ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Стационарное значение определенного интеграла из "Вариационные принципы механики " Имеется одна и только одна функция, удовлетворяющая этим условиям. [c.73] Коэффицпенты этого разложения определяются однозначно. Тогда любой функции у = f x) можно поставить в соответствие определенную совокупность коэффициентов а , Oj,. .., а 6 ,. .., при условии что п выбрано достаточно больщим, так чтобы остаток разложения был достаточно малым. Примем эти коэффициенты за прямоугольные координаты точки Р в (2п + 1)-мерном пространстве. При этом произвольная функция изобразится некоторой точкой этого многомерного пространства значение интеграла /, соответствующее функции f x), можно отложить на перпендикуляре к прежнему пространству, увеличив на единицу число измерений. Мы, таким образом, вновь приходим к картине поверхности в многомерном пространстве. Малому изменению функции f x) отвечает малое перемещение точки Р. Задача нахождения функции f x), которая минимизирует определенный интеграл /, сводится к задаче нахождения наинизшей точки на некоторой поверхности в пространстве 2п + 2 измерений. Это в точности та же задача, которую мы рассматривали в предыдущих пунктах данной главы. [c.74] Эйлер показал, что эту задачу можно решить элементарными средствами, не прибегая к специальным методам. Мы используем тот факт, что определенный интеграл можно заменить суммой с возрастающим числом членов. Кроме того, производную можно заменить отношением приращений функции и аргумента. Получающаяся при этих операциях ошибка может быть сделана сколь угодно малой. [c.74] Ошибка, возникающая в результате таких замен, стремится к нулю, когда все интервалы Ахд, = х + — х, стремятся к нулю. [c.75] Мы заменяем первоначальный интеграл суммой (2.7.13) и ищем стационарное значение этой суммы. Это уже задача обычного типа задана функция S п переменных yi,. .., г/ (вместо фигурировавших раньше переменных Ui,. .., u ). Мы знаем, что задача решается приравниванием нулю частных производных S по у . В заключение придется лишь исследовать переход /S.x 0. [c.75] Здесь записаны необходимые и достаточные условия стационарности суммы S. Важно отметить, что две крайние ординаты уо и Уп+ заданы и не варьируются. Если бы и они были неизвестны, то нам бы потребовалось в дополнение к уравнениям (2.7.16) еще два граничных условия. [c.76] Это фундаментальное уравнение было открыто независимо Эйлером и Лагранжем и обычно называется дифференциальным уравнением Эйлера — Лагранжа. Заметим, что оно было выведено элементарными средствами из условия стационарности суммы, заменяющей данный определенный интеграл. [c.76] Этот метод вывода основного дифференциального уравнения вариационного исчисления, предложенный Эйлером, не совсем строг, так как он использует двойной предельный переход в не вполне допустимой форме. Прямой вывод Лагранжа, который мы изложим ниже, свободен от этого недостатка. [c.76] Резюме. Задача минимизации определенного интеграла, содержащего неизвестную функцию и ее производную, может быть сведена к элементарной задаче минимизации функции многих переменных. Для этого интеграл заменяется суммой, а производная — отношением приращений. Условия, при выполнении которых первая вариация обращается в нуль, принимают форму разностного уравнения, которое в пределе переходит в дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. [c.76] Вернуться к основной статье