Пересечение прямых линий и плоскостей проецирующими плоскостями

Пересечение прямых линий и плоскостей проецирующими плоскостями [c.49]

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ И ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕЦИРУЮЩИМИ ПЛОСКОСТЯМИ [c.49]

Построение точек пересечения прямой линии ef e f с поверхностью вращения, заданной очерками, показано на рис. 308. Здесь через данную прямую линию проведена фронтально-проецирующая плоскость Му и построена линия пересечения ею поверхности вращения. Прямая линия пересекается с построенной кривой линией в точках хх и уу, которые и являются искомыми точками входа прямой ef, e f в поверхность и выхода ее из поверхности. [c.210]

Итак, начинаем с построения линии пересечения плоскости основания конуса с плоскостью, касательной к конусу (рис. 216, в). Это делаем путем нахождения точек пересечения прямых АЗ и D с плоскостью треугольника EFG. Через АВ и D проведены вспомогательные горизонтально-проецирующие плоскости и Q. [c.165]

Пересечение прямых линий и плоскостей проецирующими плоскостями. Пересечение прямых линий плоскостями произвольного положения. Взаимно пересекающиеся плоскости произвольного положения. Прямые линии и плоскости, параллельные плоскости. Прямые линии и плоскости, перпендикулярные плоскости. Взаимно перпендикулярные прямые произвольного положения. [c.5]

Пример 2. Построить линию пересечения прямого кругового конуса фронтально проецирующей плоскостью. Определить действительный вид сечения и построить развертку усеченной части конуса (рис. 139), [c.124]

На рис. 64 показано построение на безосных чертежах линий пересечения проецирующих плоскостей. Две горизонталь-но-проецирующие плоскости Njj и Гя пересекаются по прямой линии аЬ, а Ь, перпендикулярной к горизонтальной плоскости проекций Я. Горизонтально- и фронтально-проецирующая плоскости (Л/я и Му) пересекаются по прямой линии 12, Г1. Здесь проекции 12 и 1 2 линии пересечения плоскостей принадлежат их соответствующим следам. [c.51]

Решение. Через прямую АВ проводим горизонтально-проецирующую плоскость R (след совпадает с аЬ) и строим линию пересечения плоскостей Р и lit [c.53]

На черт. 371 определена точка М пересечения плоскости а (AB ) с прямой линией т. Плоскость а задана аксонометрической AB и вторичной горизонтальной А В С проекциями трех ее точек, а прямая — соответственно проекциям т и т. Через прямую т проведена горизонтально проецирующая плоскость (о (ш = т ). Вторичная проекция дает возможность определить линию 1—2 пересечения ее с плоскостью а. Искомая точка М является точкой пересечения прямых т и I—2. [c.131]

Решение этой задачи даже в самом общем случае, когда и плоскость и прямая занимают произвольное положение в пространстве, легко сводится к простейшей задаче по определению линии пересечения двух плоскостей, из которых одна — проецирующая (см. 44, рис. 187, 188), с последующим определением второй проекции точки, принадлежащей плоскости, если известна одна из ее проекций (см. 40, примеры 1. .. 3, рис. 169. ..... 171). Для этого достаточно прямую заключить во вспомогательную проецирующую плоскость. [c.170]

В построениях, показанных на рис. 280, 281, были использованы вспомогательные горизонтально-проецирующие плоскости. И хотя применение именно горизонтально- или фронтально-проецирующих плоскостей в качестве вспомогательных при нахождении точки пересечения прямой линии с плоскостью или двух плоскостей между собой (а значит, и в случаях взаимного пересечения многогранных поверхностей) удобно и является обычным приемом, могут быть случаи, когда плоскости общего положения в качестве вспомогательных окажутся предпочтительными они дадут меньше дополнительных построений. Но для этого должны быть соответствующие условия. Пример дан на рис. 282. Здесь основания обеих пирамид находятся в одной плоскости. Через вершины пирамид проведена прямая и найден ее след (точка М) на плоскости оснований пирамид. Всякая плоскость, проведенная через прямую 8Т, проходит через вершины обеих пирамид и рассекает их грани по прямым линиям (см. рис. 276) следы этих плоскостей на плоскости оснований пирамид проходят через точку т. [c.163]

