Операции симметрии трансляция

Векторы обратной решетки. При рассмотрении операций симметрии было введено специальное обозначение для вектора трансляции [c.59]

Если задать внутри элементарной ячейки к.-н. точку л (гхг Тз), то операции симметрии Преобразуют ее в симметрично равные ей точки во всём кристаллич, пространстве таких точек бесконечное множество. Но достаточно описать их положение в одной элементарной ячейке, и эта совокупность уже будет размножаться трансляциями решётки. Совокупность точек, выводимых из данной операциями gi группы < — Х1, наз. правильной системой точек (ПСТ). На рис. 7 справа дано расположение элементов симметрии группы слева — изображение ПСТ о б- [c.513]

Пространственные решетки (ПР), или решетки Брава, — наиболее общий (абстрактный) образ внутреннего строения кристалла (рис. 5. I). ПР получаем, если исключим все особенности химической природы составляющих его частиц — форму, размер и состав молекул,, атомов или ионов и вместо частиц будем рассматривать точки (узлы решет и) — центры тяжести частиц. По взаимному расположению узлов ПР все многообразие кристаллов сводится к 14 типам. ПР, или решетка Бравэ, характеризуется прежде всего группой трансляций (три) или параллелепипедом повторяемости — элементарной ячейкой (ЭЯ) (см. рис. 5.1). Параллельным переносом (трансляцией) элементарной ячейки в трехмерном пространстве и строят ПР. Трансляция — одна из операций симметрии, поэтому решетки Бравэ можно называть также трансляционными группами . Симметрия относительного располо- [c.95]

Рассмотрим группу трансляций, т. е. операции симметрии Г,-, с помощью которых кристаллическое пространство переносится на вектор Rf. [c.306]

Рис. 31. Операции симметрии, размножающие элементарные фигуры вдоль особого направления г трансляция I, винтовое смещение и скользящее отражение с

Если бы структура представляла собой идеальный трехмерный кристалл, то вследствие наличия трансляций а Tib все молекулы совместились бы точно. Взяв центр одного из атомов или вообще любую другую фиксированную точку каждой молекулы за начало координат, мы могли бы изобразить размещение этих точек вдоль осп графиком рис. 62, а. Пусть теперь в нашем агрегате молекул имеются некоторые сдвиги, однако такие, что все же существует тенденция занимать некоторое положение преимущественно. Функция сдвига t(z), описывающая статистику размещения молекул в этом случае, изображена на рис. 62, б. Ниже мы подробнее будем анализировать функции подобного рода и связанные с ними дифракционные свойства агрегатов ценных молекул. Наконец, если сдвиги совершенно произвольны и равновероятны, то график функции сдвига t(z) будет иметь всюду постоянную величину (рис. 62,е). Именно этот случай можно назвать чистым сдвигом. Такое размещение, в отличие от периодического размещения (рис. 62,а), можно характеризовать операцией бесконечно малого переноса Хао- Эта операция является примером предельных операций симметрии, описывающих бесконечно малые движения или повороты. [c.91]

Далее, следствием определенного расположения элементов может быть наличие составных операций симметрии, состоящих из поворотов и нетривиальных трансляций. Такие плоскости скольжения или винтовые оси дают существенно новые преобразования. Разумеется любая допустимая операция поворотной симметрии может сочетаться с полной трансляцией решетки, давая составную операцию симметрии. [c.24]

Функции при /г = 0 не изменяются под действием операторов трансляции. Действия поворотных элементов а / ,-, являющихся операциями симметрии пространственной группы кристалла, на функции будут преобразовывать их в линейные комбинации функций относящихся к той же энергии кристалла [c.27]

Имеются, кроме того, операции вращения и отражения, называемые точечными операциями симметрии. Операции вращения и отрал<ения можно применить в районе произвольных точек решетки или особых точек внутри элементарного параллелепипеда, в результате ч его кристаллическая структура перейдет сама в себя . Точечные операции симметрии являются дополнением к трансляционным операциям. Возмол<ны еще и другие, сложные симметричные преобразования, которые состоят из комбинации операций трансляции и точечных операций. Предназначением кристаллографического языка является главным образом краткое описание операций симметрии. [c.23]

Ячейки Вигнера —Зейтца отличаются тем свойством, что они инвариантны ко всем операциям симметрии решетки ко всем вращениям, зеркальным отражениям, к инверсии, если средняя точка остается закрепленной и решетка остается инвариантной. В реальном кристалле симметрия ячейки Вигнера — Зейтца не должна сохраняться. Расположение атомов внутри вигнер-зейтцев-ской ячейки —базис-может ограничивать эту симметрию. Все операции симметрии, к которым инвариантен идеальный бесконечный кристалл, объединены в пространственные группы. Пространственная группа содержит, наряду с примитивными трансляциями (15.1), вращения, отражения, зеркально-поворотные преобразования вокруг заданных узлов решетки и осей, инверсии, далее винтовые оси и плоскости скольжения. Последние операции симметрии являются комбинацией зеркально-поворотного преобразова- [c.73]

