Итерации ядра

Функция Г называется резольвентой или разрешающим ядром интегрального уравнения. Она может быть определена посредством интегрального уравнения (6-132). Ее можно также получить в виде бесконечного ряда различных итераций ядра К М, Ы) [120]. Функции К М, М) и Г М, К) не меняются при перестановке точек М. N. [c.221]

Вольтерра доказал следующую теорему. Если степенной ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости, то операторный ряд, получающийся из него заменой переменной оператором с ограниченным ядром К, сходится всюду. Операторный ряд мы будем называть сходящимся, если ряд для его ядра сходится абсолютно. Мы не будем здесь приводить доказательство этой теоремы, которое можно найти, например, в книге Работнова [И]. Заметим, что условие ограниченности ядра можно заменить условием ограниченности его итераций, начиная с некоторого номера. Поэтому теорема справедлива для слабо сингулярных ядер типа дробно-экспоненциальных. Будем называть ограниченными такие операторы, которые удовлетворяют условию [c.585]

Поскольку ядра интегральных уравнений в обш.ем случае зависят от распределения спектральной интенсивности излучения по частотам и направлениям, то коэффициенты облученности и облучения также являются функционалами и для их точного определения следует использовать метод итераций. При термодинамическом равновесии в излучающей системе распределение спектральной интенсивности по частотам подчиняется закону Планка и является изотропным для любых направлений. В этом случае ядра интегральных уравнений становятся симметричными функциями и различие между коэффициентами облученности и облучения пропадает, в результате чего становятся справедливыми равенства (8-38) и (8-39). [c.237]

В работе [L.9] разработан метод расчета деформаций вихревого следа. Модель следа учитывала до 10 продольных вихрей. Поперечные вихри не учитывались. Исследовалась лишь форма концевых вихрей. Шаг по азимуту составлял от Ai) = 15° до All = 30°. Расчет производился в течение 5 оборотов винта. Оказалось, что форма вихрей слабо зависит от радиуса ядра. Для уменьшения времени счета элементы вихрей разделялись на ближние и дальние. К первым относились все элементы, относительно которых в первой итерации было установлено, что они существенно влияют на индуктивную скорость в заданной точке пелены. Для ускорения счета в последующих приближениях при вычислении индуктивных скоростей учитывались только ближние вихри. В результате время, требуемое для определения формы свободных вихрей, уменьшилось на порядок. [c.679]

В работах [2—6] использовано приближение оптически толстого слоя для исследования влияния излучения на течение в пограничном слое серого газа. Авторы работ [7—11] применили приближение оптически тонкого слоя. В работах [12—14] использованы соответственно экспоненциальная аппроксимация ядра, приближение оптически толстого слоя и метод итераций, а в [15а и 156] с помощью метода разложения по собственным функциям [c.524]

Вместе с тем использование интегральных соотношений между напряжениями и скоростями деформации, записанных в матричной форме, позволяет решить другую проблему — линеаризовать краевую задачу. Действительно, в общем случае ядра R i, т) и Ro t т)— функции инвариантов тензоров (девиаторов) напряжений, скоростей деформаций, температуры, степени деформации. Однако, организовав итерационный процесс при численном решении краевой задачи на ЭВМ, можно в каждой очередной итерации считать, что эти величины определены предыдущим приближением. В этом случае определяющие уравнения становятся линейными. Применяя проекционно-сеточные методы решения краевых задач, в конечном счете приходим к линейной системе алгебраических уравнений для определения искомых параметров. [c.259]

Это выражение можно преобразовать далее ((Зм. [2]) и показать, что для степенных потенциалов с угловым обрезанием ядро 2 (1 1) ограничено константой, умноженной на соответствующее ядро для упругих сферических молекул. В той же работе [2] показано, что третья итерация симметризованной формы / /27 2/7 / этого ядра интегрируема с квадратом. Следовательно, оператор вполне непрерывен в (понятия функционального анализа см. в книге [4]) при любых степенных потенциалах с угловым обрезанием и для упругих сферических молекул. Так как это, очевидно, верно и для (в этом случае ядро само интегрируемо с квадратом), то отсюда следует, что оператор К вполне непрерывен. Ясно, однако, что это свойство бесполезно, если переходить [c.87]

