Резольвенты и БГ-функция

В теории интегральных уравнений Вольтерра второго рода функция T(i) называется ядром уравнения (5.12), а функция /С(/) —его резольвентой. Если для ядра Т(0 найдена резольвента K t), то уравнение (5.11) называется решением уравнения (5.12), и, наоборот, уравнение (5.12) будет решением уравнения (5.11), если для ядра К (t) уравнения (5.11) найдена резольвента T(t). Уравнение (5.12) можно записать в краткой форме [c.220]

В дальнейшем для удобства будем называть функцию скорости релаксации Т(0 ядром, а соответствующую ему функцию скорости ползучести /С(О — резольвентой. [c.233]

Чтобы найти резольвенту К t), воспользуемся теоремой о смещении, на основании которой оригинал функции (5.90) будет [c.234]

При условии (2.4) резольвента является аналитической функцией X в круге — а). Соотношения же (2.8) и (2.9) [c.37]

Установлено [73], что резольвента Г(д , у, Я,) может быть представлена в виде отношения двух целых (по параметру X) функций [c.37]

Выше отмечалось, что резольвента существует при достаточно малых Я и что она является мероморфной функцией во всей плоскости (в предположении ее существования). Следовательно, она существует во всей плоскости, за исключением нулей функции D(X). А раз так, то вне нулей всегда существует решение уравнения при произвольной правой части. Заметим, что разложение (2.2) сходится вплоть до наименьшего по модулю полюса резольвенты. Представляют интерес те значения Яо, которые являются нулями D %). Поскольку 0(Я) — целая функция, то в конечной части плоскости может быть расположено лишь конечное число нулей. Пусть точка Яо является нулем кратности г. Тогда имеем следующее разложение для резольвенты в окрестности точки Яо [c.38]

Докажем еще, что все собственные значения — простые, т. е. что резольвента будет иметь лишь полюсы первого порядка (так называемые простые полюсы). Пусть —полюс порядка, большего единицы. Тогда в соответствии с формулами (2.16) и (2.16 ) на поверхности 5 существуют две функции фа и фь, удов- [c.103]

Аппарат интегральных уравнений позволяет сравнительно просто дать ответ на вопрос о корректности решения в зависимости от краевых условий, поскольку представление решения интегральных уравнений через резольвенту (фиксированную функцию, так как поверхность считается неизменной) сводит задачу к задаче об изменении интеграла в связи с изменением подынтегральной функции. Не составляет труда показать, что в этом случае имеет место корректность решения. Тогда и сами потенциалы, определяемые решением интегрального уравнения, будут меняться незначительно. [c.254]

Заметим, что при а = 0 = 1, Эо( , t) = t. Хорошо известно, что если ядром интегрального уравнения служит экспоненциальная функция, то резольвента будет также экспоненциальной функцией. Теорема умножения (17.2.4) легко проверяется непосредственно, так же, как формула (17.2.5). [c.581]

Ряд (14.16) представляет собой разложение резольвенты интегрального уравнения по параметру и около точки и = О и будет сходящимся до первой особой точки этой функции. Из спектральных свойств уравнений следует, что при к = 1 (первая внутренняя и вторая внешняя задачи) ряд (14.16) будет, вообще говоря, расходящимся, так как к = — 1 является полюсом резольвенты. В этом случае решение можно представить, например, в виде следующего сходящегося ряда [73] [c.103]

Отметим, что резольвентой В (г, т) оператора Вольтерра (1.1.12) с ядром Е (т) К t, т), где К дается формулой (5.16), служит функция [15,17] [c.65]

Резольвента I — х) ядра ( а t — т) выражается через табулированную 5-функцию Ю. Н. Работнова [c.72]

Здесь Е (т) — моду.ть упругомгновенной деформации, Q ( , т) — мера релаксации. Функция р (С т) равна продольному напряжению в момент времени t при одноосном напряженном состоянии однородного тела при воздействии единичной продольной деформации, приложенной в возрасте материала т. Функция Е ( , т) есть резольвента ядра К (С т), определяемого соотношением [c.96]

В уравнении (1.32) функция Гц t, т)—резольвента ядра t, т). Введем функцию [c.161]

В (3.5) функция со (с х) есть кривизна изогнутой оси стержня, 2 — расстояние г-го прутка арматуры в сечении х от оси у. Обозначим через В Е, I, т) резольвенту ядра 8С 1, х)1дт с параметром (см. 1.1). Тогда из (3.4) вытекает, что [c.182]

