Спектральное представление стационарных случайных процессов

Взаимные формулы (25.57) и (25.58) — основные в спектральной теории стационарных случайных процессов, носят название формул Винера—Хинчина. Они устанавливают однозначную зависимость между автокорреляционной функцией и спектральной плотностью (плотностью распределения дисперсий амплитуд колебаний по частоте). Представление стационарной случайной функции на неограниченном интервале времени имеет вид [c.179]

Спектральное разложение стационарных случайных процессов. Стационарный процесс и (() может быть представлен в виде обобщенного интеграла Фурье [c.272]

Известно обобщение спектрального представления нестационарных случайных процессов, возникающих как переходные режимы от начального момента времени до момента установления стационарных случайных колебаний. Применительно к линейной системе пример такого описания приведен в работе [2]. [c.99]

Эта система представляет собой стохастический аналог уравнений устойчивости панели в потоке газа, описывающих явления флаттера и дивергенции. Для анализа воспользуемся спектральным методом. Стационарный случайный процесс v (t) допускает представление в виде обобщенного интеграла Фурье [c.163]

Первые четыре главы настоящего учебника посвящены изложению основных положений теории вероятности и случайных процессов. Рассматриваются случайные величины и случайные функции и их вероятностные характеристики функции распределения плотности вероятности, математические ожидания и дисперсии. Приводятся различные виды законов распределения, встречающихся в практических задачах. Рассмотрены нестационарные и стационарные случайные процессы, имеющие большое прикладное значение при анализе колебаний механических систем. Приведены основные результаты спектральной теории стационарных случайных функций и использования спектрального представления стационарных случайных функций при анализе установившихся колебаний. Изложена теория марковских процессов. [c.4]

Для исследования стационарных нелинейных колебаний, описываемых уравнениями (5.93), воспользуемся спектральным методом. Введем интегральные представления для случайных процессов V, Ui, 2- [c.221]

Используем теперь спектральное представление для случайной переменной и корреляционной функции (t) для того, чтобы получить условие стационарности случайного процесса. Имеем [c.151]

Здесь подразумевается, что осуществлен переход к временно-частотной форме представления спектральной плотности Фш( ) стационарного случайного процесса на входе системы, хотя по своей физической природе этот процесс может описываться случайной функцией не только времени. Например, он может описываться пространственно-частотным спектром. Методика перехода от пространственно-частотного спектра к временному описана в [37, 90, 95]. [c.10]

Теперь перейдем к более сложному случаю — масштабу времен, значительно превышающих время корреляции случайной силы т/, но меньших времени релаксации импульса Тр Т/. Тогда стационарным, в отличие от р(0 является процесс /( ). Причем в начальный момент =0 частица покоится. Подставляя спектральное представление p t) и / (О в уравнение Ланжевена [c.78]

Предположим, что нелинейные функции в уравнениях случайных колебаний являются аналитическими и допускают разложение в степенные ряды с ограниченным числом членов. Тогда для вывода моментных соотношений и приближенного исследования стационарных процессов может быть применен метод спектральных представлений в виде стохастических интегралов Фурье. [c.91]

Часто в расчетах используется такая характеристика случайных процессов, как спектральная плотность (см. 21). Она также характеризует внутреннюю структуру процесса. В теории случайных процессов доказывается, что всякий стационарный процесс (рис. 28, а) может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний различной частоты, так называемых гармоник. В каждой гармонике с детерминированной частотой амплитуды случайны. Иными словами, каждая периодическая функция является случайной из-за разброса амплитуд (рис. 28,б,в,е). Разброс этих амплитуд характеризуется дисперсией. При этом каждой частоте свойственна своя дисперсия амплитуд. Спектр случайного процесса представляет собой распределение дисперсий амплитуд по различным частотам. [c.90]

Уравнения (1.89) и (1.91), а также их обращения (1.90) и (1.92) дают положительный ответ на первый из поставленных вопросов о принципиальной возможности и обоснованности спектрального представления для нестационарных неоднородных случайных процессов. Кроме того, указанные уравнения свидетельствуют о преемственности методов определения спектров мощности стационарных и нестационарных случайных процессов. Уравнения (1.91) и (1.92) представляют интуитивное обобщение уравнений (1.89) и (1.90). [c.32]

Возможность экспериментального выделения спектральных компонент и(Д(о, 1) придает реальный смысл также представлению о распределении энергии процесса и 1) по его спектру. Энергия процесса и (1) в физических приложениях обычно пропорциональна [ (01 (например, если и (<) — скорость, то [и ( )р лишь постоянным множителем отличается от соответствующей кинетической энергии). Поэтому для стационарных случайных функций и(<) роль средней энергии играет величина u t)f = В 0). Используя (11.12) и (11.8), легко показать, что средняя энергия спектральной компоненты и(Д(о, I) (т. е. средняя энергия содержащихся в и(<) гармонических колебаний с частотами из интервала Д(о = [(й1, г ) равна [c.12]

