Собственные состояния данной энергии

Координатное представление. Рассмотрим собственные состояния данной энергии в координатном представлении. С помош,ью соотношения полноты [c.62]

Чтобы лучше понять эти уравнения, рассмотрим собственное состояние данной энергии. В этом случае Е = Е", и поэтому два уравнения сводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных [c.102]

Рис. 4.1. Элементарная картина собственного состояния данной энергии в фазовом пространстве. Рассматривается фазовое пространство, образованное безразмерными координатой кх и импульсом р1 Нк). В этих переменных, траектория в фазовом пространстве отвечающая собственному состоянию с энергией Ет = Ш (ш + 1 /2), является окружностью радиуса у 2 (ш + 1/2), которая

Такой результат согласуется с наивной фазовой картиной собственного состояния данной энергии = ЙО (т [c.127]

В этом разделе мы сначала определим когерентное состояние как такое состояние, которое возникает в результате внезапного смещения квадратичного потенциала. Затем обсудим распределение по энергии для когерентных состояний. Оно определяется интегралом перекрытия когерентного состояния с собственным состоянием данной энергии. Мы вычислим этот интеграл перекрытия двумя способами во-первых, используя точные волновые функции таких состояний, и, во-вторых, используя довольно грубое приближение, которое, однако, нагляднее всего выявляет лежащую во основе физику. Затем мы обсудим эволюцию когерентных состояний во времени и установим её связь с движением классической частицы в потенциале гармонического осциллятора. [c.133]

В гл. 4 мы построили когерентное и сжатое состояния гармонического осциллятора, например, маятника, путём внезапного смещения точки подвеса или изменения его длины. Таким образом мы перешли от основного состояния маятника к состояниям, не являющимся собственными состояниями данной энергии. Что случится, если рассмотреть другой предельный случай, то есть вновь начать с основного состояния маятника, но теперь медленно менять его длину [c.199]

В этом контексте медленно означает медленно по сравнению со всеми временными масштабами системы , то есть мы рассматриваем адиабатические изменения. Следовательно, в каждый момент времени существуют мгновенные собственные состояния данной энергии m(t)). В раннюю эпоху развития квантовой механики Пауль Эренфест обнаружил, что при адиабатических изменениях маятник остаётся в подобном мгновенном собственном состоянии. Однако он приобретает некоторую фазу. Эта фаза состоит из двух частей а) динамической фазы, возникающей из-за того, что стационарное состояние подвергается унитарной эволюции во времени, и б) геометрической фазы, связанной с топологией пространства параметров. Последнюю принято называть фазой Берри. [c.199]

Для этого обсудим сначала адиабатическое приближение. Мы увидим, что при адиабатическом изменении во времени квантовая система, первоначально приготовленная в собственном состоянии данной энергии, остаётся в мгновенном собственном состоянии, но приобретает фазу. [c.200]

Рассмотрим временную эволюцию произвольного состояния Ф(t = 0)) и разложим его по мгновенным собственным состояниям данной энергии согласно соотношению [c.200]

Проектируем теперь на собственное состояние данной энергии R(t)]) и предполагаем условие ортонормированности [c.201]

Собственные состояния данной энергии [c.237]

Эллиптическая фазовая траектория т-го собственного состояния данной энергии, определяемая уравнением [c.237]

Можно глубже понять это элементарное представление собственного состояния данной энергии, если переписать формулу для площади в виде /. ........ [c.239]

Фазовая амплитуда собственного энергетического состояния. С помощью понятия интерференции в фазовом пространстве вычислим теперь амплитуду вероятности (р т) обнаружения данной фазы в собственном состоянии данной энергии. Такой формализм связывает [c.257]

С помощью выражения (8.32) для фазового распределения собственного энергетического состояния находим амплитуду вероятности обнаружения данной фазы в собственном состоянии данной энергии [c.259]

