Свободные колебания общие уравнения

В предшествующих рассуждениях рассматривалось только частное решение уравнения (с). Для получения общего решения на вынужденные колебания необходимо наложить свободные колебания, определяемые уравнениями (о) на стр. 189. Постоянные а, а" следует затем выбрать так, чтобы удовлетворить заданным начальным условиям движения. [c.204]

Уравнение (67) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде x=e" . Полагая в уравнении (67) л =e" получим для определения п характеристическое уравнение n - -k =0. Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми ( 1,2= = ik), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (67) имеет вид [c.233]

Рассматривая задачу о свободных колебаниях материальной точки при отсутствии силы сопротивления, можно довести решение до результата в общем виде и затем подставить в него численные данные. Рещая же задачу о свободных колебаниях материальной точки при наличии силы сопротивления, надо подставить численные данные в составленное дифференциальное уравнение н определить я и к, так как в зависимости от соотношения коэффициентов п ]Л к приходится записывать решение уравнения в тригонометрических либо в гиперболических функциях (случаи малого, большого сопротивлений и предельный случай). [c.80]

Проводя решение задачи в общем виде, следует определить численные значения коэффициентов дифференциального уравнения, так как вид частного решения уравнения зависит от соотношения между круговыми частотами вынужденных и свободных колебаний, т. е. между р VI k. [c.106]

Это уравнение имеет структуру, аналогичную дифференциальному уравнению свободных колебаний материальной точки, возникающих под действием линейной восстанавливающей силы. Общий интеграл уравнения (11 ) имеет вид [c.587]

Общее решение системы (2 ) дифференциальных уравнений складывается из общего решения однородной системы уравнений и частного решения неоднородной системы. Общее решение однородной системы представляет ранее рассмотренные свободные колебания и находится согласно методам, приведенным в 2 и 3 этой главы. Поэтому мы остановимся на определении частного решения этой системы, представляющего вынужденные колебания системы. [c.602]

Общее решение дифференциальных уравнений, определяющих свободные колебания ротора, складывается из двух главных колебаний [c.612]

Общее решение этой системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений складывается из общего решения системы без правых частей (однородная система уравнений) и частного решения неоднородной системы. Первое решение определяет затухающие свободные колебания системы и было получено в задаче 455. Второе частное решение, определяющее вынужденные колебания системы, будем искать в виде [c.622]

Интегрируя полученную систему дифференциальных уравнений движения твердого тела, находим частоты свободных колебаний, главные колебания ротора и общее решение задачи. [c.625]

Общее решение системы без правой части уже найдено, — это уравнение свободных колебаний ротора (см. задачу 459). [c.640]

Допустим, что частота свободных колебаний k не равна частоте возмущающей силы са со А. При этом условии проинтегрируем уравнение (IV.40). Как известно из теории интегрирования линейных дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения (IV.40) равно сумме общего решения однородного уравнения (IV. 13) и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения было найдено выше. Оно определяется формулой (IV. 14). Остается найти частное решение неоднородного уравнения. Простая форма правой части уравнения (IV.40) позволяет найти это решение при помощи метода неопределенных коэффициентов. Будем искать частное решение уравнения (IV.40) в такой форме [c.341]

Общий интеграл дифференциального уравнения (17), как известно, является суммой общего интеграла xi, соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения свободных колебаний (4), и какого-либо частного решения Х2 уравнения (17) [c.69]

Общее решение этих уравнений состоит из слагаемого, соответствующего свободным колебаниям [c.274]

Нетрудно, вычислив вторую производную, непосредственно проверить, что (29) действительно является решением уравнения (3). Чтобы получить общее решение этого уравнения, надо наложить на движение (29), обусловленное действием силы Q t), затухающие свободные колебания q t), возникающие вследствие сообщения системе начального отклонения qo и начальной скорости 9о- [c.533]

Приближенное решение уравнений. Рассмотрим наиболее общее уравнение малых свободных колебаний стержня [c.122]

Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем, заключающиеся в том, что любые свободные колебания в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, приводят к тому, что для количественного рассмотрения свободных колебаний с учетом потерь нельзя без существенных оговорок пользоваться методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточной малости затухания, и поэтому его использование с подобными оговорками существенно снижает его практическую ценность. Это заставляет нас в тех случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, описывающего систему, искать другие пути нахождения приближенного решения, учитывающего специфику нелинейных диссипативных систем и пригодного для любого интервала времени. Из возможных методов нахождения приближенного решения следует в первую очередь указать на метод поэтапного рассмотрения н, в частности, на кусочно-линейный метод, а также на метод медленно меняющихся амплитуд. Кусочно-линейный метод, пригодный для любых типов трения и нелинейности, основывается на замене общего рассмотрения движения всей системы в целом решением ряда линейных задач — уравнений, приближенно описывающих различные этапы движения системы, на которых ее можно считать более или менее [c.45]

Учет слабого изменения Ф в областях насыщения и, следовательно, рассмотрение уравнения второго порядка во всех этапах процесса избавляет от необходимости допускать скачки и дает возможность найти непрерывное решение задачи для всех возможных значений д и I. Но такое уточнение связано с большими трудностями и не дает интересующих нас принципиально новых качественных результатов, так что для общего рассмотрения хода процесса свободных колебаний в изучаемой системе сделанная идеализация вполне оправдана. Если же нас будет интересовать сама форма быстрого процесса перехода от одного типа движения к другому, тогда, конечно, необходим более последовательный и строгий анализ. При этом следует иметь в виду, что [c.67]