Ясно, что любая функция D r), являющаяся структурной функцией локально изотропного случайного поля в трехмерном пространстве, будет также и структурной функцией подобного же поля на прямой (т. е. иными словами, структурной функцией некоторого процесса со стационарными приращениями). Так же, как и в п. 12.1, доказывается, что соответствующая одномерная спектральная плотность Ех (Aj), входящая в одномерное спектральное представление функции Ь(г), имеющее вид [c.91]

Функция D (x) есть структурная функция случайного процесса Vj (j q. t) со стационарными приращениями. Поэтому в силу результатов II. 13.1 она допускает спектральное представление вида (13.19), т. е. [c.330]

При анализе смеи анного спектра процесса, состоящего из случайного стационарного процесса (/) и суммы гармонических колебаний, необходимо учитывать различную размерность величин этих компонентов спектров и различное их представление спектральным анализатором, показания которого U (и) для сплошного спектра пропорциональны полосе анализа [c.271]

Это представление стационарных случайных процессов и однородных случайных полей в виде суперпозиции гармонических колебаний или плоских волн является простейшим частным случаем возможного при весьма широких условиях представления случайной функции в виде суперпозиции компонент фиксированного фуикциоиального вида со случайными взаимно, некоррелированными коэффициентами (см., например, Яглом (1962, 1063). Ламли (1967)). Для случайных функций, определенных на Конечном интервале или в конечной пространственной области, такое обобщенное спектральное представление имеет вид разложения по специальной счетной системе ортогональных функций для функций в неограниченных областях оно записывается в виде интегрального разложения по континуальной системе функций, совпадающей с системой одномерных или многомерных гармоник лишь в случае стационарных процессов и однородных полей. [c.8]

Для составления моментных соотношений в задачах стохастической устойчивости выше были использованы уравнения теории марковских процессов, справедливые при дробно-рациональных спектральных плотностях. Спектры реальных воздействий во многих случаях имеют более сложную структуру. Это относится, например, к пространственно-временным случайным функциям, описывающим атмосферную турбулентность, волнение морской поверхности [19] и т. д. При произвольном виде спектральных плотностей анализ моментных соотношений может быть выполнен при помощи метода интегральных спектральных представлений. Эффективность этого метода обусловлена стохастической орто-гональностью стационарных случайных процессов и однородных полей. Спектры стационарных процессов удовлетворяют соотно- [c.151]

Анализ рис. 6.11 и 6.12 показывает, что вид псевдоогибающей А (t) и спектральной плотности 5 (со) существенно зависит от принятого способа аппроксимации и обработки акселерограмм. Разброс результатов — естественное явление, если учесть, что они представляют собой в сущности статистические оценки. Эти оценки к тому же получены при дополнительных, трудно проверяемых гипотезах (мультипликативное представление нестационарного случайного процесса, эргодические свойства стационарной компоненты и т. п.). В условиях крайнего недостатка записей сильных землетрясений, большой изменчивости их параметров, зависящих от различных, порой не поддающихся учету факторов, разброс результатов обработки имеет второстепенное значение. Другие модели процесса сотрясений рассмотрены в работах [54, 98, 111]. [c.248]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

Спектральное представление локально однородной случайной функции получается как трехмерное обобщение результата для процесса со стационарными приращениями. Выпищем спектральные представления для случайной функции / (г) и ее структурной функции )/ (г) [c.279]

Подобно тому как сам стационарный случайный процесс /(i) может быть представлен в виде стохастического интеграла Фурье — Стильтьеса (19.2), процесс со стационарными приращениями также может быть представлен в виде спектрального разложения. Проще всего это разложение можно получить, используя то обстоятельство, что производная (t) — от процесса со стационарными приращениями / (i) сама является стационарным случайным процессом. Следовательно, (<) можно представить в виде разложения (19.2) [c.32]

Прежде чем переходить к рассмотрению возможных методов спектрального анализа нестационарных процессов, ответим на вопрос о принципиальной возможности и обоснованности спектрального представления в этом случае. Кроме того, при рассмотрении метода опреДЦения спектра нестационарного и неоднородного случайного процесса целесообразно добиваться того, чтобы он обладал следующими качествами во-первых, был физически наглядным во-вторых, реализуемым с помощью существующих средств обработки, включая цифровую технику в-третьих, был, по возможности, органически связанным с определением спектров для случайного стационарного процесса, т.е. удовлетворял бы условию преемственности. [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...