Входящая в правую часть этого уравнения функция у ( о, выражается через известную начальную погибь г/о ( ) помощью равенства (1.21). Представим резольвенту Я I, т, х, ) уравнения (1.33) в виде ряда Неймана, аналогичного ряду (1.1,14) [c.244]

Сравнение исходного интегрального уравнения для эффективного излучения (17-94") с его решениями в формах (17-113) и (17-118) показывает, что в последнее под знак интеграла вошла функция jv, характеризующая собственное излучение, вместо неизвестной функции эфя, выражающей эффективное излучение. Учет многократных отражений с этой функции переносится на разрешающий угловой коэффициент и резольвенту излучения. Следовательно, вся сложность задачи и ее решения сосредоточивается на определении резольвенты излучения. [c.408]

Это уравнение представляет собой в некотором смысле резольвенту задачи о движении тяжелого гироскопа, потому что (мы покажем это в п. 33) как только будет определено путем интегрирования уравнения (48) выражение для у = 7з в функции от времени, так при помощи алгебраических преобразований и квадратур найдутся [c.113]

Функция R (х, S, I) называется резольвентой интегрального уравнения. Она в свою очередь удовлетворяет интегральным уравнениям ь [c.258]

Резольвента уравнения Фредгольма представляет собой частное двух целых функций параметра X [c.258]

Ряд (7-68) для определения резольвенты при выполнении ои(ре-деленных условий является сходящимся. Несомненным достоинством метода итераций является общность представления решения в виде (7-67). При этом все трудностя решения сводятся к отысканию резольвенты Т°(М, Р), после чего решение получается простым интегрированием (7-67) для любого произвольного задания известной по условию функции Е°сой(Р) по области F°. Однако существенным неудобством метода итераций является необходимость последовательного вычисления квадратур К°т(М, Р) в (7-68) для нахождения резольвенты. Обычно эти квадратуры точно не определяются, в связи с чем приходится прибегать к численному интегрированию. [c.216]

Второй (резольвентный) подход в методах алгебраического приближения основан на резольвентном представлении решения исходного интегрального уравнения теплообмена излучением. На основании известного из математики итерационного метода решение интегрального уравнения можно представить в виде квадратуры, в которой под знак интеграла входят резольвента и известная по условию функция. При этом в свою очередь резольвента от ядра исходного интегрального уравнения удовлетворяет новому интегральному уравнению, в котором фигурируют только оптико-геометрические параметры излучающей системы. Излучающая система аналогично классическому подходу разбивается на зоны, в пределах каждой из которых радиационные характеристики и заданные плотности излучения принимаются постоянными. С учетом такого зонального деления интегральное уравнение для резольвенты аппроксимируется система ми линейных алгебраических уравнений, решаемых численно или аналитически. [c.222]

В случае симметричного ядра К°(М, Р) резольвента Г°(М, Р) будет также симметричной функцией двух точек. Тогда на основании свойств симметрии (или взаимности) и замкнутости резольвенты для разрешающих коэффициентов облученности г 1°гз будут выполняться соотношения замкнутости [c.264]

Более точное представление дает ядро и его резольвента, принятые в виде суммы экспоненциальных функций [c.50]

Ограничение на константу связано с тем, что при = О скорость деформации и сама деформация в момент приложения нагрузки становятся бесконечно большими. Ядро хуже работает при достаточно больших временах нагружения. Его резольвентой является следующая функция [c.51]

Резольвентой ядра (1.46) является следующая функция [c.51]

Резольвентой этого ядра является функция [c.52]

Резольвентой этого ядра будет следующая функция, найденная Работновым при /3 — —1 [c.52]

Полученную ранее формулу (3.2.16) для корреляционных функций можно записать через резольвенту [c.193]

Отметим также, что движение частиц 1 и 2 в конце процесса должно описываться точной двухчастичной резольвентой Ri2 z). Таким образом, главный вклад двух- и трехчастичных диаграмм в функцию G xi x2]z t — т) дается формулой [c.203]

Чтобы завершить обсуждение общей формулы для квантового интеграла столкновений, осталось выяснить, как вычисляются матрицы Т" Е). Формула (4.2.35) выражает Т" Е) через резольвенты R" E). Поэтому, вычислив резольвенты, мы сможем найти и Т-матрицы. Однако в большинстве практических задач этот метод неудобен, так как фактически нужно знать собственные функции и собственные значения двухчастичного гамильтониана /i2- Другой метод состоит в нахождении Т-матрицы из уравнений [c.272]

