Система линейная однородная с постоянными коэффициентами

Решение этой системы однородны.ч линейных уравнений с постоянными коэффициентами найдем, вводя комплексную переменную [c.659]

Рассмотрим стационарные случайные колебания систем с одной степенью свободы. Если движение системы описывается линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, однородная часть которых имеет асимптотически устойчивые решения, то возможен режим стационарных колебаний (при стационарной правой части). [c.183]

Эти критерии означают, что если неустановившееся движение Xg = = О асимптотически устойчиво в линейном приближении и если при этом возмущенные двин ения Xg (t, о) линейного приближения удовлетворяют оценке (9.6), характерной для асимптотической устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами, то имеет место асимптотическая устойчивость в силу полной. системы уравнений (9.3) при условиях (9.5), где т — i. Н. Н. Красовский (1959) обобщил этот критерий на задачи устойчивости по первому приближению и в тех случаях, когда правые части уравнений первого приближения (9.4) представляют собой однородные формы от Xg произвольного порядка щ > 1 с переменными по t непрерывными и ограниченными коэффициентами. Именно, справедлива следующая теорема. Пусть решение а == О системы уравнений (9.4) удовлетворяет неравенству [c.48]

Мы видим, что системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами (однородные) резко отличаются по своим свойствам от таких же систем с постоянными коэффициентами. [c.131]

Мы получили систему двух однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Таковы дифференциальные уравнения малых колебаний консервативной системы с двумя степенями свободы. [c.427]

С целью нахождения общего интеграла этой системы линейных, однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами будем искать частные решения в виде [c.600]

Решение этой системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ищем в виде [c.611]

Уравнение движения подвижной системы, на основании решения уравнения Лагранжа (1. 97), имеет вид однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами [c.99]

Из анализа известно, что при интегрировании системы (21) следует поступать так же, как и при интегрировании линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией (ср. т. I, гл. II, пп. 42—43), т. е. следует искать частные решения вида [c.385]

Линейная однородная система с постоянными коэффициентами [c.217]

Свободные переходные процессы в системах регулирования описываются однородными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.479]

Пусть известны выражения для кинетической и потенциальной энергии колебаний линейной системы вблизи положения устойчивого равновесия, заданные в виде однородных квадратичных форм соответственно от обобщенных скоростей и обобщенных координат <7, с постоянными коэффициентами [c.184]

Итак, сформулирована линейная однородная краевая задача (4.5.5), (4.5.6) на собственные значения, минимальные из которых — критическая интенсивность давления. Упростим эту задачу, опустив в системе уравнений (4.5.5) подчеркнутые члены, которыми учитывается влияние докритических деформаций. В гл. 7 будет показано, что неучет влияния этих членов приводит к несущественной относительной погрешности в определении критических интенсивностей давления для длинной круговой жестко защемленной панели и ими допустимо пренебречь. Опустив в (4.5.5) подчеркнутые слагаемые, приходим к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Относительно простое строение матрицы ее коэффициентов позволяет в явном виде указать четыре собственных значения этой матрицы [c.125]

Уравнения поля являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Общее решение системы однородных уравнений (нижний индекс Н) для каждой зависимой переменной представляет собой сумму членов вида [c.56]

Это также линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, зависящими от параметров системы и коэффициента трения г. Оно отличается от (11.45) наличием члена с первой производной от х. Заметим, что если 6 = 0, то (11.49) переходит в (11.45). [c.340]

Замечание. В [15] указан способ представления общего решения однородной системы п линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в виде дифференциального оператора, примененного к п функциям ф , каждая из которых определяется из своего более простого, чем исходные, дифференциального уравнения. Для сведения краевой задачи к ИУ по границе можно использовать потенциалы , соответствующие дифференциальным уравнениям для функций (pi. В теории упругости подобный способ применяется в [16]. [c.187]

Задача определения движения в окрестности положения равновесия свелась к исследованию решений системы линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение такой системы известно из курсов дифференциальных уравнений, и мы не будем останавливать на нем внимания. [c.560]

Таким образом, малые колебания консервативной системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия описываются двумя линейными однородными дифференциальными уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение этих уравнений будем искать в форме [c.480]

Мы пришли К системе четырех линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами техника интегрирования таких систем подробно рассмотрена в 173, 174 учебника. [c.414]

