Уравнение синусоидальных волн

Таким образом, уравнение (58.1) описывает неподвижные в пространстве синусоидальные колебания частиц среды с различными, но постоянными для каждой точки амплитудами. В этом уравнении полностью утрачена характерная особенность волны — конечная скорость распространения фазы, поэтому его п называют уравнением стоячих, волн. [c.220]

Частотные уравнения для случая гармонических волн, распространяющихся перпендикулярно направлению слоев, мол<но найти в работе Рытова [58] — первой работе по этому вопросу, а также в книге Бреховских [16]. Плоские гармонические волны, распространяющиеся в произвольном направлении, изучались в работе Све [67]. Некоторые результаты Све представлены на рис. 5. Приведенный на этом рисунке частотный спектр отчетливо показывает различие в природе синусоидальных волн, соответствующих различным углам падения. Для возмущений, распространяющихся перпендикулярно направлению слоев, имеется полоса частот, для которых не существует волн с вещественным волновым числом. Это означает, что в данном случае слоистая среда работает как волновой фильтр. Если же направление распространения волны не перпендикулярно к направлению слоев, [c.369]

Если разность шагов двух сеток мала, то ясно, что первый и второй члены в правой части уравнения (2.11) описывают синусоидальную волну, частота которой равна среднему арифметическому частот исходных сеток и которая плавно модулируется косинусоидальным членом. Этот вывод иллюстрируется рис. 25, в, изображающим изменение общего коэффициента пропускания света. Множитель [c.60]

Из приведенного рисунка видно, что модулирующее действие косинусоидального множителя на синусоидальную волну выражается в образовании муаровых полос, наблюдаемых при наложении сеток. Расстояние S между полосами равно половине шага р модулируемого члена. Из уравнения (2.11) следует выражение для шага полос, которое выше было выведено на основании чисто геометрических соображений [c.60]

Уравнение плоской синусоидальной волны, движущейся в положительном направлении оси у, [c.204]

Следовательно, результат опыта находится в полном противоречии с корпускулярной теорией. Но его можно объяснить, если принять, что свет после светофильтра есть синусоидальная волна, причем освещенность в каждой точке пропорциональна квадрату амплитуды этой волны. Это можно понять из следующих простых рассуждений. Излом зеркала нужен для того, чтобы получить два световых потока, исходящих как бы от двух источников 5j и S2 сферических волн. Пусть эти источники излучают волны равномерно во всех направлениях с одинаковой амплитудой А, частотой ы и фазой, т. е. А зависит только от расстояния г, а не от направления. Тогда создаваемые источниками волны могут быть описаны уравнениями [c.31]

Здесь — амплитуда синусоидальной волны, а ( oi — + с) — фаза. Величины а, с фиксированны и не зависят ни от х, ни от t. Перемещение данное формулой (21.1), в общем не может удовлетворять уравнению движения нелинейного упругого материала ни в точной, ни в линеаризованной форме. Однако оно может быть решением линеаризованных уравнений движения, если тело однородно и подвержено однородной начальной деформации. Значение решения (21.1) является результатом того, что локально всегда материал и начальная деформация однородны. В связи с этим в малой окрестности избранной точки перемещение (21.1) является решением линеаризованных уравнений движения. [c.145]

Плоская синусоидальная волна в упругом материале. Выше было показано, что если материал и деформация однородны, то в декартовых системах координат линейные уравнения движения будут иметь вид [c.152]

ЖИМ решение уравнения (5,5) в форме выражения для бегущей синусоидальной волны [c.80]

При распространении волны конечной амплитуды в жидкости происходит искажение формы волны вследствие нелинейного характера уравнения состояния среды и уравнения движения [15, 31—34]. Характер искажений детально изучен для случая синусоидальных волн конечной амплитуды. Теоретически [31—33] и экспериментально [15, 34] установлено, что волна конечной амплитуды, имеющая у излучателя синусоидальную форму, становится пилообразной на некотором расстоянии от него. Это отчетливо иллюстрируется осциллограммой, приведенной на рис. 47. Расстояние от излучателя, на котором плоская волна конечной амплитуды и синусоидальной формы становится пилообразной, определяется соотношением [c.361]

Фронт плоской волны есть плоскость, нормальная к направлению распространения волны. В цилиндрической трубе распространяется плоская волна. Мы рассмотрели синусоидальные волны, но там могут распространяться плоские волны любого вида, как и по струне. Найдем общее уравнение, которому удовлетворяет любая плоская волна (137.1), для газа. [c.484]

Установившееся движение ). Комплексный потенциал для простой синусоидальной волны, движущейся вперед, был получен в виде уравнения (3) п. 14.11. Если мы будем рассматривать оси координат, движущиеся [c.381]

