ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нормальные возмущения из "Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости " В заключение заметим, что в полости, имеющей форму трехосного эллипсоида, произвольно ориентированного в пространстве, также возможно равновесие. При этом, однако, градиент температуры на бесконечности должен иметь определенное (невертикальное) направление, зависящее от ориентации полости. [c.17] Как уже указывалось, механическое равновесие неравномерно нагретой жидкости может оказаться устойчивым или неустойчивым. Равновесие устойчиво, если все возмущения со временем затухают. Если же одно или несколько возмущений со временем нарастают, то равновесие неустойчиво относительно этих возмущений. Их развитие со временем приведет к тому, что равновесие будет нарушено, и возникнет конвекция. [c.17] В реальных условиях неизбежно возникают самые различ.-ные возмущения. Поэтому равновесие жидкости можно практически наблюдать лишь в том. случае, когда оно устойчиво. Неустойчивое же равновесие быстро сменяется конвекцией, если, разумеется, не приняты специальные меры, исключающие возникновение опасных возмущений. [c.17] На границе жидкости и массива должны выполняться обычные условия исчезновения скорости и непрерывности температуры и теплового потока (см. (1.22)). Кроме того, необходимо потребовать затухания возмущений температуры в массиве вдали от полости. [c.18] Здесь теперь v, р, Г, Гт — безразмерные возмущения, а все производные берутся по безразмерным времени и координатам. [c.19] Здесь теперь v, р, Т и — зависящие от координат амплитуды. [c.19] Линейная однородная краевая задача (3.5) —(3.10) есть задача о собственных значениях. Собственными числами являются декременты нормальных возмущений X (характеристические декременты), а собственными функциями — соответствующие амплитуды. Таким образом, сформулированная краевая задача определяет спектр нормальных возмущений равновесия жидкости в полости определенной геометрии. [c.19] При данной форме полости спектр зависит от четырех параметров, входящих в уравнения и граничные условия чисел Рэлея и Прандтля R и Р, а также отношений теплопроводностей и температуропроводностей к и Эти параметры определяют подобие задачи о нормальных возмущениях равновесия подогреваемой снизу жидкости. [c.19] Зависимость нормальных возмущений от времени заключена в экспоненциальном множителе ехр(—Если декремент % является вещественным, то возмущение изменяется со временем монотонно при X О возмущение затухает, а при Я О — нарастает. Если декремент оказывается комплексным, то его можно представить в виде X = Хг + В этом случае возмущения осциллируют с частотой, равной мнимой части декремента Затухание или нарастание этих осциллирующих возмущений определяется знаком вещественной части Хг. Для устойчивости равновесия необходимо, чтобы вещественные части декрементов всех нормальных возмущений были положительными. Если же в спектре найдется хотя бы одно возмущение с отрицательным Кг, то это будет означать неустойчивость равновесия по отношению к данному возмущению. [c.20] В случае замкнутой полости спектр нормальных возмущений оказывается дискретным, т. е. имеется счетная последовательность характеристических декрементов и соответствующих возмущений ). Нахождение этого спектра для полости определенной формы сводится к решению краевой задачи (3.5) —(3.10). Можно, однако, следуя В. С. Сорокину р], установить некоторые важные общие свойства спектра, не зависящие от конкретной формы полости. [c.20] Соотношения (3.13), (3.14) позволяют сделать определенные заключения о вещественной и мнимой частях декрементов. [c.21] Пусть жидкость подогревается снизу. В этом случае число Рэлея К положительно, поскольку равновесный градиент температуры Л 0 (см. (2.6)). При этом входящий в (3.13) интеграл существенно положителен. Отсюда следует Я — Я = О, т. е. Я = Я. Таким образом, при подогреве снизу декременты нормальных возмущений вещественны, и следовательно, все нормальные возмущения изменяются со временем — затухают или нарастают — монотонно ( принцип монотонности возмущений ) ). [c.21] Интегралы, входящие в левую и правую части (3.14), при К 0 существенно положительны, и потому Хг 0. Таким образом, все нормальные возмущения при подогреве сверху затухают, и равновесие устойчиво. [c.22] При Н О декременты зависят от К как от параметра. В области положительных Н все декременты Яп(К), как уже указывалось, вещественны, причем, очевидно, некоторые из них при увеличении Н становятся отрицательными, порождая неустойчивость. При Н О всегда имеет место устойчивость (Хг 0), но в этом случае нельзя с определенностью утверждать, что затухание возмущений происходит монотонно. В самом деле, интеграл, входящий в (3.13), при К О уже не является знакоопределенным, и потому сделать общий вывод о вещественности декрементов нельзя. Необходимым условием появления комплексных декрементов (т. е. колебательных возмущений) является обращение в нуль интеграла в (3.13). Расчеты, проведенные для плоского горизонтального слоя (см. гл. И) и шаровой полости [ ], показывают, что при подогреве сверху (Н 0) по мере увеличения Н в спектре действительно появляются колебательные возмущения. Это связано со слиянием вещественных уровней спектра и порождением пар комплексно-сопряженных декрементов. [c.22] Различие в характере поведения возмущений при подогреве снизу и сверху можно пояснить следующими наглядными рассуждениями. Представим себе, что элемент жидкости, подогреваемой снизу, в результате случайного возмущения сместился вверх. Охлаждаясь путем теплопроводности, он все-таки будет иметь в новом положении более высокую температуру, чем окружающая жидкость. Поэтому действующая на него конвективная сила будет направлена вверх, и элемент будет продолжать всплывать, преодолевая вязкое сопротивление. Будет ли это движение затухать или развиваться— зависит от соотношения между градиентом температуры и параметрами диссипации. Во всяком случае, это возмущение имеет монотонный характер из-за отсутствия возвращающей силы. [c.23] Иначе обстоит дело при подогреве сверху. В этом случае сместившийся вверх элемент будет холоднее окружающей жидкости, и на него будет действовать конвективная возвращающая сила, направленная вниз Это приведет к тому, что всплывание элемента прекратится и он начнет тонуть. Если градиент температуры достаточно велик, то наличие возвращающей силы может привести к появлению колебаний. Напомним, однако, что при подогреве сверху и монотонные и колебательные возмущения затухают. [c.23] Вещественность декрементов при подогреве снизу и появление (при определенных условиях) комплексных декрементов при подогреве сверху связаны со свойствами краевой задачи для амплитуд возмущений. При К О задача является самосопряженной, и потому собственные числа и собственные функ ции вещественны. В случае же К О задача становится несамосопряженной, и собственные числа могут быть комплексными. [c.23] Вычисляя все входящие сюда вариации, интегрируя по частям с учетом граничных условий (3.11) и приравнивая нулю выражения при независимых вариациях б и 6Т, придем к амплитудным уравнениям (3.5), (3.6). [c.24] Условия ортогональности позволяют применить вариационный метод для отыскания более высоких уровней спектра. Для этого необходимо при нахождении собственного решения некоторого уровня использовать пробные функции, не только удовлетворяющие дополнительным условиям (3.17), (3.18), но и ортогональные ко всем собственным функциям более низких уровней. [c.25] Б заключение заметим, что все результаты, изложенные в этом параграфе, можно распространить на случай более общих граничных условий (3.9), (3.10), учитывающих проникновение температурных возмущений в массив. [c.25] Вернуться к основной статье