Итерации по атомному потенциалу. Вариант -матричного подхода был предложен в работе [2.11]. Он состоит в том, чтобы выбрать в качестве ядра амплитуды перехода (2.30) не взаимодействие электрона с электромагнитным полем, как это было сделано выше, а взаимодействие электрона с полем атомного остова II. Точное выражение для амплитуды перехода, эквивалентное (2.30), выражается через точную волновую функцию конечного состояния непрерывного спектра [c.41]

Влияние инерции вращения на низшую частоту колебаний стержня в случае шарнирного опирания, жесткого защемления и свободных концов исследуется в работе В. В. Христофорова [182] (1963). Обыкновенное дифференциальное уравнение, соответствующее гармоническим колебаниям, преобразуется Б интегральное уравнение Вольтерра, из которого с помощью процесса итерации ядра получена первая поправка к частоте при /1// = 1/25 (/1// — отношение высоты стержня к длине). Во всех трех случаях граничных условий поправка для прямоугольного сечения выше, чем для кругового. Поправка максимальна в случае стержня со свободными концами, но не превышает 0.5%. Приведенные примеры не являются характерными. Эффект инерции вращения, как уже отмечалось выше, оказывается существенным при определе-лии высших частот, а также в случае коротких балок. [c.90]

Поиски хороших приближений дали очень немного, однако остается возможность формальной итерации уравнения (30). Было показано, что для бесконечного статистически однородного материала функции удовлетворяют интегродифферен-циальному уравнению (50). Это уравнение можно рассматривать как феноменологическое соотношение, в котором эффективная постоянная е и ядро Mij(x-x ) определяются либо зкепериментально, либо из общих теоретических соображений, При 1с < Lp уравнение (50) можно упростить и оказывается, что ф удовлетворяет уравнению (59). [c.281]

Херинг [8] решил интегральное уравнение (6.48) методом итераций и нашел локальные плотности потока результирующего излучения, полный поток тепла с поверхности ребра и его эффективность. В процессе численного расчета плотности потока результирующего излучения по уравнению (6.416) по мере приближения к основанию ребра могут возникнуть трудности, связанные с тем, что ядро интеграла Gydi, I2) становится неопределенным при -> О, 2 -> 0. Эту трудность можно обойти, если взять предельное значение диффузного углового коэффициента на основании физических соображений, изложенных в работе [c.244]

Весьма маловероятно, чтобы, нелинейное интегродифферен-циальное уравнение (14,14) с радиационным членом dQ /dx, определяемым выражением (14.19), можно было решить аналитически. Тем не менее его можно решить численно методом итераций, если предварительно преобразовать в нелинейное интегральное уравнение. Однако из-за того, что ядро Е х — т ) имеет особенность при т —т = 0, для получения достаточно точных результатов необходи ло выбирать очень мелкий шаг. Это в свою очередь требует больших затрат машинного времени. В работе [7] предложен приближенный метод для решения этих уравнений. Для этого функция 0 (т ) разлагается в ряд Тейлора в окрестности т [c.588]

