ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Комплексное пространство из "Вибрации в технике Справочник Том 5 " При исследовании колебаний для описания динамических явлений часто удобно искусственно вводить комплексные векторы. В этом случае осуществляется переход к комплексному пространству. Примерами могут служить описания механических колебаний и нх преобразований, осуществляемых реальными датчиками. Применяя комплексное пространство при описании гармонических процессов, можно геометрически выражать временные сдвиги в рассматриваемых векторных процессах и реализовать известные преимущества аналитических расчетов с использованием комплексных показательных функций. [c.16] Комплексное евклидово пространство. Пусть S О, е , ез, ез есть базис трехмерного комплексного евклидова пространства, в котором определены операции умножения векторов на комплексные числа и сложения векторов и заданы два скалярных произведения векторов х-у [13, 14] и (х, у) [6], которые назовем соответственно первым и вторым. [c.16] В комплексном пространстве как скалярные произведения векторов, так и квадрат вектора могут принимать комплексные значения и, в частности, быть вещественными, мнимыми н нулем. Векторы, скалярный квадрат которых равен нулю, называют изотропными [13, 14]. [c.16] В этом случае для наглядного представления векторов необходимо использовать два трехмерных пространства. Эти пространства можно совместить, причем вариантов совмещения может быть бесконечно много. [c.17] Некоторые свойства комплексного пространства. Ниже приведены наиболее Важные свойства комплексного пространства. [c.17] Образ вектора г остается а подпространстве, определяеши векторами х,- и х,-. При умножении на комплексное число изотропный сектор остается изотропным, а простой — простым. При умножении на Ы векторы вещественной и мнимой частей изотропных векторов вращаются в пространстве, а простых — осциллируют со сдвигом по фазе на я/2. [c.18] Для простого комплексного вектора os 0 = 1, а для изотропного os в = 0. [c.18] Ортогональные операторы переводят изотропные векторы в изотропные, поэтому изотропные векторы переходят друг в друга при вращении пространства. [c.19] Переход к комплексному пространству во временной области. Наиболее распространенным способом перехода от вещественного пространства к комплексному во временной области является построение вектора мнимой части комплексного вектора как преобразования Гильберта исходного вещественного вектора [20]. [c.19] Комплексный аналитический вектор, отвечающий вещественному вектору R (t), будем обозначать через t), а построенный вектор мнимой части — через R [t)-. [c.19] Функции X ) V X (t) связаны парой преобразований Гильберта-. [c.19] Гильберта дает возможность неформально представить процессы в виде комплексных показательных функций. [c.20] Ниже даны частные случаи гармонического движения точки в плоскости. [c.21] Знак плюс соответствует движению точки против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке. [c.22] При положительных углах точка движется по эллипсу по часовой стрелке, при отрицательных — против часовой стрелки, при этом в первом случае вектор R( опережает вектор R , по втором — отстает от вектора R . [c.23] При углах, меньших я/2, эллнпе имеет положительный наклон, при углах, больших я/2, — отрицательный. При положительном наклоне вектор R , находится в первом квадранте, при отрицательном — в четвертом. [c.23] Полученные результаты позволяют решить обратную задачу определить величины dg2 и If по форме эллипса и направлению движения точки по нему. [c.23] Угол ф положительный и изменяется от О до я/2. [c.23] Если наклон эллипса положителен, го xj) = +ф при движении точки по часовой стрелке, и 1(1 = —ф при движении против часовой стрелки. [c.23] Если наклон эллипса отрицателен, то 1)3 = я — ф при движении точки по часовой сфслкс, и tl = ф—л при движении против часовой стрелки. [c.23] Вернуться к основной статье