Анализ размерностей и - теорема

Способом приведения уравнений к безразмерному виду с использованием метода анализа размерностей и л-теоремы можно получить одинаковые критерии подобия проте-каемого процесса. [c.452]

Согласно основной теореме метода анализа размерностей (я-теореме) зависимость между N размерными величинами, определяющими данный процесс, может быть представлена в виде зависимости между составленными из них N — К безразмерными величинами, где К — число первичных переменных с независимыми размерностями, которые не могут быть получены друг из друга. В уравнении (9.12) общее число переменных (включая и а) равно 7, из них четыре первичных (их мы принимали за единицы измерения) соответственно безразмерных чисел в уравнении (9.14) N — Д = 7-4 = 3. [c.82]

Формулу (XIV.2) можно получить также с помощью анализа размерностей, Основными переменными будем считать скорость ti, характерный размер тела I, плотность жидкости р, вязкость жидкости ц и силу сопротивления F. Таким образом, число переменных п = 5. Согласно ПИ-теореме должны существовать 5—3 = 2 безразмерны> комплекса, которые будут иметь следующий вид [c.228]

Р б с, м/с р,, кг/(м-с) а, Вт/(м2-К)- Видно, что путем комбинации единиц любых трех величин нельзя получить единицу четвертой. В то же время единицы величин в зависимости (15.43) являются результатом использования четырех основных единиц СИ м, с, 1сг, К- Следовательно, согласно П-теореме анализа размерностей (см. 50) из размерных величин зависимости (15.43) можно составить два безразмерных комплекса, причем один из них должен быть искомой величиной и содержать а. [c.396]

Существенную помощь при анализе размерностей оказывает так называемая П-теорема, к доказательству и формулировке которой мы сейчас обратимся. [c.112]

Приведенные примеры еще раз показывают, что при применении анализа размерностей, наряду с достаточно очевидными приемами, приходится вооружаться интуицией не только при определении величин, существенных для данной конкретной задачи, но и при подборе основных единиц и даже записи размерностей. Так, в последней задаче бьшо не очевидно, что размерность ускорения свободного падения следовало записать не ТТ , а РМ ) ). При этом можно отметить, что сама по себе П-теорема ничего нового не добавляет к изложенному выше способу применения анализа размерностей. Однако в ряде [c.118]

Анализ размерностей приводит, таким образом, к я-теореме анализа уравнений. Он же дает возможность обосновать прямую и обратную теоремы подобия. [c.154]

Количество чисел подобия, характеризующих данный процесс, равно разности количества размерных переменных и первичных размерностей (л-теорема анализа размерностей). [c.40]

Связь между числом размерных и безразмерных величин, характеризующих любое явление, устанавливается основной теоремой анализа размерностей, так называемой т -теоремой. Согласно этой теореме, число т безразмерных величин, характеризующих данное явление, равно разности между числом г размерных переменных величин и числом 2 первичных размерностей, т. е. [c.6]

Критерии подобия процессов в натуре и в модели были определены из анализа размерностей приведенных выше параметров с использованием П-теоремы [33]. Эта теорема позволяет сократить число переменных с семи именованных величин (п—7) до п—k безразмерных величин, представляющих собой критерии подобия для рассматриваемого процесса, где —число независимых между собой параметров. [c.106]

По Л. И. Седову [74] два физических явления подобны, если по численным значениям характеристик одного явления можно получить значения сходственных характеристик другого простым пересчетом, аналогичным переходу от одной системы единиц измерения к другой. Такой пересчет может быть осуществлен на основе свойств инвариантности некоторого числа независимых безразмерных комбинаций (безразмерных комплексов), образованных из основных параметров подобных физических явлений. Как было установлено в гл. 1, количество независимых безразмерных комплексов, составляющих фундаментальную систему безразмерных переменных, определяется на основании П-теоремы анализа размерностей ( 1.3). [c.34]

Рассмотрим с этой целью уравнения полей двух механически подобных систем 1 и 2 (3.3). Согласно П-теоремы анализа размерностей, каждое из этих уравнений всегда может быть преобразовано к безразмерной (критериальной) форме, содержащей в качестве новых переменных безразмерные комбинации основных параметров [c.55]