При рассмотрении тг (i-рассеяния основная цель состояла в изучении сходимости данной итерационной схемы для вычисления длины рассеяния к ее точному значению, рассчитанному в [5] на основе уравнений Фаддеева. При расчете первой итерации (диаграмма рис. 1 а) была установлена применимость статического предела теории ио = = /i/(/i + m) —) 0. Оказалось, что в первом приближении длина тг (i-рассеяния в отличие от рассмотренного ранее [12, 13] случая ггб/-рассеяния существенно меньше точных значений [5]. Причина этого, как было показано в конце п. 4, лежит в специфике изоспиновой структуры данной задачи. На случайность малости первого приближения указывает также то, что сумма первых двух итераций (см. табл. 2) практически совпадает с точным значением a d- Из табл. 2 следует, что рассматриваемый ряд сходится к точным результатам [5] точнее, чем соответствующий ряд в ТМР. Это можно рассматривать как следствие выполнения условия унитарности на каждой итерации. Для уточнения полученных здесь значений для длины тг (i-рассеяния нужно учесть р-волновое тгЛ -взаимодействие, рассчитать диаграмму рис. 1 в, а также оценить вклад от высших итераций. Полученные результаты (см. рис. 3) для фаз тг (i-рассеяния свидетельствуют о их сильной чувствительности к параметрам тгЛ -взаимодействия. Отметим, что все основные соотношения п. 4 с поправками на спин-изоспиновую зависимость применимы для описания рассеяния пиона на более тяжелых ядрах, таких как Li [22], которые допускают двухкластерное представление. [c.297]

Методика численного решения. Рассмотрим методику итерационного численного решения системы уравнений (21), (23) и (31). Каждая итерация состоит из решения уравнения (21) для некоторого размера концевой области трещины с проверкой условий (23) и (31). При выполнении последних двух условий получаем размер концевой области трещины и величину критической внешней нагрузки в состоянии предельного равновесия. При увеличении длины трещины итерационный процесс повторяется. Основным этапом численной схемы является решение уравнения (21), которое также выполняется по итерационной схеме, подобной методу упругих решений, если закон деформирования связей является нелинейным. Уравнения (21) представляют собой систему нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с ядрами типа Коши. Для их решения используем коллокационную схему с кусочно-квадратичной аппроксимацией неизвестных функций. [c.230]

Метод ускоренных итераций. Медленно сходящиеся ите-рддяи уравнения (77) можно ускорить, если вместо точного ядра рзять приближенное, для которого решение можно легко получить,. апример, указанными выше методами, или взять ядро, для которого приближенное решение является точным (оно подбирается) [105]. Затем вычисляется невязка с точным ядром и рассматриваемся как возмущение к уравнению с приближенным ядром. Процесс повторяется до сходимости. Еще один способ выбора приближенного ядра — подбор квадратурной формулы с небольшим числом узлов [106]. Обзор таких методов и их оценка дана в статье [64]. [c.201]

В точке лг лг ядро рассматриваемого уравнения обращается в бесконечность второго пор.ядка, и поверхностный интеграл, входящий в уравнение, может пониматься только в смысле главного значения Коши. Поэтому уравнения вида (5.1) называются сингулярными, в отличие от регулярных уравнений с несобственными интегралами, сходящимися в обычном смысле. Одно из главных различий между двумя указанными типами уравнений состоит в том, что обычный способ итерации, который в случае регулярного уравнения приводит неограниченные ядра к ограниченным, не позволяет сделать то же самое б случае уравнений сингулярных. [c.103]

Существенным здесь является то, что уравнение (12.4) оказывается интегральным уравнением Вольтерра и, следовательно, его можно решать методом итераций при очень общих условиях, лишь бы эти условия не зависели от константы у. В рамках теории Фредгольма это объясняется треугольностью ядра. [Такое ядро — обобщение понятия треугольной матрицы К х, х ) — О при х С х. В силу треугольности определитель Фредгольма тождественно равен единице. Следовательно, резольвента должна быть целой аналитической функцией у. Заметим, что для ядра [c.309]

ТО ядро интегрального уравнения (12.91) является ядром Гильберта — Шмидта и мы можем воспользоваться методом Фредгольма, чтобы найти решение f. Процедура построения полной амплитуды, т. е. S (к) по известному скачку последней на левом разрезе с помощью (12.91) и (12.71) обычно называется NID-жтодом. Получаемое решение, конечно, не всегда возможно построить методом итераций. [c.331]

Основное достоинство уравнения (17.148а) или (17.149) заключается в том, что на главной диагонали матрицы соответствующей ядру, стоят нули. Поэтому итерации уравнения с помощью диаграммной техники не будут содержать несвязных графиков (исключение представляет лищь первый член). [c.513]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...