ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Частные решения задачи трех тел из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Мы видели во второй части этой книги, что общая ограниченная задача трех тел может допускать простые частные решения, называемые либрационными, в которых пассивная точка образует с активными точками равносторонний треугольник [лагранжевы решения ( 4) и ( 5)) или лежит на одной прямой, проходящей через активные точки (эйлеровы решения ( 1), (Ь2), (1з)). [c.357] Мы покажем теперь, что аналогичные решения может допускать и общая задача трех тел (материальных точек ), если законы действующих сил удовлетворяют некоторым условиям. [c.357] Третьи уравнения систем (8.42) и (8.43) решениями (L) удовлетворяются сами собой. [c.358] Если точка Мг является пассивно действующей, а две остальные — активными, т. е. если / и = Р02 — О, то последнее из условий (8.45) выполняется само собой и для существования лаг ранжева решения в ограниченной задаче мы имеем только два первые из условий (8.45), что и было показано во второй части книги. [c.359] Примером задачи, в которой условия (8.45) заведомо выполняются, может служить задача, в которой все функции Рц одинаковы, т. е. когда в рассматриваемой системе трех материальных точек мы имеем один-единственный закон, зависящий произвольным образом от времени, взаимного расстояния и его двух первых производных. [c.359] Уравнения (8.46) можно, очевидно, рассматривать как уравнения движения материальной точки единичной массы под действием центральной силы, источником которой является точка Мо. Эта задача была рассмотрена также во второй части. [c.360] Заметим, что всякому решению системы (8.46) соответствует два треугольных лагранжевых решения, соответствующие двум равносторонним треугольникам с общим основанием AioAii. [c.360] Особенно важным случаем является тот, когда среди решений уравнения (8.46 ) имеются постоянные решения, соответствующие случаю, когда треугольник (MoMiMi) является неизменным равносторонним треугольником. [c.360] Если функция R не содержит явно Времени t, то круговое решение будет существовать для всякого значения постоянной а, для которого R(a, О, 0) 0. [c.361] Формула (8.46 ) показывает, что для выполнения неравенства О необходимо, чтобы все три функции Fio, foi, F 2 приводились при р = а к некоторым постоянным и чтобы по крайней мере одна из этих постоянных была положитель ной, т. е. чтобы из трех различных законов сил по крайней мере один был законом притяжения. [c.361] Таким образом, если все силы, управляющие движением системы трех тел-точек, являются силами отталкивания, то задача заведомо не допускает кругового лагранжева решения. [c.361] Примечание. Мы рассматривали движение двух точек Ml и Мг относительно точки Mq. В лагранжевом решении треугольник (MoMiMz) (переменный или постоянный) вращается вокруг вершины Mq. [c.361] Но совершенно так же можно рассматривать движения всех трех точек относительно общего центра масс G. Тогда в лагран-жевоти решении треугольник (МоМ1Мг) будет вращаться вокруг точки G, и точки Мо, Мь Мг будут описывать в плоскости треугольника подобные орбиты. [c.361] Посмотрим теперь, в каких случаях общая задача трех материальных точек может допускать аналогичное решение. [c.361] Условия (8.47 ) означают, что масса Мо должна действовать на массы точек М и М2 по общему закону, что точки М и М2 должны также действовать на Мо по общему закону, вообще отличному от предыдущего, и что действия точек М я М2 друг на друга должны быть одинаковы. [c.362] Условия (8.47 ), разумеется, выполняются, если все функции Fij одинаковы, т. е. если движение трех тел-точек управляется одним общим законом, например, законом Ньютона, или вообще законом, зависящим только от взаимных расстояний между каждыми двумя точками. [c.362] Уравнения (8.50) показывают, что равнобедренные треугольные решения могут существовать и что при этом стороны треугольника и угол при вершине изменяются одновременно и вдобавок этот изме яющийся треугольник вращается вокруг вершины Мо, оставаясь всегда в одной плоскости, образованной начальными радиусами-векторами. [c.363] В частности, угол при вершине ф может оставаться постоянным, и тогда треугольник не вращается, но стороны его непрерывно изменяются. [c.363] Наоборот, может случиться, что равные стороны остаются постоянными, а угол ф и угловая скорость со изменяются. [c.363] Допустим, что в уравнениях (8.50 ) сторона р остается постоянной, которую примем для простоты равной единице. [c.364] Вернуться к основной статье