Пересекающиеся прямые. Пересекающиеся прямые имеют общую точку (пересечения). Проекции точки пересечения (так же, как проекции любой точки пространства) располагаются на линиях связи, перпендикулярных к осям координат (табл. 5, п. 2). Проекции пересекающихся прямых пересекаются, за исключением случая, когда обе прямые расположены в одной проецирующей плоскости. Так, например, изображенные в табл. 5, п. 3 пересекающиеся прямые АВ и СО расположены в одной горизонтально проецирующей плоскости Q, и поэтому их горизонтальные проекции аЬ и ей сливаются. [c.53]

Прежде чем говорить об элементах проективного пространства, рассмотрим построение проекции прямой линии. Чтобы спроецировать на плоскость П прямую АО, нужно через все ее точки провести проецирующие прямые и определить точки пересечения этих прямых с плоскостью П. Точки [c.7]

Рассмотрим теперь построение линии пересечения двух профильно-проецирующих плоскостей О и Е (рис. 171). В данном случае плоскости заданы следами, хотя порядок решения не изменится, если способ задания плоскостей будет иным. Рассечем обе плоскости вспомогательной горизонтально-проецирующей плоскостью ЧГ и найдем прямые АВ и СО пересечения этой плоскости соответственно с плоскостями 2 и Е. Через точку Е пересечения прямых АВ и СО проходит линия пересечения плоскостей параллельно их следам (почему ). Таким образом, линией пересечения профильно-проецирующих плоскостей является профильно-проецирующая прямая. [c.105]

На рис. 177 дано решение той же задачи для случая, когда плоскость Е задана следами. Заключим прямую а в горизонтально-проецирующую плоскость 2 и определим линию АВ пересечения заданной и вспомогательной плоскостей. На ней, в месте ее пересечения с прямой а, отметим искомую точку К Как и в предыдущем примере, вначале должна быть найдена фронтальная проекция точки К, а затем ее горизонтальная проекция. [c.109]

Когда с плоскостью общего положения пересекается профильная прямая, обе проекции линии пересечения вспомогательной проецирующей плоскости с заданной плоскостью совпадают с соответствующими проекциями прямой. Поэтому найти точку пересечения этих прямых без вспомогательных построений нельзя. Рассмотрим этот пример на рис. 178, на котором изображены плоскость АВС и профильная прямая ЕР. Заключим прямую ЕР в профильную плоскость 2. Линия ее пересечения с плоскостью АВС определяется точками <7 и Я, в которых прямые АС и ВС пересекаются с плоскостью 2 (см. /75/). Для определения положения точки К пересечения прямых ЕР и ОН воспользуемся способом замены плоскостей проекций, как это было сделано при решении задачи на рис. 86. (Как найти точку /(г Как иначе решить задачу ) [c.109]

Возьмем на прямой Ь произвольную точку В и соединим ее с точкой А прямой линией. Любая прямая, проходящая через точку А и пересекающаяся с прямой Ь, лежит в плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми Ь и АВ. Найдем точку К пересечения прямой с с плоскостью, проходящей через точку А и прямую Ь. Для этого заключим прямую с в горизонтально-проецирующую плоскость Е, найдем линию СО пересечения плоскостей, а на ней и точку К- Искомая прямая проходит через точки А (по условию) 1 К и пересекается с прямой Ь в точке М. [c.111]

Построим точку К пересечения прямой а и плоскости Ь Ц с- Эту часть задачи решаем с помощью горизонтально-проецирующей плоскости Х, проходящей через прямую а. Линия пересечения плоскостей Х и й с определяется точками А к В. Находим на этой прямой точку к и проводим через нее ось ( 1), перпендикулярную плоскости Пх. Взяв на прямой а произвольную точку М, совместим ее с плоскостью Ь Ц с, вращая [c.180]