Рассмотрение малых колебаний голономной системы около положения равновесия сводится к изучению системы п линейных уравнений (1.5) с постоянными коэффициентами. Как известно, частное решение уравнений (1.5) записывается в виде Подставляя это в (1.5), приходим к системе п линейных однородных уравнений относительно постоянных Л/ и величины р [c.244]

Решение системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами можно искать в виде [c.30]

Для того чтобы эта система линейных однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо, как известно, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, был равен нулю. Но легко видеть, что этот определитель совпадает с основным определителем 0(к) (см. главу I, 3, разд. 2) системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами psa- Поэтому, для того чтобы уравнение (2.24) имело решение вида (2.24 ), необходимо, чтобы постоянная х была корнем определяющего уравнения [c.91]

Для полного интегрирования системы линейных однородных уравнений (13.105) с постоянными вещественными коэффициентами, нужно, как известно, составить характеристическое уравнение этой системы и рассмотреть его корни. [c.723]

Система (13.107 ) есть система линейных однородных уравнений порядка п (а не 2п, как система (13.105)) с постоянными чисто мнимыми коэффициентами. [c.725]

Настоящий раздел аналогичным образом использует трехмерный анализ Фурье и трехмерную теорию стационарной фазы для того, чтобы определить асимптотическое поведение волн, генерируемых сложным начальным возмущением в анизотропной системе, описываемой линейными уравнениями. Однако, как и в разд. 3.7, необходимость использования разложения Фурье ограничивает нас однородными системами (обычно описываемыми уравнениями с постоянными коэффициентами), так что каждая фурье-компонента (синусоидальная волна постоянной амплитуды) по отдельности может быть решением уравнений движения. [c.425]

Мы получим систему двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Обращаясь к интегрированию этой системы, будем искать ее частное решение вида [c.418]

Мы получили систему двух неоднородны линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Как известно, общее рещение такой системы складывается из какого-либо частного ее рещения и общего решения соответствующей системы однородных уравнений. Общее решение соответствующей системы однородных уравнений уже получено в 145, — оно соответствует собственным колебаниям данной системы. Остается найти какое-либо частное решение системы (2). [c.440]

Главные колебания (9.9) дают возможность построить обш,ее решение — совокупность всех движений системы. Линейная однородная система дифференциальных уравнений (9.1) обладает следую-ш,им свойством линейная комбинация решений с постоянными коэффициентами является также решением, т. е. по главным колебаниям [c.39]

Начнём с системы линейных однородных дифференциальных уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами [c.275]

Система (7.29) есть система линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Если от системы (7.29) перейти к системе 21 уравнений первого порядка, где неизвестными функциями будут q и q, затем привести ее к нормальному виду, то мы придем к уравнениям типа (7.14). [c.449]

Это — система п линейных, однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно координат д ,. .., с постоянными коэффициентами. Общее решение этих уравнений определяет малые линейные колебания системы около состояния устойчивого равновесия. [c.107]

Если линейное уравнение малых колебаний системы с одной степенью свободы имеет постоянные коэффициенты и решение однородного уравнения асимптотически устойчиво, то в такой системе возможны случайные стационарные колебания (при случайной стационарной правой части). [c.183]

Пользуясь граничными условиями и условиями сопряжения, получим систему линейных однородных уравнений относительно произвольных постоянных. Эта система будет иметь решения, отличные от нуля, только в случае равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов системы. Раскрывая этот определитель, получим трансцендентное уравнение частот, не содержащее произвольных постоянных. Для упрощения записи трансцендентных уравнений частот введем функции Л (а), (a), С(а), D(a) и 5,(а) [c.40]

Итак, однородная задача (24), (26) имеет счетное множество решений, обладающее, по-видимому, полнотой в классе 2 ([—1, 1]). Полагая, что система т является полной системой линейно независимых собственных функций, приходим к выводу о том, что решение однородного уравнения конвективной теплопроводности (4) существует и единственно для краевой задачи вне шара радиуса Во, если на его поверхности о задана температура как функция сферического угла 9. На бесконечности температура предполагается постоянной и равной нулю. Очевидно, что можно получить решение и в том случае, если на поверхности 8о задать тепловые граничные условия второго или третьего рода, поскольку неизвестные произвольные коэффициенты Сп, содержащиеся в т , и здесь однозначно определяются. Каждый коэффициент взаимно однозначно связан с интенсивностью 2 -польного теплового источника. [c.267]