X) Б синусоидальной волне форма профиля вблизи гребня подобна форме профиля вблизи впадины. Так как в силу уравнения (21) 0(я —х) = чь0(Х), то это свойство не сохраняется для волны, определяемой точной теорией [см. формулу (4) п. 18.65]. [c.411]

Если мы теперь рассмотрим синусоидальную волну частоты /7/2эг, распространяющуюся со скоростью с в направлении х, с длиной волны 2-11//, так что с — р//, то решения уравнений (2.22) и (2.23) можно искать в форме [c.24]

Теперь осталось найти константу Л, подставив (12) в уравнение для A/J при j = N — 1. Тогда (12) будет искомым решением системы (5) для поверхностных синусоидальных волн (7). Подставляя (7) в выражение (5) для получим [c.42]

Рассмотрим прямой стержень. Продольная деформация описывается уравнениями (2.7) или (110). Для свободных синусоидальных волн имеем 9 = О, [c.248]

Решения уравнения (67) сильно отличаются, если со2>со2 и со2<со . В первом случае мы получаем синусоидальные волны, которые были рассмотрены ранее (в п. 2.2) для непрерывной струны. [c.132]

Синусоидальные волны, o2>o3g. При со2>со уравнение (67) имеет вид [c.132]

Дисперсионные соотношения. Если частота со больше нижней граничной частоты, то мы имеем синусоидальные волны, для которых частота и волновое число связаны уравнением (69). Перепишем его в виде [c.135]

Это соотношение в точности повторяет дисперсионное соотношение [уравнения (3.91)—(3.98), п.3.5] для вынужденных колебаний. Мы видим, что диапазон частот у синусоидальных волн одинаков для бегущих и для стоячих волн и простирается от до ах где [c.154]

Качественное объяснение граничной частоты. Мы знаем, что для любой системы (например, для системы связанных маятников) частота первой моды свободных колебаний является также самой низкой частотой синусоидальных волн, когда система находится под действием внешней силы. Таким образом, частота первой моды является также граничной частотой вынужденных колебаний. Для частот внешнего воздействия, меньших этой частоты, волны экспоненциальны. Точно на частоте порога длина волны синусоидальных волн бесконечна (в этом случае все маятники колеблются в фазе). Таким образом, если мы хотим узнать дисперсионное соотношение для граничной частоты, нам следует положить =0. Частота, полученная из дисперсионного соотношения при й=0, и будет граничной частотой. Эту частоту будем обозначать (й,,р. В нашем примере коэффициент преломления равен [см. уравнение (78)] [c.176]

В данном рассмотрении предполагается, что искомое решение уравнения Лапласа в виде синусоидальных волн в заполненной водой области 2 О удовлетворяет условию (13) на верхней границе 2 = 0. Мы должны также наложить подходящее граничное условие на нижней стационарной границе массы воды для безвихревого течения этим условием будет стремление к нулю нормальной составляющей скорости жидкости, т. е. производной по нормали потенциала скорости ф. Любое полученное таким образом решение для безвихревого течения дает, однако, ненулевое значение тангенциальной составляющей скорости на границе. В случае вязкой жидкости оно должно быть согласовано с точным граничным условием равенства нулю скорости жидкости на стационарной твердой поверхности посредством введения тонкого диссипативного пограничного слоя (разд. 2.7) между поверхностью и безвихревым потоком. [c.260]

Хотя в разд. 3.3 решения уравнения Лапласа в виде синусоидальных волн строятся так, чтобы они удовлетворяли не только верхнему, но и нижнему граничному условию, а в разд. 3.5 изучается соответствующий вязкий пограничный слой, мы опишем сначала более простое явление — волны на поверхности столь глубокой воды, что точное граничное условие выполняется снизу автоматически, поскольку связанное с поверхностными волнами возмущение не может проникнуть так глубоко вниз. Поверхностные волны такого рода называют волнами на глубокой воде для любого водоема с глубиной, превосходящей длину волны (как указано в разд. 3.1), нижнее граничное условие удовлетворяется. [c.260]

Для синусоидальных волн с волновым числом к частота, полученная из решения уравнения Лапласа (5) для чисто безвихревого течения в воде глубины Ъ, будет [c.285]

Синусоидальные волны, распространяющиеся в направлении оси X, вызывают, как мы видели, движение воды только в направлении осей х ш z, удовлетворяющее, разумеется, уравнению неразрывности [c.287]

Причины такого внимания к очевидно очень частному случаю синусоидальных волн указаны в разд. 3.1 и 3.2. С одной стороны, волны на поверхности воды нередко обнаруживают форму, приблизительно сходную с синусоидальными волнами малой амплитуды в частности, как отмечено в разд. 3.2, они могут иметь длинные гребни по сравнению с длиной волны, так что они приближенно удовлетворяют уравнению, выведенному на основе рассмотрения бесконечно длинных гребней. [c.293]