Пересечение прямой с поверхностью вращения. Здесь мы рассмотрим пересечение прямой с поверхностью вращения, меридиан которой представляет собой кривую общего вида, хотя описанные ниже приемы могут быть использованы и в случае любой поверхности вращения. Построим точки пересечения прямой а с поверхностью вращения Ч " (рис. 350, слева). Если бы прямая а была горизонталью, ее следовало бы заключить в горизонтальную плоскость. Линия пересечения плоскости и поверхности была бы простейшей из всех возможных. Однако прямая а занимает общее положение. Любая плоскость, проходящая через нее, пересечет поверхность по кривой, которую можно построить по отдельным точкам (каркасная кривая). Поэтому выберем такую плоскость, линию пересечения которой с данной поверхностью можно было бы легче всего определить. Такой плоскостью будет или горизонтально-, или фронтально-проецирующая. Заключим прямую а в горизонтально-проецирующую плоскость 2 и в соответствии с /125/ построим кривую с пересечения плоскости и поверхности. На чертеже показана одна из вспомогательных плоскостей 2, с помощью которых была построена линия пересечения с плоскости 2 [c.233]

Если ось пучка проецирующих плоскостей параллельна предметной плоскости (рис. 547), то с картинной плоскостью она пересечется в точке Р а,, расположенной на горизонте. Предметные следы проецирующих плоскостей параллельны между собой и прямой 8Рп (сравните с рис. 541), картинные пересекаются в точке которая называется точкой схода параллельных прямых или точкой схода. Чтобы найти точку достаточно из точки 51 провести прямую, параллельную предметным следам проецирующих плоскостей, до пересечения с основанием картины и через полученную точку F — основание точки схода — провести линию проекционной связи до пересечения с горизонтом в точке Эти построения показаны на рис. 547, 548, 549. Чтобы построить картинные следы проецирующих плоскостей, достаточно [c.382]

Точки схода различно расположенных горизонтальных параллельных прямых расположены на горизонте, поэтому горизонт представляет собой перспективу совокупности несобственных точек горизонтальных плоскостей, или, иначе говоря, перспективу несобственной прямой горизонтальных плоскостей. Действительно, чем дальше от картинной плоскости расположена параллельная ей горизонтальная прямая (рис. 555), тем ближе к горизонту лежит ее перспектива. Перспектива каждой из таких прямых получена в результате построения линии пересечения с картинной плоскостью проецирующей плоскости, проведенной через данную прямую. По мере удаления прямых от картинной плоскости угол между предметной и проецирующей плоскостью уменьшается и в конечном счете становится равным нулю, иначе говоря, проецирующая плоскость становится параллельной предметной. Это происходит, когда проецирующая плоскость пересекается с предметной в бесконечности, а с картинной — по линии горизонта. Такая плоскость называется плоскостью горизонта. [c.385]

На рис. 169 даны плоскость АВС и прямая а. Нужно найти точку К их пересечения. Проведем горизонтально проецирующую плоскость П За и построим линию ОЕ пересечения плоскостей— заданной и вспомогательной. Обе прямые а и ОЕ инцидентны плоскости П, следовательно, их горизонтальные проекции совпадают (см. рис. 90), поэтому вначале нужно отметить точку К2, а затем найти X,. Видимость прямой относительно треугольника АВС определена с помощью конкурирующих точек (О и f, а также С я Н). [c.57]

Когда с плоскостью общего положения пересекается профильная прямая, обе проекции линии пересечения вспомогательной проецирующей плоскости с заданной плоскостью совпадают. Поэтому найти точку Х(без дополнительных. построений нельзя. На рис. 171 плоскость АВС пересекается с профильной прямой ЕР. Проведем профильную плоскость П ЕР. Ли -ния пересечения плоскостей определяется точками О и Я, в которых АС а ВС пересекаются с П. Для нахождения точки X пересечения прямых ЕР и СЯ воспользуемся способом замены плоскостей проекций, как это было сделано на рис. 91. (Как найти точку Х2 ) [c.57]

Чтобы ее найти, нужно из точки провести прямую, параллельную предметным следам проецирующих плоскостей, до пересечения с основанием картины и через полученную точку F° — основание точки схода — провести линию связи до пересечения с горизонтом в точке F (рис. 510 и 511). Для построения картинных следов проецирующих плоскостей достаточно найти точки пересечения предметных следов с основанием картины и соединить их с точкой схода. [c.204]