Из перечня (2.16) и формул размерностей (2.17) следует, что число определяющих параметров N — 14, а число основных единиц измерения п = 4. Следовательно, в соответствии с тг-теоремой анализа размерностей из четырнадцати определяющих параметров при числе основных единиц измерения п = 4 можно образовать десять независимых безразмерных соотношений (тг = = N — п = 10), являющихся критериями термомеханического подобия. [c.26]

Важным для установления критериев подобия является выделение определяющих параметров, которыми (называют совокупность размерных и безразмерных переменных и постоянных величин, полностью описывающих данный процесс или явление. Число определяющих параметров должно быть минимальным, а главное, они должны отражать основные факторы процесса [29]. Вот почему без знания сущности моделируемого процесса и его физических закономерностей трудно плодотворно применять теорию подобия и проводить анализ закономерностей. Число критериев подобия определяют на основе я-теоремы следующим образом [c.42]

Приведенные примеры еще раз показывают, что при применении анализа размерностей, наряду с достаточно очевидными приемами, приходится вооружаться интуицией не только при определении величин, существенных для данной конкретной задачи, но и при подборе основных единиц и даже записи размерностей. Так, в последней задаче не очевидно было, что размерность ускорения свободного падения следовало записать не ЬТ , а РМ ). При этом можно отметить, что сама по себе П-теорема ничего нового не добавляет к изложенному выше способу применения анализа размерностей. Однако в ряде случаев она позволяет проводить анализ в более удобном виде и представлять результат анализа в разных формах в зависимости от того, какие параметры нас интересуют. Основное ее значение состоит в том, что с ее помощью удобно вводить так называемые безразмерные критерии подобия. Такими критериями в принципе могут быть любые из безразмерных комбинаций величин, определяющих исследуемое явление. [c.96]

Б 70—73 будут доказаны различные аналоги теоремы 2 из 21 применительно к сжимаемому невязкому течению, сжимаемым струйным течениям, течениям с кавитацией и т. д. Но сначала мы рассмотрим инспекционный анализ вообще, для того чтобы лучше уяснить себе его отношение к традиционному анализу размерностей. [c.136]

Последнее выражение и представляет собой формулу основной теоремы анализа размерностей уравнение между величинами всегда может быть приведено к выражению, определяющему одну из величин как произведение коэффициента пропорциональности, функции безразмерных комплексов и степеней исходных величин. [c.27]

Итак, общая схема решения задачи об отыскании безразмерных переменных методом анализа размерностей заключается в следующем. Первоначально составляется список (перечень) величин, существенных для рассматривае-.мого процесса. На основе я-теоремы определяется число безразмерных переменных, которое, очевидно, равно разности между общим числом величин, входящих в список, и числом первичных величин. Йз списка в качестве основных выбираются несколько переменных, размерности которых включают все размерности первичных величин, а число их равно числу первичных величин. [c.63]

Уменьшение числа уравнений связи и, следовательно, числа критериев подобия в рассматриваемом случае, казалось бы, противоречит я-теореме. Однако с точки зрения анализа размерностей это противоречие легко устраняется введением новой системы определяющих параметров а = al , Е = = El, е — el, Р, и, (i. Для этой группы определяющих параметров jV = 6, rt = 2, я = 4, Я1 = а/Ееи Яц = Р/Е1Ч, Яз = u/el. В качестве двух независимых масштабов могут быть применены Eq = EJ.( и Eq = Ыа- Задавая произвольно Е о и е o > можно задать произвольно величины Еа, k, ео- [c.306]

Рассмотрим основные положения теории подобия. Законы природы и их математические модели, являясь отображением объективной реальности, в наиболее общих формулировках не могут зависеть от выбора системы мер. Это означает, что множество размерных величин, характеризующих некоторый конкретный процесс, в действительности эквивалентно множеству некоторых безразмерных комплексов, составленных из этих величин. Наибольшее возможное число этих комплексов определяется в соответствии с л-теоремой анализа размерностей как р = п — I, где р — общее число безразмерных комплексов п — общее число размерных переменных, характеризующих данный процесс I — число основных размерностей, из которых составлены эти переменные. [c.16]

