Ансамбль систем микроканонический

Следовательно, выбирая плотность D как функцию одного из интегралов движения, мы можем гарантировать статистическое равновесие, так как скобка Пуассона [D, Н] будет тогда обращаться в нуль. Поэтому для консервативных систем плотность D может быть любой функцией энергии, так как при этом обязательно будет выполняться условие равновесия. Выбор этой функции определяет характеристики рассматриваемого ансамбля систем. В случае, например, известного микроканонического ансамбля плотность D постоянна для всех систем, имеющих заданную энергию, и равна нулю для других систем. [c.296]

В микроканоническом ансамбле систем энергия s постоянна, тогда как потенциальная энергия и кинетическая энергия варьируют для различных систем, будучи, конечно, подчинены условию [c.120]

Обсудим сначала квазистатический термодинамический процесс. Квазистатический термодинамический процесс соответствует медленному изменению величин и V, обусловленному воздействием на систему внешних факторов. В течение этого процесса ансамбль представляется совокупностью точек, равномерно распределенных по медленно меняющейся области Г-пространства. Изменение происходит так мед-ленно, что в каждый момент времени ансамбль является микроканоническим. Соответственно изменение энтропии при бесконечно малом изменении и V дается выражением [c.166]

Предполагая, что распределение по микроскопическим состояниям п)= п, 2, , 7 ансамбля систем является микроканоническим [c.389]

Совместная вероятность найти систему первоначально в области 7,° , / , , а по истечении времени t — в области д, , р, , для микроканонического ансамбля (7.1) равна [c.183]

Сравнение метода канонических собраний с методом микроканонических. Канонический ансамбль состоит из большого числа N систем одной и той же природы, которые можно рассматривать как копии одной из них, находящихся в различных состояниях. Но эти собрания отличаются от тех, которые мы уже рассматривали, значительно большей общностью предположений о состояниях, в которых могут находиться системы, составляющие одно из собраний. Действительно, мы не введем ограничения, что системы обладают определенной энергией. Изображающие точки вместо того, чтобы находиться в тонком слое около поверхности данной энергии в многомерном пространстве, распределены по всей фазовой протяженности S. Это распределение будет обладать определенной плотностью /э, выбранной таким образом, что состояние собрания всех систем стационарно, т. е. что несмотря на непрерывное движение изображающих точек, плотность остается все время той же в определенной точке пространства Е. Величина р должна, таким образом, быть функцией всех q и />, в которую время явным образом не входит. Основываясь на теореме Лиувилля, легко видеть, какова должна быть природа этой функции q и р. [c.47]

С практической точки зрения весьма важно то обстоятельство, что мы можем записать каноническую матрицу плотности в произвольном представлении (для микроканонического ансамбля это невозможно в силу его сингулярной природы). В самом деле, чтобы выч слить рт В виде (4.3.17) либо Z в виде (4.3.16), необходимо знать собственные значения гамильтониана, т. е. решить уравнение Шредингера для S, что практически неосуществимо для нетривиальных систем. Напротив, если исходить из выражений (4.3.18) и (4.3.19), то можно выбрать в качестве базиса любой подходящий набор ортонормированных функций, вычислить матричные элементы гамильтониана Й для зтого базиса (что всегда осуществимо), а затем воспользоваться каким-либо удобным методом приближенных вычислений. Одно это уже дает представление [c.140]

Причину такого сходства результатов можно качественно объяснить следующим образом. Микроканонический ансамбль описывает систему, энергия которой Н фиксирована (в пределах, которые в классической физике могут быть сколь угодно узкими). Б системе, описываемой каноническим ансамблем, энергия может [c.154]

Экстремальность микроканонического ансамбля. Рассмотрим статистический ансамбль замкнутых энергетически изолированных систем с постоянными объемом V и числом частиц N. Предполагается, что все системы имеют одинаковую энергию Е с точностью до АЕ Е. Такой ансамбль представляет макроскопическое состояние с заданными внешними параметрами Е, N иУ. [c.53]

Итак, мы ввели классический ансамбль, соответствующий экстремуму информационной энтропии для энергетически изолированных систем. Как мы видели, он совпадает с равновесным микроканоническим ансамблем, который был введен Гиббсом на основе постулата о равновероятности всех доступных динамических состояний изолированной системы. [c.55]

Так как средняя энергия U = (Н) и, соответственно, теплоемкость Су являются экстенсивными величинами, т. е. они пропорциональны числу частиц N, относительная флуктуация энергии л/ Н ) — (Н) /(Н) имеет порядок l/VTV. Таким образом, флуктуации энергии чрезвычайно малы для макроскопических систем с 1. В этом смысле канонический ансамбль практически не отличается от микроканонического ансамбля, в котором флуктуации энергии отсутствуют. [c.68]

МИКРОКАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ — статистич, ансамбль замкнутых макроскопич. систем, находящихся в статистич. равновесии, характеризуемый двумя основными признаками [c.231]

Пусть. однородный ансамбль с энергией Е определяется как ансамбль всех систем данного типа с энергиями, меньшими Е. Эквивалентность соотношений (7.29) и (7.27) означает, что мы получим те же самые термодинамические функции как из. однородного ансамбля с энергией Е, так н из микроканонического ансамбля с энергией Е. В частности, внутренняя энергия равна Е в обоих ансамблях. Объяснить, почему этот, казалось бы, парадоксальный результат верен. [c.173]

Покажем теперь, что канонический ансамбль математически эквивалентен микроканоническому ансамблю в том смысле, что, хотя канонический ансамбль содержит системы с любым значением энергий, подавляющее большинство систем будет иметь одинаковую энергию. Для этого вычислим среднеквадратичную флуктуацию энергии в каноническом ансамбле. Средняя энергия выражается формулой [c.178]

В случае невзаимодействующих тождественных частиц возможны три типа систем идеальный газ Бозе, идеальный газ Ферми и идеальный газ Больцмана. Получим сначала термодинамику этих идеальных газов на основе формализма микроканонического ансамбля. Для этого необходимо найти для каждого из трех случаев число состояний Г(Е) системы со значениями энергии, лежащими между Е и Б -1- Л. Иначе говоря, нам надо научиться подсчитывать состояния системы. [c.214]

Как было показано в гл. 8, 1, канонический ансамбль может быть выведен из микроканонического ансамбля, однако его можно получить и непосредственно. Если не стремиться к большой строгости, то вывод оказывается очень простым. Рассмотрим ансамбль М систем такой, что средняя по всем системам энергия равна данному числу 1У. Найдем наиболее вероятное распределение систем по энергиям в предельном случае Ж->-оо. По определению ансамбля, системы не взаимодействуют друг с другом, могут рассматриваться раздельно и являются, следовательно, вполне различимыми. Таким образом, наша задача математически тождественна задаче о наиболее вероятном распределении в классическом идеальном газе. Как мы знаем, решением является распределение Максвелла — Больцмана значение энергии Е встречается среди систем с относительной вероятностью где р определяется средней энергией С/. Такой ансамбль является каноническим ансамблем. Очевидно, что эти рассуждения в равной мере справедливы и в классической, и в квантовой статистической механике. [c.229]

Нам остается еще в методе Дарвина—Фаулера получить само каноническое распределение Гиббса. Сделаем это наиболее естественным и прямым способом зафиксируем общее для всего ансамбля микроканоническое распределение по состояниям всех других систем (несколько другой подход — см. задачу 13). Для этого прежде всего выпишем микроканоническое распределение, определяющее вероятность обнаружить ансамбль в состоянии п = П), П2,..., п. , где п, — микроскопическое состояние -й системы, [c.96]

Микроканонический ансамбль. Статистический ансамбль, определяемый принципом равной вероятности микроскопических состояний, или, более точно, распределением вероятности вида (1.11а) или (1.116), называется микроканоническим ансамблем, а распределение — микроканоническим распределением. Таким образом, микроканонический ансамбль описывает изолированную систему, которая достигла состояния теплового равновесия. [c.19]

Совместная вероятность найти систему первоначально в области (г , р , + а по истечении времени т в области г , р , г - -с1г , + для микроканонического ансамбля равна [c.191]

Следует объяснить, почему плотность условной вероятности Р х I х, х) была определена в соответствии с (33) для стационарного, или, используя терминологию статистической механики, для равновесного ансамбля. Легко показать [9], что для систем, рассматриваемых в статистической механике, в нестационарном ансамбле, в котором величина X лежит между д о и д о + dxo при = О и случайна для всех других моментов времени (с тем ограничением, что полная энергия всех членов ансамбля остается неизменной), первая функция распределения W х, t) совпадает с функцией распределения условной вероятности Р (д о х, t) [см. (33)], определяемой для микроканонического ансамбля. Следовательно, соотношение (34) означает, что функция распределения W х, t) для такого нестационарного ансамбля стремится к функции распределения W (д ) для стационарного (.равновесного ) ансамбля. [c.311]