Кроме того, стремление понять поведение синусоидальных волн малой амплитуды на поверхности воды вызвано еще тем обстоятельством, что превосходным (а часто и единственным) способом изучения реакции поверхности воды на малое возмущение более сложной формы является анализ Фурье. Он позволяет рассматривать такое возмущение как линейную комбинацию различных синусоидальных возмущений, каждое из которых в отдельности ведет себя так, как описано в разд. 3.2— 3.5. Более того, линейность уравнения, описывающего малые возмущения на поверхности воды (уравнение Лапласа (5) с граничным условием (13), выполняющимся при 2 = 0), означает, что такая линейная комбинация различных синусоидальных решений также будет решением. [c.293]

Реальные волны всегда отличаются от идеальных синусоидальных волн, описываемых уравнением (53.3), тем, что они ограничены во времени и при их расиростраиении в среде происходит некоторое поглощение энергии, приводя--щее к уменьшению а.мплитуды волны. [c.214]

Сделанное в конце 13.5 замечание не исключает возможности распространения с постоянной скоростью волн специального вида. Особую роль для теории играют синусоидальные волны / = = sin к х t) X onst. Здесь к = 2n/L, L — длина волны, со = = кс — круговая частота колебательного движения фиксированной точки. Ясно, что вместо синуса можно взять косинус поскольку уравнения линейны, решения можно складывать, поэтому мы будем задавать синусоидальную волну с помощью комплексного представления / = ехр гА (х — f)X onst, суперпозиция двух таких комплексных волн всегда позволит выделить действительную функцию. Обратимся теперь к уравнениям (13.4.6). Дифференцируя по Xi и суммируя, найдем [c.444]

По виду уравнений (13.6.1) и (13.6.2) можно предположить, что величина 0 распространяется со скоростью i, величина (о со скоростью Сг. Но ЭТО Н6 0B 6M так, мы не можем поставить раздельные граничные условия для 0 и для иу, поэтому фактически уравнения оказываются связанными между собой. Однако эти соображения играют определенную наводящую роль при выборе структуры предполагаемых решений тех или иных задач. Сейчас мы рассмотрим следующую задачу. Бесконечная плита ограничена плоскостями Хг = h. Нужно выяснить вопрос о возможности распространения синусоидальных волн в направлении оси Xi. Предполагается, что перемещение Ыз = 0. Граничные плоскости X2 — h свободны от напряжений. Таким образом, нужно найти перемещения Ui xi, Хг, t) и Пг х , t). Положим [c.445]

Возвращаясь к общему уравнению (13.6.8), мы у()еждаемся, что скорость распространения синусоидальной волны зависит от ее длины. Поэтому заданное возмущение произвольной формы, которое можно представить как сумму гармонических составляющих, будет распространяться по стержню, меняя свою форму. Это явление, т. е. зависимость скорости от длины волны и, как следствие, искажение формы импульса, называется дисперсией, в данном случае геометрической дисперсией, происходящей от наличия свободных границ. [c.448]

Приближенный метод расчета при ламинарно-волновом режиме движения пленки под действием сил тяжести был впервые разработан П. Л. Капицей [56] и в дальнейшем усовершенствован В. Г. Левичем, А. Н. Мауриным, В. Я. Шкадовым и др. (см. раздел 2). Согласно [56], средняя толщина ламинарного слоя жидкости, поверхность которого покрыта двухмерными синусоидальными волнами, примерно на 7% меньше, чем это следует из уравнения (19), справедливого для чисто ламинарного режима течения, т. е. в этом случае [c.203]

Полученное соотношение и есть уравнение синусоидальной одномерной (или плоской) волны, бегущей в сторону положительных значений координаты х. Уравнение волиы, бегущей в сторону отрицательных х, имеет вид [c.362]

Уточним введенное ранее понятие скорости волны. В уравнении синусоидальной плоской волны —/Isin o зафиксируем какое-либо значение фазы [c.364]

Далее следует гамн линейности, а значит Принципу Суперпозиции, который является, по мнению М. А. Миллера, главным условием создания Интеллекта в мире, в котором нас поселили (дословный текст приведен нами в качестве эпиграфа к главе 2). В конечном счете прославление линейности и синусоидальных волн вызвано тем, что формула (30) ...является универсальным решением любого линейного уравнения (а часто и другого алгоритмического соотношения) , а эта глава посвящена линейным волнам. [c.179]

Можно было бы отметить, что в теории Похгаммера речь идет о синусоидальных волнах, распространяющихся вдоль бесконечного цилиндра. Как показал Ляв (стр. 303), уравнения (3.35), (3.36) и (3.37) не могут быть удовлетворены для свободных колебаний цилиндра конечной длины гармоническими решениями типа (3.42), если предполагать, что торцы цилиндра свободны от напряжений. [c.65]