К сожалению, это определение имеет недостаток. Действительно, как показано на основании геометрических соображений рис. 8.7, каждое собственное состояние данной энергии т) вносит в бесконечную сумму в выражении (8.35) вклад т (р) = (2тг) /2 0 зависящий от т. Отсюда выражение для (р) (8.35) не является сходящимся О. [c.259]

Собственное состояние данной энергии гармонический осциллятор, Вигнера функция 131 ---— — —, контурный интеграл 125 [c.755]

Сформулируем теперь основной постулат равновесной статистической механики. Он отражает тот факт, что нам известно весьма немногое о микроскопическом состоянии системы мы лишь предполагаем, что энергия системы лежит в узком интервале Е, Е + АЕ). Однако, как уже говорилось, у больших систем имеется огромное число собственных состояний, значения энергии которых лежат в данном интервале. При этом у нас нет никаких данных, которые позволили бы отдать предпочтение какому-либо одному состоянию и считать, что оно лучше других представляет рассматриваемую систему — все такие состояния одинаково хорошо совместимы с имеющейся информацией о системе. Таким образом, единственное разумное предположение заключается в следующем каждое из этих состояний с равной вероятностью является реализацией макроскопического состояния системы. Именно в этом заключается знаменитый принцип равенства [c.132]

Пусть дано s-кратно вырожденное состояние с энергией , симметрией Гл, с собственными функциями Ф ь Фп2, , Ф и г-кратно вырожденное состояние с энергией Ет, симметрией Гт и собственными функциями Фт, Фт2, Фтг- Требуется определить симметрию Г/пл набора функций li — Фп Фт/, где г = 1, 2,. .., S п / = 1, 2.....г. Число функций типа Ч // будет S X Матрицы и D " ) в представлениях Гл и Гт соответственно получаются из соотношений [c.81]

Для каждой конкретной системы она может быть найдена как решение фундаментального уравнения квантовой механики — волнового уравнения Шредингера. Оказывается, например, для электрона в атоме такое физически осмысленное решение существует только для выделенной последовательности значений энергии и момента количества движения. Эти разрешенные , или собственные , состояния и определяющие их собственные значения энергии и момента количества движения как раз и соответствуют состояниям, введенным Н. Бором. Однако при этом представление об орбитах электронов становится недействительным и отпадает. При данном состоянии электрона он может быть обнаружен не на некоторых орбитах, а с разной вероятностью во всем объеме атома. Вероятность обнаружения в данной точке определяется квадратом модуля волновой функции в данной точке. [c.7]

Состояния гармонического осциллятора данной энергии деляются уравнением на собственные значения [c.61]

Почему бы не сопоставить эту круговую орбиту в фазовом пространстве элементарному представлению собственного энергетического состояния Покажем, что в пределе больших квантовых чисел волновая функция данной энергии ит х) действительно может быть представлена как линейный интеграл в таком базовом пространстве. [c.125]

Мгновенное собственное состояние n[R(t)]) гамильтониана ii[R(t) данной энергии Еп[ 1 Ь)] определяется уравнением [c.200]

Для величин, имеющих физический смысл (в данном случае мы имеем в виду матричные элементы оператора энергии), должно быть, согласно п. 81.12, безразлично, исходим ли мы для представления операторов и векторов из величин Ь/ и рр/> или непосредственно из оператора энергии с его собственными состояниями. Это требование может быть использовано также для представ- [c.95]

Нормальные колебания решетки являются независимыми, если для данного твердого тела можно считать применимым закон Гука. Энергия нормальных колебаний решетки в этом случае зависит только от их частоты со, квантовых чисел п фононных состояний и не зависит от заполнения каких-либо других собственных состояний решетки (мод). В состоянии теплового [c.212]

Как и следовало ожидать, она оказывается дельтаобразной. В данном случае этот результат тривиален взаимодействия между частицами нет, поэтому затухание отсутствует, и собственные значения оператора энергии одной частицы (X) определяют точные изменения энергии всей системы при изменении числа частиц в последней на единицу (при добавлении частицы в состояние X к полной энергии добавляется слагаемое Ш (X) ). [c.44]

