной Лагранжем. Станции так и предлагалось назвать первую — Ньютон , вторую — Лагранж . Эти станции должны были иметь диаметр около 1,5 километра и вмещать до 10 тысяч человек. [c.624]

При ц = О планетный вариант неограниченной задачи трех тел вырождается в две задачи двух тел (одна задача двух тел с массами то п ту = О, вторая задача двух тел с массами то и тг = 0). Очевидно, что среди возможных движений в вырожденной задаче имеются кеплеровские эллипсы, описываемые нулевыми массами т, = тг = 0. Пусть, в частности, кеплеровские орбиты суть компланарные окружности. Пуанкаре доказал [2], что при 11фО в плоской неограниченной задаче трех тел существуют периодические решения, близкие к круговым. Точнее, взаимные расстояния между тремя телами будут периодическими функциями времени, а чтобы координаты каждого тела были периодическими функциями времени, необходимо рассматривать равномерно вращающуюся (с конечной угловой скоростью) систему координат. В неподвижной системе координат координаты трех тел не будут, вообще говоря, периодическими функциями времени. Если ввести для таких периодических решений оскулирующий кинематический параметр — эксцентриситет, то он имеет порядок величины ц. Эти плоские перподиче-ские решения задачи трех тел были названы Пуанкаре решениями первого сорта, и они образуют четырехпараметрическое семейство решений. Пуанкаре показывает, что все множество периодических решений не богаче, чем однократное бесконечное множество периодических решений, так как одни семейства решений переходят в другие с помощью элементарных преобразований. Заметим также, что решение Хилла является частным случаем периодических решений первого сорта Пуанкаре. [c.792]

С целью обойти трудности, связанные с большой размерностью фазового пространства, А. Н. Колмогоров предложил в 1954 г. изучить один частный случай задачи трех тел, в котором соображения симметрии позволяют свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Подробнее мы рассмотрим эту систему в одной из следующих частей, а сейчас ограничимся лишь упоминанием о результатах, которые удалось на этом пути получить. Во-первых, К.А.Ситников [29] в 1959 г. доказал для этого примера (а, следовательно, и для общей задачи трех тел) существование осциллирующих движений (0S). которые были введены Шази как чисто логическая возможность, которую приходится терпеть, коль скоро не удается ее отвергнуть. Строго говоря, рассуждения К. А. Ситникова относятся лишь к одностороннему поведению решений, но соображения симметрии позволяют показать существование решений типа 08 П 05+, что и отражено в табл. 2. А. Н. Колмогоров показал, что в основе рассуждений Ситникова лежит весьма простая геометрическая конструкция и высказал в связи с этим гипотезу о строении границы областей НЕ ,, упомянутую выше. Затем автору удалось показать, что в рассматриваемом примере применимы методы символической динамики это позволило доказать непустоту классов НЕ П В+, НЕ П 08+, В П 08 , 08 П В+. К сожалению, в все построенные примеры лежат на подмногообразии высокой коразмерности, что не позволяет судить о мере соответствующих подмножеств. Все же каждое из них содержит континуум (в смысле мощности) траекторий. [c.51]

В том же случае, когда тела p и рг обращаются около О по эллипсам, кривые параболических начальных данных и друг с другом не совпадают. Если эллипсы мало отличаются от окружностей, то удастся доказать типичность уравнения. Используя разложения по эксцентриситету эллипсов как по малому параметру, можно убедиться в том, что кривые и, асимптотические близкие к окружности г> = 2, имеют ровно две трансверсальные точки пересечения (как на рис. 3). Одной точке пересечения, близкой к (0,2), соответствуют моменты наибольшего сближения тел pi и рг. Другой, близкой к (2, тг), — моменты наибольшего удаления. Следуя рассуждениям предыдущего параграфа, можно определить окрестности точек псрсссчспия, хорошие с точки зрения возможности использования символической динамики. В фазовом пространстве этим окрестностям отвечает некоторое открытое подмножество V многообразия прямолинейных конфигурации. Оно зависит от двух параметров N и формулируемая ниже теорема справедлива, если достаточно мало, а N достаточно велико. Теорема 3. Множество Му решений рассматриваемого частного случая задачи трех тел, когда моменты прямолинейных конфигураций их состояния принадлежат V, находится во взаимно однозначном соответствии со множеством всех символических последовательностей вида [c.101]