Обсудим теперь вопрос, в какой степени результаты, полученные в предыдущем параграфе, могут быть применены к статистической механике процессов, зависящих от времени. Обычно при обосновании статистической механики равновесных явлений, постулируют, что для изолированных механических систем с заданной энергией рассматриваемые динамические функции являются эргодическими. Этот постулат означает, что среднее по времени от динамических функций почти для всех начальных условий равно их среднему по поверхности постоянной энергии (по микроканоническому ансамблю). Мы обсудим здесь вопрос о том, можно ли построить на этой же основе теорию необратимых процессов. Процессы x(t), рассматриваемые в статистической механике (т. е. зависимость от времени динамических переменных J ), являются эргодическими в смысле, указанном в 3, если символ Ж, используемый в 2 и 3. считать обозначением среднего по микроканоническому ансамблю. Кроме того, они являются стационарными в силу стационарности микроканонического ансамбля. Далее, можно предполагать, что для обычных типов гамильтонианов эти процессы удовлетворяют самому слабому требованию относительно непрерывности, т. е. являются непрерывными в среднем. Это эквивалентно предположению, что процессы являются непрерывными в том смысле, что их корреляционные функции всюду непрерывны. Таким образом, если бы нам удалось [c.313]

Как известно, для систем с большим числом степеней свободы так называемые аддитивные функции имеют приближенно гауссово распределение вероятности в микроканоническом ансамбле. Для конкретности рассмотрим, например, твердое тело из N частиц (не обязательно с гармоническим взаимодействием) с полной энергией полн.-Разделим тело на физически малые элементарные области, содержащие достаточно большое число частиц. Тогда вследствие малого радиуса действия сил между частицами мы можем написать в весьма хорошем приближении для почти всех состояний ( фаз ) <и темы [c.314]

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ, совокупность очень большого числа одинаковых физ. систем многих ч-ц ( копий данной системы), находящихся в одинаковых макроскопич. состояниях при этом микроскопич. состояния системы могут различаться, но совокупность их обязательно должна отвечать заданным значениям макроскопич. параметров, определяющих её макроскопич. состояние. Примеры С. а. энергетически изолированные системы при заданном значении полной энергии микроканонический ансамбль Гиббса), системы в контакте с термостатом заданной темп-ры [канонический ансамбль Гиббса), системы в контакте с термостатом и резервуаром ч-ц Гиббса большой канонический ансамбль). С. а.— понятие статистической физики, позволяющее применять к решению физ. задач методы теории вероятностей. [c.722]

Когда мы хотим представить себе все возможные состояния, принимаемые данной системой, мы можем поступать различным образом. Можно, например, представить себе большое число, ансамбль систем, которые суть, так сказать, копии системы, с которой мы имеем дело они представляют в один и тот же момент времени все состояния этой системы, которые мы должны и желаем принимать во внимание. Эти состояния могут обладать наибольшей общностью, иметь, например, всевозможные значения энергии, как это имеет место в канонических собраниях Гиббса, или быть менее общими, как микрокано-нические собрания Гиббса, эквивалентные эргодическим собраниям Больцмана. В этих последних о всех системах предполагается, что они обладают одной и той же энергией, значение которой задано. Можно также обратить внимание на ансамбль, образованный последовательностью во времени состояний, принимаемых системой. Этим, среди других, занимался Эйнштейн. Тут мы будем пользоваться методом, связанным с микроканоническими собраниями, а в следующей лекции сообщим кое-какие соображения о других способах рассмотрения. [c.22]

Так как любой канонический ансамбль систем можно рассматривать как состоящий из микроканонических ансамблей, то если какие-либо величины миг имеют одни и те же средние значения в каждом микроканоническом ансамбле, то они будут иметь те же значения в каждом каноническом ансамбле. Чтобы подвести формально под это правило уравнение (380), мы можем заметить, что левая его сторона, являющаяся функцией з, имеет постоянное значение в микроканоническом ансамбле и, следовательно, тождественна со СВ01Ш средним значением. Мы получим таким образом общее уравнение [c.123]

Ансамбль систем, распределенный по фазам, является меиее простым и элементарным понятием, нежели отдельная система. Но, рассматривая вместо отдельных систем соответствующие ансамбли, мы можем избежать неудобств, связанных с необходимостью учета исключений, образуемых частными случаями интегральных уравнений движения, так как эти случаи просто исчезают, когда предметом изучения является вместо системы ансамбль. Это в особенности справедлино, когда ансамбль распределен, как в случае, который мы назвали каноническим, по некоторому фазовому объему. В меньшей степени это справедливо для микроканонического ансамбля, который не занимает никакого конечного фазового объема (в том смысле, в каком мы употребляем этот термин), хотя его удобно рассматривать как предельный случай ансамбля, занимающего конечный фазовый объем, так как мы таким образом выигрываем для предмета некоторую часть аналитической простоты, присущей теории ансамблей, занимающих истинный фазовый объем. [c.143]

Подсчитаем сначала статистический вес всего ансамбля систем Г = е , где 5 — энтропия любой из систем, исходя из микроканонического распределения с кронекеровской Д-функцией [c.99]

