Инварианты скалярные тензора деформаций

В этом случае закон состояния представляется либо в виде (1.4.3) с использованием тензора Пиола, либо в виде (1.4.4) с использованием тензора Кирхгофа. И в том и в другом случае при вычислении производной скалярной функции по тензору деформации используется переход от дифференцирования по тензору деформации к дифференцированию по первым инвариантам степеней тензора деформации [75] [c.22]

Рассматривая тензорно линейные определяющие соотношения, приходим к выводу, что в случае изотермических процессов и склерономной изотропной среды функции ка д зависят только от двух инвариантов тензора деформаций, а г и г — от двух инвариантов тензора напряжений. При этом если тензоры <г и е являются потенциальными, т.е. существуют скалярные функции W viw такие, что [c.107]

Здесь К — модуль сжатия, а Л — скалярный оператор двух инвариантов тензора деформации. Предположим, что соотношения (1.1) обращаются, т.е. можно выразить компоненты девиатора тензора деформации через напряжения [c.118]

В формулах (1.4.1)-(1.4.4) функция х в обш,ем случае анизотропной среды представляется в виде скалярной функции, зависящей от компонент одного из тензоров деформации, меры деформации или градиента места. В случае изотропной среды упругий потенциал представляется как функция инвариантов соответствующих тензоров. В зависимости от того, какие инварианты и каких тензоров используются в представлении потенциальной энергии, имеют место различные формы закона состояния гиперупругой среды. [c.21]

Для изотропных материалов упругий потенциал представляется в виде скалярной функции от инвариантов одного из тензоров меры деформации или тензора деформации. [c.24]

В приложениях часто используется упрощенное представление потенциал для материала Синьорини в виде скалярной функции от первого инварианта тензора деформации Альманзи (при с = 0) [c.25]

Замечание 1.6.1. Применение упругого потенциала в той или иной форме определяется спецификой рассматриваемой задачи и используемой системой координат. Опыт показывает, что в лагранжевой системе координат лучше использовать потенциал в виде скалярной функции алгебраических инвариантов тензора деформации Коши. В эйлеровой системе координат удобнее использовать упругий потенциал, выраженный через инварианты меры деформации Фингера. [c.27]

Участвующий в представлениях (1.4.1)-(1.4.4)упругий потенциал в общем случае для анизотропных сред представляется в виде скалярной функции (1.4.5), которая зависит от компонент тензора градиента места, тензора меры деформации или тензора деформации Коши-Грина. Для изотропных сред используется представление через инварианты тензора одной из мер деформации или тензора деформации. [c.28]

Механические свойства в каждой точке тела аналитически выражаются вполне определенной связью между тензором напряжений и тензором деформаций (или скоростей деформаций), содержащей некоторые величины (модули), не зависящие от напряженного и деформированного состояний. Наибольшее число исследований относится к неоднородным телам, для которых определяющие законы принимаются одинаковыми для различных точек, но модули считаются различными. Модули задаются в виде некоторых известных скалярных или тензорных полей, инварианты которых являются функциями координат точек тела. [c.137]

Плотность свободной энергии Р как скалярная величина не зависит от принятой системы координат и определяется через инварианты тензора деформации и температуру. [c.26]

Для этих двух сред Ф = Ф eij, 8). Из двух симметричных тензоров второго ранга и можно составить только щесТь независимых скалярных инвариантов, содержащих компоненты тензоров деформации - инварианты 1, Ь и /3, введенные выше, а также инварианты, содержащие кроме компонент тензора деформаций еще и компоненты тензора анизотропии [c.140]

Здесь ij3 - некоторая скалярная функция компонентов напряжений и деформаций. Так как тело изотропно, то можно считать, что 1з —функция инвариантов тензоров напряжения и деформации ). [c.739]

Всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту координатных осей. Поэтому в выражение скаляра Ь могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций, которые инвариантны по отношению к повороту осей координат. Единственной такого рода линейной комбинацией для тензора второго ранга является его линейный инвариант, равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали. В этом легко убедиться, составляя указанную сумму в двух [c.167]

Обсудим для каких сред справедливо равенство (2.22). Отметим прежде всего изотропные среды. Для них упругий потенциал должен зависеть от тензора компонент деформаций ij через его скалярные инварианты [c.132]

Все основные известные теории пластичности, как отмечал уже Прагер 2 1, и в том числе его теория, основаны на некоторых ланей-, ных соотношениях между тензорами, полученными путём дифференцирования и интегрирования девиаторов напряжений и деформаций и кроме того на некоторых скалярных соотношениях между их инвариантами. Вводя параметр А, как это сделано в 5, и обозначая через Ь интегро-дифференциальный оператор согласно (1.70), мы можем записать основное соотношение [c.82]