Среди работ, затерянных в безбрежном океане статей и монографий, посвященных задаче трех тел, многие результаты и поныне не утратили своего значения. XVIII в. оставил нам частные решения Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, теорию возмущений и метод вариации постоянных . XIX столетию принадлежит великое открытие па копчике пера , сделанное У. Леверрье и Дж. Адамсом. Идея представления решений в виде степеииых и тригонометрических рядов также в духе того столетия для вычисления орбит небесных тел астрономы до сих пор нередко используют методы, восходящие к исследованиям того времени. Итог исследованиям XIX в. подвели Новые методы небесной механики Л. Пуанкаре и знаменитая теорема К. Зундмана об аналитической регуляризации любого решения задачи трех тел с ненулевым значением момента количества движения. [c.133]

Лагранж думал, что найденные им частные решения пе имеют астрономического значения. По позднее было установлено, что Солнце, Юнитер и малые планеты троянской грунны образуют приблизительно равносторонний треугольник. Поэтому представляет интерес найти решения задачи трех тел, близкие к решениям Лагранжа это будет сделано в 16. [c.131]

При некоторых специальных начальных условиях можно получить очень простое решение задачи трех тел (случай Лагранжа), представляющее большой интерес для астрономии. Частным случаем задачи трех тел является так называемая ограниченная задача трех тел, в которой два тела конечной массы движутся вокруг центра инерции по эллиптическим орбитам, а третье тело имеет бесконечно малую массу. Для ограниченной задачи удалось построить разнообразные классы периодических движений (периодические орбиты Пуанкаре, Шварцшильда и др.). Для общего случая задачи трех тел подробно изучены предельные свойства движения при -> -ь оо и [c.6]

Только в некоторых частных случаях задача трех тел допускает сравнительно простые решения. Одно из них было найдено знаменитым французским математиком Лагранжем в конце XVIII века. Случай Лагранжа заключается в следующем. [c.16]

Решение задачи двух тел, кратко изложенное в 5.4 и далее, представляет одно из самых больших достижений ньютоновой механики. В указанном выше смысле эту задачу можно считать полностью решенной, т. е. мы можем определить положения частиц в любой момент времени, если известны координаты этих частиц и их скорости в момент t = Q. Что же касается задачи трех тел, то ее нельзя считать решенной в этом смысле. Однако для многих частных случаев этой задачи, возникающих в астрономии, удается построить приближенное решение с весьма высокой степенью точности. Небесные тела приближенно можно считать имеюш ими сферическую форму со сферически симметричным распределением массы взаимное притяжение таких тел таково же, как у частиц, расположенных в их центрах. Если в качестве трех тел рассматриваются Солнце и две планеты, то основным упрощающим условием является то, что массы и m2 планет малы по сравнению с массой М Солнца, так что членами третьего порядка относительно mjM и m lM обычно можно пренебречь. (Например, масса Земли составляет менее чем 1/300 ООО массы Солнца.) Если же рассматривается движение Солнца (М), планеты (т) и ее спутника ( i), то отношения тп1М и [i/M всегда малы и, кроме того, [i/m мало, хотя порядок малости последнего отношения и отличается от порядка малости ml М. (Например, масса Луны составляет около 1/80 массы Земли.) Другое обстоятельство, облегчающее построение приближенных решений, заключается в том, что эксцентриситет планетных орбит, как правило, весьма мал (для орбиты Земли он составляет приблизительно 1/60). [c.562]

Рассматривая классическую ограниченную круговую задачу трех тел при определенном соответствии конечных масс, Г. Дарвин и ученые копенгагенской школы под руководством Э. Стремгрена установили классификацию всех существуюпщх простых периодических решений задачи, которая позволяет проследить процесс исчезновения определенных классов периодических орбит при изменении начальных условий. Много работ посвящено также изучению траекторий вблизи лагранжевых частных решений, исследованию ограниченной задачи трех тел, устойчивости движения динамических систем и др. [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...