Помимо трансляций существуют еще и другие операции симметрии, которые переводят кристалл в себя. Инверсия решетки Бравэ относительно любого узла оставляет ее инвариантной и может преобразовывать кристалл в себя. Всевозможные вращения, отражения или зеркальные повороты также могут переводить кристалл в себя. Совокупность всех операций — вращений, отражений, трансляций, зеркальных поворотов и их комбинаций — называется пространственной группой кристалла. Пространственная группа содержит все операции симметрии, которые переводят кристалл в себя. [c.18]

Указаны примитивные трансляции решетки т и тиа одиу примитивную ячейку приходится три атома. Решетка ие симметрична при отражении относительно линия АА, однако если объединить отражение с неполной трансляцией решетки т. то получится Операция симметрии. Линия АА в этой решетке соответствует плоскости зеркального скольжения. Симметрия зеркального скольжения содержится в пространственной группе, в соответствующую точечную группу входит простое отражение. [c.19]

Для изучения структуры этих состояний посмотрим, как они трансформируются под действием операций симметрии Т. (Чтобы отличать преобразование трансляции от расстояния, на которое производится перенос, мы записываем преобразование как Т.) Итак, состояние преобразуется при трансляции по закону [c.59]

Подставляя (2.1) и (2.3) в (2.2), легко убедиться, что эти представления имеют такую же таблицу умножения, как и группа трансляций, и являются поэтому представлениями этой группы. Для каждого из N1 последовательных целых значений имеется свое представление. Таким образом, существует столько неприводимых представлений вида (2.2), сколько операций симметрии в группе трансляций, и представления (2.2) исчерпывают все неприводимые представления данной группы трансляций. [c.70]

Любую операцию симметрии решетки Бравэ можно построить из трансляции Тк на вектор К решетки и жесткой операции, оставляющей неподвижной по крайней мере одну из точек решетки ). Это не столь очевидно. Например, простая кубическая решетка Бравэ переходит в себя при повороте на 90° вокруг оси (100), проходящей через центр кубической элементарной ячейки, в которой точки решетки размещены в восьми вершинах куба. Такая жесткая операция не оставляет неподвижной ни одну из точек решетки. Ее, однако, можно построить из трансляции иа вектор решетки Бравэ и поворота вокруг определенной прямой, содержащей точки решетки, как это показано на фиг. 7.1. Подобное построение всегда возможно — это видно из следующих рассуждений. [c.121]

Пусть имеется операция симметрии 5, которая не оставляет неподвижной ни одну точку решетки. Предположим, она переводит начальную точку решетки О в точку К. Рассмотрим теперь преобразование, получаемое в результате последовательного применения операции 8 и трансляции на вектор решетки — К. Данная составная операция, которую мы обозначим как Т 8, также относится к числу операций симметрии решетки, однако она оставляет начальную точку неподвижной, поскольку операция 5 переносит начальную точку в точку К, а затем операция возвращает К в начало решетки. Таким образом, операция Т ц8 оставляет неподвижной хотя бы одну точку решетки (а именно ее начальную точку). Если, однако, после проведения операции Т-ц8 мы проделаем операцию Тц, то результат будет эквивалентен выполнению одной операции 5, поскольку заключительное применение операции компенсирует предыдущее применение операции Т-н. Поэтому операцию 8 можно построить из операции Т-к , оставляющей неподвижной одну точку, и операции являющейся чистой трансляцией. [c.121]

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах Оз кроме операций точечной симметрии возникают [c.512]

В частности, операция сжатия над алгеброй Dr, связанная с симметрией ее корневой системы относительно замены простых корней Лг-1 Лг, дает алгебру Sr-i с трансляциями. При этом [c.171]

В число операций группы симметрии решетки Бравэ входят все трансляции на векторы решетки. Кроме того, в нее в обш,ем случае входят также повороты, отражения и инверсии ), которые переводят решетку в саму себе. Например, простая кубическая решетка Бравэ переходит в саму себя при повороте на 90° вокруг любой прямой, содержащей точки решетки и имеющей направление [c.120]

Эквивалентность двух пространственных групп решетки Бравэ — более тонкое понятие, чем эквивалентность двух точечных групп (хотя они оба и сводятся к понятию изоморфизма в абстрактной теории групп). Операции двух одинаковых пространственных групп могут все же отличаться в несущественных деталях, поэтому нельзя просто сказать, что две пространственные группы эквивалентны, если они содержат одни и те же операции. Например, две простые кубические решетки Бравэ с различными постоянными решетки а та а принято считать имеющими одинаковые пространственные группы, несмотря на то, что в одном случае шаг трансляций равен а, а в другом а. Сходным образом желательно было бы считать, что независимо от значения с/а, которое, очевидно, не влияет на полную симметрию структуры, пространственные группы всех простых гексагональных решеток Бравэ тождественны. [c.122]

