Методы построения координатных функций

ПЗ. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ [c.285]

В [205] был предложен прием построения координатных функций в специальной форме, допускающий сравнительно простую реализацию. Этот прием позволил создать универсальный алгоритм, часто называемый методом конечных элементов (МКЭ). [c.162]

Известно, что для решения задач теории поля, наряду с сеточными методами, широкое распространение получили вариационные методы, применение которых, однако, осложнялось рядом причин. Одной из этих причин являлась трудность построения координатных функций, удовлетворяющих заданным граничным условиям при сколько-нибудь сложной границе области или при сложном характере самих условий на границе. Вопрос о выборе координатных функций решался сугубо индивидуально, отсутствовали какие-либо рекомендации по их построению. Эта трудность была преодолена в процессе разработки теории -функций [243]. [c.61]

В заключение рассмотрим метод построения координатной волновой функции, соответствующей определенному собственному зна- [c.197]

Значения коэффициентов ai, й2 зависят от числа трещин в одной точке, угла наклона трещин, значения напряжений на главных площадках. Если для решения нелинейных уравнений применяется метод последовательных нагружений (для построения матрицы жесткости), то до появления трещин используется выражение (3.41), а после появления трещин выражение (3.43). Как уже указывалось, для решения нелинейной задачи правомерно использование координатных функций, доставляющих сходимость линейной задаче, т. е. для прямоугольного элемента балки-стенки могут быть использованы координатные функции (1.20), а для треугольного— (2.6). Практика расчетов показывает, что достаточно хорошие результаты получаются при интегральной оценке напряженного состояния г конечного элемента, т. е. когда физические зависимости, определенные в центральной точке, распространяются на всю область Qr- От этой предпосылки безусловно можно отказаться, применяя для выражения Kii численное интегрирование, так как на основе введенных координатных функций всегда имеется возможность определить [c.90]

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ [В]. К наиболее сложному этапу в решении краевых задач с применением проекционных методов следует отнести построение матрицы производных координатных функций матрицы [В]. Исследуем вид этой матрицы при описании плоских течений. [c.283]

В [37] в качестве координатных функций метода Бубнова были взяты четные функции ф, поэтому построенная форма потери устойчивости W (5, ф) — также четная функция (р. При нагрузке, весьма близкой к критической, возможна. потеря устойчивости и по нечетной форме. [c.148]

Поиск подходов к решению контактных задач для штампа полигональной формы в плане [181] привел к разработке нового математического подхода — метода / -функций, который соединил в себе алгебраические методы математики с классическими методами математической физики. На базе аппарата / -функций В. Л. Рвачевым [184] на аналитическом уровне разработан структурный метод решения краевых задач для областей сложной формы со сложным характером краевых условий. Характерной особенностью данного подхода является построение координатных последовательностей для сложных областей в рамках элементарных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям вариационной задачи, рассматриваемой методами типа Бубнова — Галеркина. [c.10]

Среди вариантов, основанных на методе А. И. Лурье, особо следует упомянуть техническую теорию ребристых оболочек Е. С. Гребня [47], построенную в предположении, что ребра являются тонкостенными (таковые рассматривал и В. 3. Власов [18]) и расположены вдоль координатных линий, не обязательно совпадающих с линиями кривизны срединной поверхности. Уравнения равновесия в этом варианте выводятся на основе принятого из физических соображений обобщенного закона Гука, в котором влияние ребер учитывается с помощью дельта-функций. В случае ребер, расположенных вдоль линий кривизны, обоб- [c.505]

Разработанный здесь метод численного определения матричной функции Грина обладает рядом достоинств, позволяющих рекомендовать его к широкому практическому использованию. В нем эффективно преодолевается сильная численная неустойчивость дифференциальных уравнений неклассической теории слоистых оболочек не вызывает никаких затруднений также и переменность коэффициентов этих уравнений. Сам метод матричной функции Грина как метод решения краевых задач механики оболочек имеет известные преимущества перед другими. Так, в нем не возникает проблем, связанных с построением ортогонального координатного базиса, как в методе Бубнова — Галеркина, или с большой размерностью, а часто и плохой обусловленностью алгебраической системы, как в методе конечных разностей. В задачах устойчивости оболочек использование данного метода позволяет легко и естественно учесть такие факторы, как до-критические деформации, неоднородность распределения докритических усилий в отсчетной поверхности оболочки, краевые условия задачи. В то же время число точек разбиения отрезка интегрирования, необходимое для аппроксимации интегрального оператора, относительно невелико, что приводит к алгебраической задаче невысокой размерности. [c.222]