Сечение призмы плоскостью. На рис. 247 показано построение проекций и истинного вида сечения прямой треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью Р. Плоскость Р перпендикулярна плоскости V, поэтому фронтальная проекция сечения и плоскости совпадают. По фронтальной проекции можно заключить, что плоскость Р пересекается с верхним основанием призмы и ее боковыми гранями. Поскольку грани призмы перпендикулярны одной или двум плоскостям проекций, то для построения линии пересечения их с плоскостью Р достаточно воспользоваться линиями связи. [c.137]

На рис. 310 показаны построения точки пересечения прямой е/, e f с винтовой поверхностью правого хода, заданной производящей линией аЪ, а Ь и базовой гелисой. Через заданную прямую линию проведена горизонтально-проецирующая плоскость Ыц и построена линия пересечения aihi, ai h этой ПЛ0СК0С1И с винтовой поверхностью. С построенной линией пересечения прямая линия ф f пересекается в искомой точке. хг.х. [c.211]

Пересечение прямой линии и линейчатой поверхности с плоскостью параллелизма. Коноид задан направляющимианЬиплоскостью параллелизма П (рис. 349). Определим его пересечение с прямой с. Заключим эту прямую в горизонтально проецирующую плоскость и построим кривую (1 пересечения плоскости и ко- [c.130]

При рассмотрении проецирующих плоскостей установлена важная для них особенность. Любой геометрический образ, лежащий в проецирующей плоскости, имеет одну из своих проекций на соответствующем следе этой плоскости. Это свойство проецирующих плоскостей дает возможность легко ре-щать задачи на построение точек пересечения прямых линий проецирующими плоскостями и линий пересечения плоскостей общего положения проецирующими плоскостями. [c.49]

Но проецирующий посредник не всегда обеспечивает кратчайшее реше- ние задачи. На рис.152, б эта же задача решена с помошью плоскости Р(Р, Р2) общего положения, проходящей через вершину 8 конуса. Чтобы задать такую плоскость, проведём через 82 прямую (82А2), отметим горизонтальную проекцию А точки её пересечения с заданной прямой / и проведём (8 А]). Найдём горизонтальные следы прямых (8А) и /, совместив горизонтальную плоскость проекций с основанием конуса Сг = /2ЛХ -> С - горизонтальный след прямой / Вг = (82А2)Пх -+ В1 - горизонтальный след прямой (8А). (СВ) = РПП1 - горизонтальный след плоскости р. Фигура 1 -8г2 является горизонтальной проекцией сечения конуса плоскостью р, а N1 = (81-1 )Л/1 и М1 = (81-2 )П/1 - горизонтальные проекции точек (М, Н) = /Па. Их фронтальные М2, N2 проекции отмечаем по линии связи. [c.151]

На оси гомологии пересекаются пары соответственных прямых. Соответствующие друг друг у фигуры в этом случае называют гомоло-1ИЧНЫМИ. Гомология определяется заданием центра So, оси т и пары соответственных точек А н А, расположенных на одной прямой с точкой S (черт. 8). В этом случае для каждой точки плоскости, например В, можно определить ей соответственную — В. Для этого поступают следующим образом. Прямая А В, соответственная прямой А В, должна проходить через двойную точку Со последней. Искомая точка В должна быть и на прямой СоА, и на проецирующей линии 8цВ. Пересечение указанных прямых и определяет точку S. [c.10]

Проецирование заключается в проведении через каждую точку А, В С,. .. изображаемого объекта и выбранный рпределенным образом центр проекций S прямой линии (луча), называемой проецирующей (черт. I). Пересечение этой прямой с некоторой плоскостью проекций к дает точку, являющуюся проекцией данной точки. На плоскости проекций при этом каждой [c.4]

На черт. 142 плоскость а задана пересекающимися прямыми а и Ь. Через прямую т проведена фронтально проецирующая плоскость (ц((о" = т"). Построена линия I пересечения плоскостей ш и а. Фронтальная проекция ее совпадает с изображением плоскости ш (/"sсо"), горизонтальная построена с помощью точек 1 и 2, лежащих на прямых а и Ь. Определена Точка пересечения М прямых т и I. Горизонтальная проекция этой точки получена в пересечении линий т и V, фронтальная определена с помощью. линЬи проекционной. связи М — М"[. [c.35]