В симметрии подобия считаются равными не только действительно равные фигуры, но и все подобные им, т. е. все фигуры одной и той же формы, например, члены параметрических рядов различных узлов, машин, механизмов, приборов, станков и т. д., отличающихся друг от друга не компоновкой и не формой, а только размерами. Операции симметрии подобия представляются своеобразными аналогиями трансляций, отражений в плоскостях, поворотов вокруг осей с той разницей, что здесь одновременно увеличивается или уменьшается масштаб подобных фигур и расстояний между ними. Примером трансляции симметрии подобия могут быть подшипники одного параметрического ряда, выстроенные в выставочную линию. Примером винтовой оси симметрии подобия в природе (Служит расположение постепенно уменьшающихся к вершине ветвей по винтовой оси вокруг конического ствола дерева. Простая трансляция симметрии и трансляция симметрии подобия практически характеризуют основные признаки одного из важней,-ших понятий теории архитектурной компози- [c.49]

ОПЕРАЦИИ СИММЕТРИИ (преобразования симметрии) — пространств, преобразования объекта (кристалла), при к-рых он совмещается сам с собой. К О. с. относятся поворот вокруг оси симметрии, отражение от плоскости симметрии, инверсия относительно центра симметрии, зеркальный поворот вокруг оси симметрии, а также операции дискретных переносов — трансляций. Совокупность О. с. данпого объекта является его группой симметрии. Подробнее см. Симметрия кристаллов. [c.417]

ТРАНСЛЯЦИЯ (от лат. iranslatio — передача, перенесение)— перенос объекта в пространстве параллельно самому себе на нек-рое расстояние а вдоль прямой, наз. осью Т. характеризуется вектором а. Если в результате Т. объект совпадает сам с собой, то Т. является операцией симметрии (трансляционная симметрия). В этом случае Т. присуща объектам, периодическим в одном, двух или трёх измерениях, примерами к-рых могут служить цепные молекулы полимеров и кристаллы (см. Симметрия кристаллов). [c.158]

Объекты, обладающие периодичностью в одном особом направлении, вдоль оси которого располагаются, повторяясь, некоторые трехмерные фигуры, можно назвать стержнями (классификация А. В. Шубникова [19]). Примерами таких объектов служат 5усы, цепи, винты, канаты и т. п. Представителями стержней в атомно-молекулярном масштабе являются цепные молекулы или их пучки. Разумеется, при анализе симметрии, операции которой приводят фигуру в совмещение с самой собою, рассматриваются идеально построенные молекулы. Прп этом мы также абстрагируемся от возможных изгибов молекул, полагая их строго прямолинейными. Мы также абстрагируемся и от того факта, что в цепной молекуле, имеющей очень большое количество элементарных группировок, число их в действительности все же конечно. Мы будем полагать его бесконечным, что позволит строго применять к цепным молекулам операции симметрии, содержащие трансляцию (сдвиг) вдоль оси молекулы. [c.59]

Указания, относящиеся к возможному положению атомов в пределах элементарной ячейки, можно получить из рассмотрения симметрии кристаллической структуры. Для каждого кристалла расположение атомов должно соответствовать элементам симметрии одной из 230 возможных пространственных групп. Из предыдущего рассмотрения можно видеть, что операция симметрии в реальном пространстве, включая поворот кристалла относительно некой оси или отражение в плоскости, должна сопровождаться такой же операцией симметрии в обратном пространстве. Операциям винтовой оси или плоскости скольжения, включая трансляцию, в реальном пространстве должны соответствовать аналогичные операции в обратном пространстве, сопровождающиеся у но-жением на фазовый множитель, что может привести к амплитудам, равным нулю для некоторых точек в обратном пространстве, т. е. к систематическим погасаниям некоторых отражений. Таким образом, значительная часть информации относительно симметричных преобразований в прямом пространстве может быть получена из рассмотрения распределений интенсивности в обратном пространстве. Существенным ограничением, как. мы видели, явля- ется то, что наличие или отсутствие центра симметрии нельзя установить непосредственно из рассмотрения дифракционных интенсивностей, поскольку (и) =( (—и)1 . Вследствие этого можно идентифицировать однозначно только 58 пространственных групп, используя кинематические дифракционные данные, а всего можно опознать лишь 122 дифракционные группы, которые включают в себя одну или более пространственных групп. В некоторых случаях наличие или отсутствие центра симметрии можно определить на основе недифракциснных измерений, таких, как наблюдение пьезоэлектричества [c.138]