Из данного равенства следует, что средняя энергия равна сумме собственных значений оператора энергии с весовыми коэффициентами, равными вероятностям нахождения системы в состояниях, описываемых собственными функциями. [c.80]

В системе отсчёта, в к-рой тело покоится (такая система отсчёта наз. собственной), его энергия (энергия покоя) есть 8( =тс . Если тело, оставаясь в покое, изменяет своё состояние, получая энергию в виде излучения или тепла, то из релятив. закона сохранения энергии следует, что полученная телом энергия А8 связана с увеличением его массы покоя соотношением А8—Атс . Величина 8о тс определяет макс. величину энергии, к-рая может быть извлечена из данного тела в системе отсчёта, в к-рой оно покоится. [c.510]

Аналогично, функция Вигнера этого собственного состояния данной энергии находится путём решения дифференциального уравнения типа уравнения Шрёдингера (3.27а). Оно является уравнением в частных производных в фазовом пространстве. Следовательно граничные условия в фазовом пространстве определяют собственные значения энергии. [c.110]

Таким образом, вытекающая из (6.8) адиабатическая теорема утверждает, что система, изначально находившаяся в собственном состоянии данной энергии, остаётся в этом состоянии, если изменение R(t) адиа-батично. В этом случае отсутствуют переходы в другие мгновенные собственные энергетические состояния. Следовательно, в результате [c.202]

В предыдущих главах мы сформулировали вигнеровское представление квантовой механики, в частности, представление произвольного квантового состояния. Это одна возможность. Другой, ещё более простой способ основан на ВКБ-анализе собственного энергетического состояния, рассмотренный в предыдущей главе. Суть метода — в представлении собственного энергетического состояния в виде единственной траектории, как показано пунктирными линиями на рис. 7.1. Как следует из условия квантования Бора-Зоммерфельда-Крамерса, эта крамерсовская траектория для т-го собственного состояния данной энергии охватывает в фазовом пространстве площадь 27гЙ(ш + 1/2). [c.220]

Состояния как полосы в фазовом пространстве. Согласно формуле (7.8), мы можем сопоставить ш-му собственному состоянию данной энергии в потенциале единственную орбиту в фазовом поостоанстве [c.228]

В проведенном рассуждении (Предполагалось, что волновая функция имеет определенную четность (либо четная, либо нечетная). Строго говоря, это справедливо только для невырожденного состояния системы (например, для основного состояния ядра), которое описывается единственной собственной функцией. Если состояние системы с данной энергией вырождено, т. е. описывается суперпозицией нескольких собственных функций, часть из которых четные, а часть нечетные, то четность этого состояния будет неопределенной . В этом случае закон сохранения четности стриБОДит к сохранению отнооительной доли парциальных составляющих с определениым и значениями четности. [c.91]

Дираковские обозначения квантовых состояний не привязаны к конкретному представлению. В частности, абстрактный вектор состояния т) не позволяет глубже проникнуть в свойства этого состояния. Он позволяет путём абстрактных вычислений получать ответы на вопросы типа какова вероятность обнаружить колеблющуюся частицу в заданной точке х или с заданным импульсом р. Однако при этом необходимо переходить к координатному или импульсному представлениям. В данном разделе мы обсудим эти представления для собственных состояний энергии. [c.61]

В разделе 2.2.2 мы определили координатное представление собственного энергетического состояния гармонического осциллятора. Соответствующее граничное условие — затухание волновой функции в классически недоступной области — отбирает из всех возможных решений соответствующего уравнения Шрёдингера волновую функцию данной энергии. Поэтому граничные условия в координатном пространстве приводят к дискретности собственных значений энергии и определяет их величину. [c.110]

В этом параграфе рассматриваются вопросы, связанные с распределением собственных значений в зоне, т. е. с плотностью состояний. Плотность состояний при заданной энергии Е равна числу различных собственных векторов динамической матрицы в интервале энергии между и + йЕ. Плотность состояний зависит от к. Критической точкой плотности состояний называется энергия Е или волновой вектор к, при которых плотность состояний имеет сингулярность. В частности в критической точке производная плотности состояний по энергии обращается в бесконечность. Краткое рассмотрение критических точек дано в книге Кохрана и Каули [8] этот вопрос обсуждается также в работах [63, 85]. [c.312]