Интегральное уравнение (2.24) при Я=1 соответствует второй основной задаче для совокупности областейDI,. ..,От когда решение разыскивается в виде единого потенциала простого слоя, распределенного по всем поверхностям. Собственные функции союзного уравнения соответствуют решению первой основной задачи для области О. Используя обобщенную теорему Гаусса (1.19), не составляет труда показать, что смещение как жесткого целого каждой из поверхностей 5/ (/ = = 0) есть собственная функция. Поэтому в отличие от случая, когда область ограничена одной поверхностью, точка X = 1 является полюсом резольвенты. [c.567]

Отметим еще одно обстоятельство. Расчеты показали (и это обстоятельство находится в соответствии с выводами, следующими из теории резольвенты), что, начиная с некоторого значения п, функции (fniq) ведут себя во всех точках как члены геометрической прогрессии с единым знаменателем (определяемым расположением второго полюса резольвенты). Поэтому при невысокой степени сходимости можно, установив достоверную величину знаменателя, аналитически просуммировать прогрессию и получить тогда точное значение плотности. [c.575]

Чтобы при помощи преобраловапия Л получить функцию Ляпунова (уравнение (36)), необходимо тщательно исследовать сингулярности резольвенты, соответствующей оператору Лиувилля (21). Можно показать, как это недавно сделали Теодосопулу и др. [24], что при небольших отклонениях от термодинамического равновесия функционал Ляпунова И (уравнение (36)) сводится к макроскопической величине S" S (уравнение (9)). Кроме того, при этом во времени эволюционируют только величины, удовлетворяющие закону сохранения. Это означает, что нам удалось в самой общей форме, по крайней мере для онзагеров-ской области, установить взаимосвязь между термодинамикой необратимых процессов и статистической механикой. Следует подчеркнуть, что, по существу, это означает дальнейшее расширение применимости результатов, давно полученных в рамках теории Больцмана, справедливой для разреженных газов (25). [c.152]

С помощью дифференц. выражений формулируют и дифференц. ур-ния. Поэтому вопросы существования, единственности, зависимости от нач. данных для решений дифференц. ур-ний естественно ставятся на языке свойств д. о. как вопросы об области определения, ядре, непрерывности обратного оператора. Нанр., теоремы существования решений доказывают с номон(ью метода сжатых отображений — классич. метода теории операторов. Существенную информацию дают исследование спектра Д. о. и свойств его резольвенты, разложение по ого собств. ф-циям, изучение возмущений Д. о. Наиб, развита теория линейных Д. о., к-рые вооби ,е являются важнейшим примером неограниченных операторов (см. Линейный оператор). Б дифференц. геометрии и физ. приложениях особую роль играет класс Д. о., не меняющихся или меняющихся спец. образом при действии на дифференц, выражение преобразований из пек-рой группы (см., напр., Ковариаптпая производная, Лапласа оператор). Д. о. служат для описания структуры ряда матем. объектов. Напр., обобщённую функцию медленного роста можно представить как результат действия Д. о. на непрерывную ф-цию степенного роста. [c.684]

Итак, для стандартного тела ядро релаксации является экспоненциальной функцией. Следовательно, и ядро ползучести будет экспоненциальной функцией. Вообще при связи между напряжением и деформацией, заданной дифференциальным соотношением с постоянными коэффициентами, ядра релаксации и ползучести будут представлять собой суммы экспоненциальных функций. Дифференциальные соотношения описывают поведение определенных линейных вязкоупр ,гих сред, так называемых сред с дискретным спектром времен релаксации. Большинство же полимерных материалов, как показывают эксперименты, обладают сплошным спектром. Для сред со сплошным спектром ядра ползучести и релаксации были предложены многими авторами (см. [46, 55, 90]). Некоторые из предложений сведены в табл. 2, где представлены ядра релаксации и их резольвенты. [c.143]

Это уравнение описывает процесс изменения напряжения при заданном законе деформирования. В частности, при постоянной деформации s = onst оно описывает процесс релаксации напряжения. Функция Ro t — I) называется ядром релаксации и является резольвентой ядра Пд ( — ). [c.74]

В практических расчетах корреляционных функций и интеграла столкновений по формулам (3.2.16) и (3.2.18) приходится иметь дело с большим количеством интегралов по времени, возникающих при разложении оператора эволюции по взаимодействию. Одним из способов справиться с этой трудностью является преобразование Лапласа оператора эволюции ехр(—zrL) = exp(—zrLi... /). Считая, что г > О, введем резольвенту оператора эволюции [c.192]

Oh определяет вклад многочастичных парных столкновений в перенормированную двухчастичную резольвенту. Из соотношений (3.3.6) и (3.3.27) находим соответствующую поправку к парной корреляционной функции [c.206]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...