Полученные уравнения дают представление о достоинствах и недостатках метода анализа размерностей. Главное достоинство метода — чрезвычайная простота и легкость получения безразмерных комплексов (отметим попутно, что приведенный способ составления комбинаций далеко не единственный в работах [48] и [63] рассматриваются иные, не менее простые, способы). Использование при этом я-теоремы дает возможность оценить по предварительным данным сложность результата анализа. К недостаткам метода следует отнести прежде всего некоторую неопределенность в составе критериев подобия (в примере произвольно выбраны независимыми т.1, 2 и /Л4) и полное отсутствие сведений об аналитическом виде функциональной зависимости между критериями. Кроме того, от интуиции исследователя зависит перечень физических параметров, принимаемых во внимание. Последнее обстоятельство наглядно поясняется на рассмотренном примере. Полученные уравнения выражают подобие процессов при установившемся движении через конкретный насос различных жидкостей, отличающихся значениями плотности. При этом не учтено влияние вязкости жидкости. Если включить в перечень исходных параметров величину (г (динамическая вязкость жидкости), то число определяющих критериев подобия увеличится на единицу за счет числа Re, характеризующего режимы течения жидкости. В данном примере допустимо этого не делать, так как в центробежном насосе реализуется лишь турбулентное течение, при котором коэффициент вязкого трения практически постоянен. Поэтому учет числа Re приведет лишь к масштабному изменению экспериментальных графиков. При желании распространить полученные условия подобия на серию насосов в число исходных величин должны быть введены размеры 1 , 1 , 1 yi критериальное уравнение примет вид [c.20]

Применение к (111.17) л-теоремы анализа размерностей позволяет установить число критериев подобия, но получаемые этим методом формы критериев подобия определяются произволом группировок размерных величин (см. примеры в гл. I, п. 3). Как отмечалось, анализ размерностей принципиально не позволяет установить вид аналитической связи между критериями подобия, возможно лишь разделение критериев на две группы зависимых и определяющих критериев. [c.69]

Размерности семи величин, вошедших в последнее уравнение, выражаются через три основные размерности (например, массы, длины и времени), поэтому, как следует из я-теоремы анализа размерностей, число критериев подобия процессов равно четырем (см. п. 3, гл. I). Очевидно, что методами анализа размерностей могут быть получены различные формы критериев подобия представим критериальную зависимость в виде [c.341]

Анализ размерностей параметров, определяющих процесс, является единственным методом определения критериев подобия и обобщенного критериального уравнения для сложных явлений, математическое описание которых отсутствует. Дальнейшее примене-н.йе теоремы HI и эксперимента дает возможность придать критериальному уравнению конкретную форму. [c.113]

Метод анализа размерностей базируется на так называемой --теореме (читается пи-теорема), --теорема устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмерной форме. Более полно теорема может сформулирована так [c.113]

Задача построения математически непротиворечивой теории оболочек, являющейся корректно разрешимой и обеспечивающей выполнение всех независимых физических краевых условий, связана с необходимостью отказа от всех упрощающих физических и геометрических гипотез и использованием математически строгих методов редукции уравнений теории упругости. Сюда можно отнести проекционный метод уменьшения размерности дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на том, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить полиномами (теорема Вейерштрасса). Он представляет собой обобщение классических приближенных методов (метода моментов, метода Бубнова—Галеркина и др.) в рамках функционального анализа [75]. [c.8]

Исследуем теперь, как эти различные синусоидальные составляющие передаются оптическим прибором. Произведем гармонический анализ изображения, т. е. найдем преобразование i функции I. Соотношение (3.1) показывает, что / является сверткой функций О и D по теореме Парсе-валя (гл. 2, 4) ее преобразование Фурье равно произведению преобразований О и D. Легко убедиться, что если использовать переменные ц, v, являющиеся пространственными частотами (размерности обратной длины), преобразование Фурье функции / можно написать так [c.59]

В последующих главах мы покажем, как многочисленные следствия этих двух фундаментальных одномерных свойств — теоремы о промежуточном значении и конформности одномерных дифференцируемых отображений — возникают в процессе анализа динамических систем малых размерностей. Следует обратить внимание на то, что использование этих явлений не ограничивается системами с одномерными фазовыми пространствами и голоморфными отображениями. Иногда, когда размерность фазового пространства равна двум или трем, важные инвариантные структуры, связанные [c.387]

Особенности подобия аффинных механических систем можно проследить, пользуясь методом анализа размерностей и усовершенствованным способом использования П-теоремы, предложенным Г. Хантли [93]. [c.68]