Чтобы получить само большое каноническое распределение, просуммируем микроканоническое распределение по состояниям всего ансамбля систем, зафиксировав микроскопическое состояние N71 какой-либо одной из них. Тогда, повторяя с учетом дополнительного интегрирования выкладку згщачи 12, получим [c.100]

В статистической механике для изучения поведения системы рассматривается представляющий ансамбль систем. Для вековой (aged) системы (т. е. для адиабатически изолированной системы, которая стремится достичь состояния статистического равновесия) с энергией, лежащей между Е и Е- -йЕ, этот ансамбль является микроканоническим ансамблем и описывается следующей плотностью вероятности [c.183]

Можно показать, что микроканоническое распределение (12.10) обеспечивает равенство (12.4) среднего по макроканоническому ансамблю (12.2) среднему по времени (12.1) функции координат и импульсов b(q, р) систем, для которых b q, р))< (в соответствии с известным положением термодинамики — см. 2) зависит только от интеграла энергии. Такие системы называются эргоди-ческими. Обоснование (исходя из механики) эргодичности многочастичных систем и возможности замены средних по времени средними по микроканоническому ансамблю носит название эрго-дической проблемы. Эта проблема несмотря на ряд полученных важных результатов еще ждет своего решения. [c.196]

Рассмотрим сначала весьма большую изолированную систему и (мы можем назвать ее вселенной ). Она статистически описывается микроканоническим ансамблем, соответствующим энергии Еи. Обратимся теперь к системе, являющейся малой подсистемой по отношению к U эта малая подсистема S взаимодействует с внешним лшром W, т. е. со своим дополнением (фиг. 4.3.1). [c.134]

Вид функции статистического распределения задается аксиомой, постулатом статистической физики, имеющим свое оправдание в том, что все следствия из него подтверждаются экспериментально. При этом различают два подхода. При первом рассматривается ансамбль, состоящий из одинаковых систем с равными энергиями, т. е. рассматривается вероятность различных состояний замкнутой системы, находящейся в равновесии. Ансамбль в этом случае называют микрока-ноническим и распределение — микроканоническим. При втором подходе рассматривается ансамбль из квазинезависимых подсистем замкнутой системы, находящейся в состоянии равновесия. Члены ансамбля различаются и по энергии, т. е. изучаются вероятности микросостояний квазинезависимой подсистемы при разных энергиях. Ансамбль в этом случае называют каноническим и распределение — каноническим. [c.41]

Весьма естественно принять за независимую переменную-скорее энергию, чем температуру, поскольку обычная механика дает нам вполне определенное понятие энергии, в то время как идея чего-то, относящегося к механической системе и соответствующего температуре, представляет собой лишь неясно определенное представление. Но если состояние системы задано ее энергией и внешними координатами, то оно определено лишь неполно, хотя его частичное определение, в пределах его содержания, совершенно ясно. Микроканоническю распределенный фазовый ансамбль с заданными значениями энергии и внешних координат будет лучше представлять несовершенно определенную систему, чем любой другой ансамбль, или отдельная фаза. Если мы подходим к предмету с этой стороны, то наши теоремы будут естественно относигься к средним значениям или наиболее вероятным значениям в подобных ансамблях. [c.178]

Примем теперь энергию Eg равной энергии при первом условии, наложенном на систему. Тогда gg = g становится равным значению N задачи 2.1 для микроканонического ансамбля, соответствующего первому условию, и iS i = A lngj. Следовательно, [c.62]

Предположим, что /(/ , д) есть некоторая измеримая величина, характеризующая систему, например энергия или импульс. Когдг система находится в равновесии, наблюдаемое значение / р, д] должно соответствовать результату, получаемому при усреднение f P. я) по микроканоническому ансамблю согласно некотором правилу. Чтобы постулат равной априорной вероятности имел практическую ценность, все способы усреднения должны приводить к одному и тому же результату. [c.160]

Подойдем теперь к вопросу с другой точки зрения и в качестве основной величины выберем 2 ( ). Здесь мы не интересуемся статистическим рассмотрением механических состояний системы наша цель — выяснить поведение макроскопических переменных. Это статистика совсем иного типа ), не использующая явно механических величин и понятий, хотя в специальных случаях мы можем представить ее и в такой более привычной форме. Основная проблема состоит в следующем если производится измерение температуры, то физические условия, необходимые для реализации микроканонического ансамбля, не сохраняются вследствие обмена энергией между системой и термометром. Возникает вопрос как правильно описывать систему в том случае, когда температура вводится в качестве независимой переменной Мы постулируем, что в указанных условиях система описывается образом функции 2 ( ) при преобразовании Лапласа — Стильтьеса ). [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...