Для построения проекций линии пересечения определены проекции т , тип, п двух ее точек пересечения прямых с проекциями д е , де и f g, fg с плоскостью треугольника. Проекции т, т, п, п точек пересечения построены с помощью фронтально-проецирующих плоскостей, заданньгх следами 0 и Р . Плоскость О прохо- [c.45]

Построение точки пересечения прямой линии со сферой (рис. 9.19). Используя вспомогательную секущую плоскость, проходящую через данную прямую, получают окружность. Искомые точки А и получаются при пересечении этой окружности прямой линией. На рисунке 9.19 построения выполнены способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций б" выбирают параллельной вспомогательной, например горизонтально-проецирующей плоскости / (/ /,). В этом случае линия пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью сферы проецируется на плоскость 5 в окружность с центром с которой проекция йА прямой линии пересекается в точках и /,. По ним строят горизонтальные и / и фронтальные А и / проекции искомьгх точек пересечения. [c.125]

На рис. 176 даны плоскость АВС и прямая а. Нужно найти точку К их пересечения. Заключим прямую а в горизонтально - проецирующую плоскость 2 (20 и построим линию ОЕ пересечения плоскостей, заданной и вспомогательной. Обе прямые а и ОЕ лежат в горизонтально-проеци- [c.108]

Пересечение прямой со сферой. Чтобы построить точки А и В пересечения прямой а со сферой (рис. 349), заключим прямую в горизонтально-проецирующую (или фронтально-проецирующую) плоскость 2 (см. /128/). Линия пересечения сферы и плоскости на плоскость П, проецируется в отрезок прямой С,01, лежащий на проекции прямой а. Заменим плоскость Пг на П 4 и спроецируем на замененную плоскость линию пересечения плоскости й со сферой — окружность диаметра СхОх и прямую а (как расположена плоскость П 4 относительно плоскости 2 ). В результате такого построения мы можем найти проекции А я В/ точек пересечения прямой а и сферы. Установив проекционную связь, находим точки Ах и Вх, а затем и А г, я Вг- [c.232]

Точка пересечения прямой линии с проецирующей плоскостью. Одна проекция точки пересечения прямой линии с проецирующей плоскостью орределяется без вспомогательных по-строен1Й (СМ./16/). Это проекция на той плоскости, относительно которой заданная плоскость является проецирующей. На рис. 149 проецирующая плоскость 2 в точке К пересекается с прямой а. Построим проецирующую плоскость ЕЭа и определим прямую КХ, пересечения двух проецирующих плоскостей эта прямая является проецирующей и пересекается с П, в точке X, пересечения прямых Е, =а, и 2,. [c.50]

Заключим прямую а во фронтально проецирующую плоскость 2 (см. /144/) и ортогонально спроецируем на П1 сечение параболоида вращения. Пр оекцией сечения станет окружность диаметра AlB (см. /148/). Отметив точки N и X, пересечения ортогональных проекций прямой а (а 1. О2) и сечения, проведем через них линии связи (они параллельны двойным прямым родственного преобразования) и отметим точки их пересечения с первоначально данными проекциями прямой а. [c.128]

Построение аксонометрической проекции усеченного цилиндра. Построим изометрическую проекцию прямого кругового цилиндра, усеченного фронтально-проецирующей плоскостью (рис. 257, а). Вначале вычерчивают изометрическую проекцию основания цилиндра (рнс. 257, 6) —овал с большой осью, перпендикулярной оси Хр. Затем строят проекцию большой оси эллипса Л В. Для этого проводят через точки пересечения контура овала с осью 2р (точки Ар и Вр ) прямые, параллельные оси Хр, и на них откладывают отрезки Вр Вр = Хв и Ар Ар = Ха. Построенные точки Ар и Вр соединяют прямой линией и получают изометрическую проекцию большой оси АВ. Далее делят отрезок Ар Вр на несколько частей (рис. 257. в) и с помощью прямых, параллельных оси Хр, делят в такой же пропорции отрезок АрВр. Через точки деления отрезков Ар Вр и АрВр проводят соответственно хорды овала и прямые, параллельные оси Ур (рис 257, г). Далее через концы каждой хорды проводят образующие цилиндра и в точках пересечения их с прямой, проведенной через соответствующее деление отрезка [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...