Наличие множителя е " в первом слагаемом общего решения обусловливает затухание свободных колебаний точки. Поэтому при установившемся режиме, т. е. через достаточно большой промежуток времени после начала, движения, результирующее движение точки М состоит практически только из вынужденных колебаний, определяемых уравнением (8.35). [c.136]

Отсюда видно, что со представляет собою круговую частоту свободных колебаний. Осталось определить функцию Х х). Общий интеграл уравнения (6.6.5) [c.189]

Обозначим ф разность аргументов синусов в общем решении дифференциальных уравнений свободных колебаний системы (19.7) [c.95]

Общий интеграл системы однородных дифференциальных уравнений характеризует свободные колебания системы. [c.127]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ И ИХ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ [c.140]

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ В ГЛАВНЫХ КООРДИНАТАХ [c.177]

Какова особенность дифференциальных уравнений свободных колебаний системы с конечным числом степеней в главных координатах и общего решения этих уравнений [c.179]

Уравнение (14.34) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы. Общий интеграл этого уравнения имеет вид [c.526]

При свободных колебаниях (х=0) характеристическое уравнение r + 2yr + % — Qi имеет пару сопряженных комплексных корней Г1,2=—y i]A)J —Y - Общее решение уравнения (13.2) согласно (i0.11) и (10.12) имеет вид [c.104]

Собственные частоты и главные координаты. В предыдущем параграфе мы видели, что решения вида (10.9) удовлетворяют уравнениям движения не при одном значении частоты со, а в общем случае при п различных значениях. Поэтому решение уравнений движения представляет суперпозицию нескольких колебаний с частотами соь. , Эти частоты, являющиеся решениями векового уравнения, называют частотами свободного колебания или собственными частотами системы. [c.359]

Решение дифференциального уравнения свободных колебаний призматической балки. Общее решение уравнения (17.221) представляем как бесконечную линейную комбинацию частных решений, имеющих вид [c.177]

Нелинейные свободные колебания диссипативной системы. Уравнение, описывающее колебания, указанные в заголовке раздела, в случае системы с одной степенью свободы в общем случае имеет вид [c.222]

Общее решение (5.9) дифференциального уравнения (5.5), описывающего свободные колебания динамической модели устойчивой механической системы, можно представить в виде [c.157]

Общее решение матричного дифференциального уравнения, описывающего свободные колебания неконсервативной системы с малым трением в координатах фу (/ = 1,2,..., и), можно получить в виде [c.164]

Общий случай. Используя результаты проведенного выше анализа поведения условного осциллятора, вернемся к рассмотрению исходной системы, описываемой уравнением (4.1). На основании (4.2), (4.10), (4.12) решение, соответствующее свободным колебаниям системы, может быть записано следующим образом [c.152]

Дифференциальное уравнение свободных колебаний вала без учета диссипации в общем случае может быть записано следующим образом [c.320]

Когда 2о и Zq либо одна из этих величин отличны от нуля, то (VII.5) не является общим интегралом, но остается частным решением дифференциального уравнения (VII.2). Для получения общего интеграла надо просуммировать движение, определяемое формулой (VII.5), с затухающими свободными колебаниями [c.269]

Определение частот свободных колебаний можно производить следующим способом. Частотное уравнение (I. 76), являющееся трансцендентным, следует решить относительно одной из приведенных жесткостей. Это всегда можно сделать, так как все приведенные жесткости входят в частотные уравнения линейно [см. общее частотное уравнение (I. 13)]. В нашем случае [c.31]

Сопоставляя этот результат с уравнением свободных колебаний, записанным в общем виде j = а sin -]- )> видим, что амплитуда колебаний а = 6,8 см, начальная фаза колебаний а = — и круго- [c.83]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Это решение не зависит от начальных условий, значит рассматриваются действительно установившиеся колебания, когда слагаемое в решении, соответс1вующее свободньш колебаниям, затухает практически до нуля. Для решения задачи о свободных колебаниях необходимо исследовать строго интегро-дифферен-циальное уравнение (17.8.8), что, в общем, затруднительно. Решение этого уравнения можно представить как линейную комбинацию двух функций, которые играют роль синуса и косинуса, но представляются довольно сложными двойными рядами. Насколько нам известно, никто не пытался построить таким образом фактическое решение, т. е. просуммировать и протабулировать эти ряды. Однако некоторое суждение о характере затухания свободных колебаний по истечении достаточно большого времени от их начала, т. е. тогда, когда затухание уже практически не зависит от того, каким образом были возбуждены колебания вначале, можно получить, используя ту же технику. Положим [c.597]

Уравнение. Как и в предыдущем разделе, для вывода дифференциального уравнения свободных колебаний воспользуемся принципом Даламбера, применив его к системе в виде консоли с массой на конце. При этом сразу введем общие обозначения 17.5, а именно — о обозначим символом q, т — символом а = а. Коэффициент сопротивления — символом 6ц = 6, жесткость системы сц = с. Силу сопротивления представим в виде —Сила сопротивления входит наряду с даламберовой силой инерции в эффективную силу. Поэтому согласно принципу Даламбера имеем [c.97]

Общее решение дифференциального уравнения (5.5), описывающего свободные колебания динамической модели полуопределенной механической системы, имеет вид [c.157]

Частотное уравнение системы в рассматриваемом случае отличается от характеристического уравнения системы диф( )еренциаль-ных уравнений лишь знаками коэффициентов. Следовательно, общее решение системы однородных дифференциальных уравнений свободных колебаний (45) для любой из обобщенных координат будет иметь следующий вид [c.43]

Если для заданных значений параметров Сд р, /гр р, Сщр и hinp, характеризующих нелинейные упругие заделки концов балки, найти собственные значения а из общего уравнения (I. 13), то, очевидно, частота свободных колебаний определится из соотношения [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...