ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Выбор координатных функций из "Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений " Расчленение системы на конечные элементы дает но.шож-ность использовать рассмотрение отдельных конечных элементов не только для построения разрешающей системы (1.5), т. е. для практического решения задачи, но и для теоретических исследований координатных функций, абстрагируясь при этом от геометрии рассматриваемой области, граничных условий, нагрузки. Это обусловливает введение понятия тип конечного элемента , который характеризуется набором степеней свободы, видом координатных функций, геометрией области Qr, классом решаемых задач (видом оператора А), для которых он предназначен. Координатные функции на г конечном элементе могут быть введены в явном или неявном виде. [c.8] Матрица V строится, как правило, из соображений, что при подстановке в полином координат определенного узла величина и должна принимать значение степени свободы q в этом узле Для однозначного перехода от qr к а,- и наоборот необходимо чтобы матрица V была квадратной, т. е. пг = тг. Это достигаетс5 за счет варьирования числа членов в полиноме, которое производится с учетом удовлетворения координатными функциями определенных требований, рассматриваемых ниже. [c.8] Таким образом, теоретическое обоснование функций ф может быть сведено к их проверке на удовлетворение перечисленным выше требованиям. [c.9] Принадлежность к энергетическому пространству оператора А устанавливается существованием компонентов напряжеяно-деформированного состояния, которые входят в соответствующий функционал. Так, для трехмерного и плоского напряженного состояния дифференциальный оператор А имеет второй порядок, в функционал Лагранжа входят первые производные по перемет щениям. Поэтому для их существования необходимо обеспечить непрерывность перемещений по области системы. Из тех же соображений при решении задач изгиба плиты или оболочек (порядок дифференциального оператора —4) необходимо обеспечить непрерывность как перемещений, так и их первых производных. [c.9] По области конечных элементов, как правило, это требование удовлетворяется автоматически, поэтому проверять надо неразрывность соответствующих компонентов только по линиям контактов конечных элементов. В связи с этим элементы, координатные функции которых удовлетворяют этому условию, назы-паются совместными. [c.9] Линейная независимость координатных функций проверяется достаточно легко и, как правило, выполняется для М1 Э автоматически. [c.9] Если координатные функции, ф удовлетворяют всем трем перечисленным выше требованиям, то сходимость МКЭ оценивается аналогично вариационно-разностным методам. [c.10] Из энергетической оценки (1.13) вытекает средняя квадратичная оценка для напряжений, т. е. [c.10] Оценки (1.16), (1.17) свидетельствуют, что МКЭ при достаточно высоком порядке аппроксимации р имеет сходимость н( только в обобш.енном энергетическом смысле, но и для отдельных точек, даже при наличии различных сингулярностей в гео метрии, граничных условиях, нагрузке. [c.10] В работах [44, 79] намечены пути их определения для различных классов задач теории упругости. Однако это может оказаться очень трудоемким и несоизмеримо более сложным, чем решение самой задачи. Вместе с тем можно предложить другой путь, заключающийся в том, что на основе двух расчетов с последовательным сгущением сетки (например, в 2 раза), используя оценки (1.13) — (1.17), можно составить примерное представление о точном решении и иметь суждение о расчетной сетке, необходимой для достижения заданной точности. Этот прием можн рассматривать как перенесение на МКЭ идеи Ричардсона, для разностных схем, которая обоснована и исследована в работе[42]. [c.11] Условие кусочного тестирования в физическом смысле озна чает, что суммарная энергия, накапливаемая в разрыва между несовместными конечными элементами при неограниченном сгущении сетки стремится к нулю. [c.12] Несмотря на достаточную общность, эти приемы требуют рас смотрения совокупности конечных элементов, что может привест к определенным затруднениям. Более совершенные методы пред ложены в работах [34, 25]. Сформулированная теорема [25] дас возможность судить о сходимости несовместного конечного эле мента на основе рассмотрения координатных функций тольк( по области этого элемента, т. е. аналогично тому, как делалоо для совместных элементов (см. п. 1.1). [c.12] Как видно из (1.18), для сходимости МКЭ достаточно спра ведливости условия 3 теоремы при t = . В этом случае услови( 3 означает, что при постоянной по конечным элементам (КЭ) деформации работа внутренних сил, соответствующих этой де формации, на несовместных перемещениях фjg равна работе тез же сил на совместных перемещениях 1/g, что указывает на некоторую энергетическую эквивалентность функций фjg и A,jg. [c.12] Полученные таким образом несовместные функции pjg удов- летворяют условиям теоремы, а следовательно, обеспечивают сходимость МКЭ. [c.13] Следовательно, сейчас уже имеется достаточно надежный аппарат для теоретического обоснования несовместных конечных элементов, использование которых до недавнего времени считалось некорректным. Доказательство сходимости МКЭ в несовместном случае не использует традиционные приемы вариационно-разностных методов и является новой математической задачей. Таким образом, если МКЭ в совместном случае можно классифицировать как модификацию метода Ритца, то обоснованное применение несовместных конечных элементов позволяет классифицировать МКЭ как самостоятельный метод не только с точки зрения процедурной реализации, но и с точки зрения теоретического обоснования. [c.13] Вернуться к основной статье