Способ анализа размерностей. Этот способ также сыграл важную роль в развитии современной гидравлики. Зачатки его встречаются, по-видимому, впервые в гидравлических и гидродинамических работах Рейнольдса (1842—1912). Однако начало общей теории этого метода было положено в 1911 г. русским ученым А. Федерманом , доказавшим фундаментальную теорему подобия, частным случаем которой является теорема учения о размерности, известная под названием пи-теорема . [c.14]

Анализ (или метод) размерностей используется во многих задачах физики и механики, а особ нно в механике жидкости как для проверки предложенных panei , так и для составления новых зависимостей. Анализ размерностей основан на так называемой ПИ-теореме, которую можно сфо))мулировать следующим образом математическая зависимостг. между некоторыми физическими размерными величинами всегда может быть преобразована в уравнение, в которое войдут безразмерные комбинации тех же физических величин (так называемые числа ПИ), причем число этих безразмерных комбинаций всегда меньше, чем число исходных физических величин. Пусть Аи Лз, Аз,..., Ап —п размерных/физических величин, участвующих в каком-либо физическом явлении. Примером их могут служить скорость, вязкость, плотность и т. д. Пусть m — число всех первичных или основных единиц (наиример, длина, масса и время), с помощью которых может быть представлена размерность рассматриваемых физических величин. Физическое ураг нение или функциональная зависимость между величинами А может быть представлена в виде [c.148]

Определение критериев подобия посредством анализа размерностей базируется на п-теореме. П-теорема, которая была сформулирована Ваши и Бэкингемом, гласит если рассматриваемое физическое явление (процесс) определяется п физическими величинами (параметрами) hi, IJ2,. .., Яд так, что полное уравнение, описывающее явление, может быть записано в виде функции [c.396]

Выполненный ранее анализ уравнения интенсивности теплообмена [3] не доведен до конца, в частности не получены определяющие числа подобия и не установлено их количество. Несложно провести анализ размерностей переменных уравнения и определить количество чисел подобия. Согласно теории подобия функцией чисел подобия может быть представлен интеграл дифференциального уравнения интенсивности теплообмена [3 a(At)/At =—amdP. В то же время согласно л-теореме теории анализа размерностей количество (сумма) определяемых и определяющих чисел подобия должно быть равно разности количества размерных переменных в уравнении и количества независимых (основных) размерностей. Перечислим переменные и их размерности [c.43]

К сожалению, в приложениях теории размерностей справедливость основного предположения почти tiHKorAa не проверяется. Критические замечания по этому поводу и соответствующие многочисленные примеры можно найти в гл. III работы [17]. В этой работе подчеркивается, в частности, что справедливость известной Пи-теоремы, являющейся основным результатом теории размерностей, сомнений не вызывает трудность здезсь связана с предположениями, на которых основан анализ размерностей. [c.108]

Анализ размерностей основывается на не требующем доказательства положении о том, что размерность всех членов одного и того же уравнения всегда одинакова. Следовательно, любое физическое уравнение может быть налисано в безразмерном виде. Для этого его следует разделить на один из членов. Для применения анализа размерностей необходимо знать все параметры, которые существенно влияют на развитие процесса, т. е. на величину опре-деляехмого критерия подобия. Метод анализа размерностей менее надежен, чем метод подобного преобразования уравнений, так как при его использовании легко упустить из вида какой-либо определяющий параметр. Уменьшить вероятность ошибки позволяет я-теорема если определяемый критерий подобия зависит от п размерных параметров, размерности которых составлены из к независимых единиц, то этот критерий всегда можно выразить через п = п—к безразмерных критериев подобия, составленных из различных комбинаций размерных параметров. [c.113]

Если оператор L симметричен, но неограничен, то таким же, по-видимому, будет и оператор Галёркина P LP . (Предполагается, что тестовое пространство к пространство пробных функций совпадают. В противном случае, если — проектор на У , то уравнением Галёркина будет Q LP Ф = Q f, а оператор Q LP даже не симметричен.) Естественно ожидать, что Ф с увеличением размерности пространства будет приближаться к и. Тем не менее эта сходимость не автоматическая-, в подтверждение правильности гипотезы вернемся к основной теореме численного анализа согласованность и устойчивость влекут сходимость. [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...