Полученный результат справедлив при любом выборе ортонор-мированной системы функций Если система // выбрана произвольно, то для построения матрицы гамильтониана потребуется большое число функций //, и соответствующее представление группы симметрии будет иметь очень высокую размерность. Если, с другой стороны, взять в качестве функций /г собственные состояния гамильтониана, то действие на них гамильтониана сведется к умножению их на некоторое число (собственное значение энергии), и матрица гамильтониана окажется диагональной. Любое преобразование симметрии должно поэтому переводить либо в себя, либо в вырожденное состояние. Размерность представления, порожденного данной функцией / , не может превышать степень вырождения состояния. Таким образом, между размерностью представления группы и степенью вырождения состояния, породившего это представление, существует тесная связь. В частности, если под действием неприводимого представления все состояния некоторой совокупности преобразуются друг через друга, то это означает, что и под действием операции симметрии эти состояния будут преобразовываться друг через друга, т. е. мы не можем найти никакой линейной комбинации (никакого унитарного преобразования), представляющей исключение. Из симметрии гамильтониана поэтому следует, что эти состояния должны быть вырожденными. Мы пришли тем самым, правда с помощью интуитивных соображений, к одному из важных результатов теории групп. Если группа симметрии гамильтониана имеет многомерные неприводимые представления, это означает, что собственные состояния гамильтониана должны быть вырожденными. [c.38]

Хайек прекрасно осознает, что, подходя к исследованию рыночной экономики с позиций доступности знания, он разрушает представление о гармонии частных интересов и глобальных целей общества. Он вынужден отказаться от представления об экономике как о системе рационального хозяйства , разрушая тем самым предложенную А. Смитом постановку вопроса об интересе как о внутренней регулирующей силе. Тем самым он идет гораздо дальше К. Менгера, который отказывался принимать идею о соответствии частного и общего интересов в рыночных условиях как догму (т.е. без обсуждения), но, по-видимому, не возражал бы против ее принятия как вывода (в согласии с общей методологией А. Смита). Хайек пишет В прямом смысле слова хозяйство — это организация или социальное устройство, где некто сознательно размещает ресурсы в соответствии с единой шкалой целей. В создаваемом рынком спонтанном порядке ничего этого нет, он функционирует принципиально иначе, чем собственно хозяйство . Он отличается, в частности, тем, что не гарантирует обязательного удовлетворения сначала более важных, по общему мнению, потребностей, а потом менее важных... 3.9 . Хайек отказывается от представления о хозяйстве , вводя идею порядка . На этот концептуальный сдвиг мы должны обратить особое внимание. Хорошо известна роль идеи порядка в статистической физике, где порядок противостоит хаосу . В статистической физике, так же как и в той концептуальной модели экономики, которую предлагает Хайек, порядок при определенных обстоятельствах устанавливается сам, так как такое состояние оказывается более вероятным, чем хаос (так, например, кристаллизируется жидкость при низкой температуре). Это происходит не потому, что каждая молекула знает свое место . Движение молекул определяется лишь локальной информацией о положении соседей. Порядок устанавливается потому, что число возможных упорядоченных состояний с данной энергией оказывается очень высоким, большим, чем число хаотических состояний. [c.25]

Собственное значение и собственную функцию системы, находящейся в данном квантовом состоянии, определяют. путем отысканий волновой функции, которая дает минимум энергии в выражении (2-47), удовлетворяющей условию ортогональности, граничным условиям. Необходимо также сделадь еще одно замечание. Так как Н представляет собой с) мму энергии кинетической и потенциальной, причем кйнетическая энергия определяет в основном величину энергии связи, то в дальнейшем будем считать, что Н = Ек- [c.53]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...