Восстановим для изотропного гиперупругого материала с начальным состоянием без деформаций из уравнения (2. 5.12) уравнение Навье. Для изотропного материала скалярная функция 15 = 1 )(Е) должна быть изотропной функцией тензора В. Следовательно, ф зависит от Е только через его инварианты /а = 1гЕ , а =1,2,3. Для решения 5о имеем оР==1, оЕ = О и о1 = 0. В результате мы получаем уравнение Навье, но со следующими модулями Ламе [c.153]

Предметом рассмотрения в механике и математической физике являются инвариантные величины они не зависят от выбора координатного базиса и определяются собственными свойствами изучаем010 объекта. Инварианты могут быть скалярами (энергия, работа, масса, температура), векторами (скорость, ускорение, сила), тензорами (тензор инерции в точке тела, тензоры деформаций и напряжений в сплошной среде), а также их функциями—диадное, скалярное и векторное произведения векторов, произведение тензора на вектор и т. д. [c.787]

В рамках классической механики сплошных сред тензор напряжения и тензор деформации — симметричные двухвалентные тензоры и, следовательно, элементы множества ш. Соответствующим образом конкретизируя физическую размерность базисных элементов, можно рассматривать два экземпляра этого множества — пространство напряжений и пространство деформаций . Девиаторы в каждом из этих пространств образуют линейное подмножество (подпространство), которое обозначим соответственно через Ds и Вэ- Постулат изотропии (А. А. Ильюшин, 1954), представляет собой утверждение, согласно которому для начально изотропной среды траектория процесса в В зависит лишь от таких свойств траектории ъ Вэ, которые инвариантны по отношению к ортогональным преобразованиям В д. Под ортогональными при этом понимаются линейные преобразования пространства 2)а, при которых сохраняются квадратичные скаляры девиаторов (девиатор с компонентами эц преобразуется в девиатор Эц, для которого 5арЭар — ЭацЭар). Так как кубические скалярные инварианты девиаторов произвольное ортогональное преобразование не сохраняют, сфера действия постулата изотропии определенным образом ограничена — включает в себя лишь среды, закон материала для которых описывается уравнениями, не содержащими произведения двухвалентных тензоров (тензоров с компонентами вида и т. д.) и скаляр- [c.94]

Р. С. Ривлиным [34] были предложены общие уравнения реологического состояния для упруго-вязкой жидкости при наличии зависимости напряжений от скоростей и ускорений деформаций. Из общих теорем тензорного анализа известно, что при наличии такого рода зависимостей тензор напряжений будет квадратичной функцией как от тензора скоростей деформаций, так и от тензора ускорений деформаций со скалярными коэффициентами, зависящими от инвариантов указанных кинематических тензоров. Совершенно очевидно, что наличие квадратичных чле7юв в тензорных уравнениях реологического состояния всегда приводит к появлению нормальных напряжений для случая течения жидкости в условиях простого сдвига. Однако наличие большого числа [c.31]

Детали машин и элементы конструкций — распределенные системы, поля напряжений, деформаций и температур в которых, как правило, неоднородны. Поэтому накопление повреждений протекает в различных точках неодинаково, так что меры повреждений — функции не только времени, но и координат. Это приводит к континуальным моделям повреждения, в которых наряду с полями напряжений и температуры рассматривают поля некоторых скалярных и тензорных характеристик поврежденности материала. По существу модели теории пластичности и теории ползучести представляют собой континуальные модели накопления повреждений, в которых степень повреждения материала определена через поля тензора пластических деформаций или его инвариантов. В более общем случае можно ввести дополнительные поля, которые характеризуют плотность дислокаций, линий скольжения, микротрещин и т. п. Предложен ряд моделей, использующих тензоры второго и более высокого ранга. Однако для использования этих моделей в прикладных расчетах необходимо иметь весьма обширные опытные данные, которые можно получить только из весьма тонких и обстоятельных экспериментов (которые пока никто не проводил). Возможно, что более практичным является другой путь развивать не полуэмпири-ческие, а структурные модели, которые явным образом описывают явления, происходящие в структуре материала при его повреждении. Влияние неоднородности полей напряжений и температур на процессы повреждения целесообразнее учитывать, рассматривая достаточно большое число наиболее напряженных точек и узлов, т. е. увеличивая размерность вектора г 5. [c.93]

В ряде работ [74,75] используется другая форма линеаризованных уравнений движения упругой среды в актуальной конфигурации, выраженная через конвективную ироизводную тензора напряжений Коши. При этом потенциал предполагается скалярной функцией инвариантов меры деформации Коши-Грина (Фингера, что одно и тоже) (1.5.1). [c.40]

Как уже упоминалось в гл. I, всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту осей координат. Таким образом, в выражение скаляра Ь могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформации, которые инвариантны по отношению к повороту осей координат. Единственной такого рода линейной К1)мбинацией для тензора 2-го ранга является его линейный инвариант, равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали, в чем лепсо убедиться, состав. 1ЯЯ указанную сумму в двух произвольно повернутых друг по отношению к другу системах координат и используя связг. между компонентами тензора в этих системах координат. [c.472]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...