Нам нужно более внимательно проанализировать структуру коэффициента W, который входит в уравнения лазера. Мы взяли этот коэффициент из полуклассической теории излучения Эйнштейна. Как будет детально показано в дальнейших главах, величину W нельзя считать одинаковой для всех типов фотонов. Чтобы показать, какова структура коэффициента W, мы выведем соответствующее выражение не очень строго. (Вывод его из основных Ьринципов будет дан в разд. 6.9). Величина W учитывает, конечно, взаимодействие светового поля с атомами. Если рассмотреть одиночную стоячую волну в виде sin kx, то совершенно ясно, что световая волна не может взаимодействовать каким-либо образом с атомом в точке л = О или в других нулях синусоидальной волны. Но можно ожидать максимального взаимодействия между атомом и световой волной, когда функция синуса имеет максимум. Поскольку атом и световое поле обмениваются между собой энергией, следует предположить, что W зависит не от амплитуды поля, а от его интенсивности, т. е. от квадрата амплитуды. Кроме синусоидальной волны в лазерном резонаторе могут генерироваться также другие типы световых полей (см. гл. 3). Обозначив соответствующие формы световых волн символом Uy с учетом сказанного введем вероятность перехода в виде [c.91]

Б силу линейнистн уравнений акустики слои ное колебание почти всегда можно представить ь видц сушш синусоидальных волн, Разложение сложною 18 [c.539]

При повышении интенсивности У. обычные линейные ур-ния акустики неприменимы и в силу вступают уравнения нелинейной акустики. Эффекты, связанные с конечностью амплитуды колебаний среды, в к-рой распространяется У., в первую очередь сказываются в искажении формы волны. Ири нелинейности среды в распространяющейся синусоидальной волне появляются высшие гармонич. составляющие, к-рые могут быть сравнительно легко обнаружены спектр, методом. Эти составляющие нарастают по мере распространения волны и ири не очень больших величинах поглощения в среде это нарастание может принести к превращению сииусоидалыюй волны в, пилообразную. Исследовапие 1 характера этого из- [c.237]

Построение коротковолновой асимптотики основано на представлении, что локально в каждом месте наблюдается ряд почти строго синусоидальных волн, однако амплитуда этих волн и направление их фронтов медленно меняются от точки к точке. Формальная подстановка функции такого вида в уравнение с частными производными, описывающее волновой процесс, приводит (в первом приближении при малой длине волны) к уравнению Гамильтона — Якоби для волновых фронтов. Следующие приближения позволяют определить также и зависимость амплитуды колебаний от точки. [c.407]

Поэтому уравнение бегущей синусоидальной волны имеет вид а1з(2, /) = а1з(0, / ) = Лсоз(о/ = [c.151]

Граничное условие на дне. Теперь воспользуемся тем граничным условием, что на дне аквариума (озера) нет вертикального движения воды. Условие1 1у= О при у = —h эквивалентно условию f y) = = 0 при у = — /г. Из уравнения (61) получим В = — Лехр (— 2kh). Таким образом, имеем окончательный результат для стоячей синусоидальной волны в аквариуме (озере) с постоянной глубиной h [c.315]

Этот раздел мы можем завершить вопросом насколько точным является дисперсионное соотношение (18) для волн, не имеющих в точности синусоидальную-форму (14) Заметим, что в выражении (14) нет зависимости от координаты г/, что дает чисто двумерное движение, одинаковое для каждой плоскости (такой, как изображена на рис. 50), параллельной плоскости xz. Гребни волн, например, должны неограниченно простираться под прямыми углами к такой плоскости. Однако для того чтобы синусоидальные во.лны с хорошей точностью удовлетворяли соотношению = gk, достаточно того, чтобы их зависимость от у была настолько плавной, что член d (f dy в уравнении Лапласа (5) был бы намного меньше, чем осталытые два члена (прп выводе формул (16) — (18) они полагаются в точности уравновешивающими друг друга). Вообще говоря, это означает, что волны Ихмеют длнпные гребни, согласованно простирающиеся в направлении осп у на расстояние многих длин волны. Лишь упомянув здесь об этом, мы отложпм до разд. 3.6 обсуждение с.лучаев отклонения от поведения чисто синусоидальных волн. [c.266]

Вычисления с граничным условием (29) отличаются от проведенных в разд. 3.2 только другим снециальныд выборохМ решения обыкновенного дифференциального уравнения (16) для амплитуды Ф (г) синусоидальной волны общего вида (14). Вместо решения (17), которое стремится к нулю при больших отрицательных 2, выделяется решение, удовлетворяющее условию Ф (—к) = 0. Это означает, что в общей линейной комбинации частных решений уравнения (16) [c.267]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...