Уравнеиия (1.1.3) представляют собой линейную однородную систему алгебраических уравнений относительно бук- Необходимым и достаточным условием существования у линейной однородной алгебраической системы нетривиального решения (когда не все одновременно равны нулю) является равенство нулю определителя, образованного элементами матрицы коэффициентов. В рассматриваемом случае элементы этой матрицы представляют собой выражения, заключенные в скобках левой части (1. 1.3). Вычисляя этот определитель и полагая его равным нулю, получим некоторое характеристическое уравнение (Р)==0, корни которого определяют искомые значения р, позволяюи ие получить не нулевые решения системы. (Заметим, что, поскольку элементы определителя системы в общем случае содержат трансцендентные члены,. характеристическое уравнение имеет бесконечно большое число корней.) Так как все коэффициенты характеристического уравнения действительны, то его корни — или действительные или комп-лексно-сопряженные числа j- - =Уj Шj В соответствии с этим решение исходной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами складывается из членов вида [c.13]

Как мы уже отмечали в гл. VI (пп. 21, 23), то обстоятельство, что все характеристические показатели чисто мнимые, недостаточно для обеспечения устойчивости в строгом смысле однако оно будет достаточно для линейной устойчивости, по крайней мере вообще. Эта оговорка учитывает ту возможность, что характеристическое уравнение допускает кратные корни, наличие которых, как и в элементарном случае движений, определяемых одним линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (т. I, гл. И, п. 43, в), может поставить под сомнение устойчивость. Это наличие кратных корней не подвергает сомнению устойчивость в случае голономных систем, как это косвенно следует из теоремы Дирихле для более общих систем, таких, например, как система (16 ), требуется, наоборот, дополнительное исследование. [c.237]

Изложенный метод приводит, таким образом, к решению системы линейных однородны.х уравнений с постоянными коэффициентами. Эти уравнения можно еще больше упростить, если ввести главные координаты, что, вообще-говоря, возможно, так как всегда можно найти такое линейное преобразование координат Aqnpn котором оба выражения (А ) и (В ), определяющие энергию L я V, одновременно станут простой суммой квадратов главных координат или простой суммой квадратов скоростей их изменения [1911. [c.382]

Метод вариации произвольных тхто-янных есть общий метод, пригодньш для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения н-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего неоднородного уравнения. Пусть фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения будет у , у2,. .., у а- Частное решение однородного уравнения U (х) ищем в виде U (х) = = l(-V)l/l + 2(x)i/2+--.-l- (х)1/ . Функции [c.50]

В работах XVIII в. использовалось понятие устойчивости равновесия или движения без уточнения его содержания и без введения для него количественной меры. Это в значительной мере верно и для работ дальнейшего периода, охватывающего почти весь XIX в. — от Лагранжа до Пуанкаре и Ляпунова. Теория малых колебаний около положения равновесия или движения оставалась основным аппаратом теории устойчивости. Она была усовершенствована за это время математически Дж. Сильвестр, К. Вейерштрасс, К. Жордан дали полный анализ всех случаев, которые могут представиться при решении однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. К. Вейерштрасс и, независимо от него. [c.119]

Таким образом, малые возмущения равцовесия удовлетворяют системе линейных однородных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Эта система имеет частные решения, зависящие от времени по экспоненциальному закону (так называемые нормальные возмущения) [c.19]

Уравнение (6.6) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если коэффициент fell равен нулю или сравнительно мал, то это уравнение описывает колебания системы, называемые линейными. Стационарность сил и связей, рассматриваемых в данной задаче, приводит не только к постоянству коэффициентов уравнения (6.6), но и к его однородности поэтому описываемые этим уравнением колебания называют собственными (или свободными). [c.255]

Общие закономерности свободных колебаний линейных систем в принципе были установлены давно и вытекают из теории линенных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому исследования, выполненные в последние десятилетия, относились, в сущности, к проблеме адекватной схематизации реальных механических систем, отбора и учета существенных степеней свободы и т. п. Кроме того, получили развитие исследования, касающиеся изменения свойств колебательной системы при вариации параметров, а также при наложении дополнительных связей и присоединении дополнительных масс. В работах ряда авторов существенно развиты методы анализа свободных колебаний линейных систем (об этих работах будет сказано в обзо ре на стр. 167—169). [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...