Вторичное квантование. В статистической механике приходится иметь дело с волновыми функциями, зависящими от огромного числа переменных, поэтому координатное представление неудобно для практического использования. Квантовые состояния многочастичных систем обычно описываются в представлении чисел заполнения которое также называется представлением вторичного квантования. Главным достоинством этого представления является то, что в нем симметрия Д/ -частичных волновых функций учитывается автоматически путем введения специальных операторов рождения и уничтожения. Действуя на квантовое состояние системы, эти операторы изменяют число частиц в одночастичных состояниях. Как мы увидим дальше, формализм, основанный на использовании операторов рождения и уничтожения, очень удобен для построения операторов динамических величин и приведенных ( -частичных) матриц плотности, которые играют исключительно важную роль в кинетической теории (см. главу 4). Мы обсудим основные идеи метода вторичного квантования, поскольку он будет часто использоваться в книге. Детальное изложение этого метода можно найти в любом современном учебнике по квантовой механике (см., например, [14, 79, 89, 125]). [c.32]

Практическая реализация этих методов связана с выбором некоторых координатных систем функций и с определением коэффициентов разложения приближенного решения по этим системам. Какова же точность так построенного приближенного решения [c.86]

Остановимся на вопросе о фактической реализации метода Ритца в задачах теории упругости. Следует указать, что построение координатных функций представляет собой довольно сложную задачу. В отдельных случаях (шар, параллелепипед и т. д.) эта задача решается сравнительно просто [58]. [c.629]

Наиболее трудным моментом при применении метода Ритца является построение координатных функций ф,. В ряде случаев в качестве координатных функций целесообразно выбрать произведение балочных функций переменной а и синусоидальных функций переменной Р [c.218]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Напряжение, снятое с модели Мод с помощью измерительного зонда ИЗ, связанного с КБ, передается на вход БД. Одновременно с передвижением ИЗ передвигаются оси КБ, каждая из которых соединена механически с движками потенциометров и Снятое с этих потенциометров напряжение передается на входы БР, выход которого соединен со входом БД. На выходе БД формируется сигнал, пропорциональный величине z j, участвующий в построении функции (х, у), к чему, в конечном счете, и сводится построение координатных последовательностей в методе Ритца. Блоки реализации -операций работают подобно тому, как работает блок, показанный на рис. 13, б. Напряжения, поданные на вход блока, поступают на входы сумматора См1 и квадраторов Кв1 и Кв2. Выходные сигналы квадраторов подаются на входы сумматора См2, выход которого связан с блоком извлечения корня БИК- Напряжение с выхода БИК так же, как и выходной сигнал сумматора См1, поступает на входы сумматора-вычитателя СмЗ, в результате чего в БР реализуется i -конъюнкция. Аналогично, с помощью подобных блоков может быть реализована любая другая / -операция. [c.64]

Метод Бубнова—Галеркина для задач нелинейных колебаний можно представить как прямой метод построения приближенного решения, удовлетворяющего соответствующему дифференциальному уравнению в среднем за цикл колебаний [83]. Действительно, уравнения метода Бубнова—Галеркина вида (182) могут быть получены на основе принципа возможных перемещений [68]. Если считать независимую переменную х временем, выражение (181) для у принять за приближенное выражение установившегося процесса вынужденных колебаний, в котором (х) — координатные функции времени, а,- — параметры, обеспечивающие наилучшее приближение для у , а также положить х = х + г, vrzx — период внешней возмущающей силы, то уравнения (182) допускают простую механическую интерпретацию. Учитывая, что возможные виртуальные перемещения, соответствующие координатным функциям, Ьy = baiWi x), заключаем, что уравнения (182) для определения параметров [c.118]

Для построения уточненных уравнений теории нетонких оболочек переменной толщины используем проекционный метод редукции уравнений теории упругости. Поскольку устойчивость приближенного решения и его сходимость к точному определяются видом базисных функций, то целесообразно в качестве координатных функций использовать полиномы Лежандра, примененные И. Н. Векуа для построения теории тонких пологих оболочек. [c.5]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...