Отсюда видно, что действие операции трансляции кристалла как целого, характеризуемой вектором на вектор смещения и дает смещение в точке, координата которой сдвинута на При такой активной интерпретации операций симметрии мы сдвигаем поле смещений и держим фиксированными узлы кристаллической решетки. Эти новые , или сдвинутые, смещения связаны со старыми , или несдвинутыми, узлами решетки. Если [c.178]

Группа есть совокупность элементов произвольной природы, например совокупность операций симметрии, преобразующих гамильтониан в себя. Для определенности мы будем, как и выше, считать, что преобразование симметрии действует на функцию, т. е. осуществляет вращение, отражение или трансляцию функции. [c.29]

Ат. структура К. р., расположение всех её ч-ц описываются т. н. про с т-ранственными (фёдоровскими) группами симметрии кристаллов, к-рые содержат как операции переносов (трансляций), так и операции поворотов, отражений и инверсии и их комбинации. Всего существует 230 пространств, групп симметрии. В К. р. возможны лишь оси 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков, а оси 5-го, 7-го и более высоких порядков в кристаллах невозможны. Если к данной точке (узлу) кристалла, напр, к любому её атому, применить только операции переноса данной пространственной группы, то получается геом. трёхмерно-периодич. система узлов, к-рая и характеризует К. р. Таких систем существует всего 14, их наз. Браве решётками. Полное описание К. р. даётся пространств, группой, параметрами элем, ячейки, координатами атомов в ячейке. В этом смысле понятие К. р. эквивалентно понятию ат. структуры кристалла [c.322]

В самом широком смысле слова симметрия подразумевает наличие в объектах или явлениях чего-то неизменного, инвариантного по отношению к некоторым преобразованиям. Что касается симметрии геометрических фигур, то это их свойство содержать в себе равные и однообразно расположенные части. Поворотом вокруг какой-либо оси, отражением в точке или в плоскости фигура может совмещаться сама с собой. Такие операции называют симметрическими преобразованиями, а геометрический образ, характеризующий отдельное симметрическое преобразование, — элементом симметрии. Заметим, что всякое тело, как и всякую геометрическую фигуру, можно рассматривать как систему точек. Каждая из конечных фигур имеет, по крайней мере, одну точку, которая остается на месте при симметрических преобразованиях. Такая точка является особенной. В этом смысле кристаллы обладают точечной симметрией в отличие от пространственной симметрии, характерной для кристаллических рещеток, основным элементом симметрии которых является трансляция. [c.14]

Каждый из наборов этих операций составляет отдельную группу, а каждая группа симметрии гамильтониана представляет собой прямое произведение всех этих групп. При решении конкретных задач используют не все перечисленные группы. Группа (а) используется только в связи с Паули принципом, согласно к-рому волновая ф-ция электрона антисимметрична относительно любой перестановки электронов группа (б) отражает закон сохранения для полного угл. момента молекулы группа (в) для изолнров. молекулы несущественна, т. к, трансляции молекулы не влияют на волновые ф-ции, описывающие ввутр. состояние молекулы инвариантность гамильтониана относительно групп (г) и (д) показывает, что он может содержать только чётные степени угл. моментов и пространственных декартовых координат частиц. [c.515]

Если точечная группа R кристалла содержит / элементов симметрии. ( , R , R3,. .., Ri), то каждый элемент пространственной группы G кристалла может быть представлен в виде произ-(зедения операции трансляции Т на .поворотные элементы а,/ ,- [c.26]

Развитие понятия нарушения симметрии привело к необходи-мости включения в теорию скалярного поля (инвариантного по отношению к операциям трансляции, вращения и отражения координат). С этим полем ассоциируется частица с нулевым спином бозон Хиггса, появляющийся в теории на том же уровне элементарности, что и лептоны, и кварки. Если он существует, то должен заменить четыре калибровочных бозона электрослабого взаимодействия, приведенных в табл, 2.1. Теория предсказывает для бозона Хиггса массу, равную 10—50 ГэВ/с . Он может распадаться на пару кварков и антикварков, например bub, которые в свою очередь должны давать адронные струи. [c.71]

Симметрия кристаллов). Б р. установлены франц. кристаллографом 0 Браве (А. Bravais) в 1848. Полное описание симметрии ат. структуры кристалла даётся пространств, группой симметрии, к-рая содержит как операции трансляций (переносов), так и операции поворотов, отражений, инверсии. Б. р. образуются действием только операций трансляций на любую точку кристалла, и из неё выводят систему узлов. Различают примитивные Б. р., в к-рых узлы расположены только в вершинах элем. паралле,лепипедов, гранецент-р и р о в а н н ы е (в вершинах и в центрах всех граней), объёмно-центрированные (в вершинах и в центре параллелепипедов) и базоцентрированные (в вершинах и в центрах двух противоположных граней) (рис.). [c.58]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...