Метод ускоренных итераций

Была исследована система уравнений (4.59) и (4.60) и показано [20], что наибольшее собственное значение к является положительным и простым, а также, что соответствующий ему единственный собственный вектор может быть выбран таким образом, чтобы иметь неотрицательные компоненты. Кроме того, было доказано, что метод итераций по источникам деления сходится к этому собственному вектору. Эти выводы аналогичны описанным в разд. 4.4.3 для многогрупповых уравнений с непрерывной пространственной зависимостью потока нейтронов. К тому же они обеспечивают прочную основу для использования метода внешних итераций. Как и в случае внутренних итераций, имеются различные методы для ускорения сходимости внешних итераций [21]. [c.153]

Из-за сложной структуры конечно-разностных уравнений матрицы, используемые в итерациях, оказываются тоже весьма сложными. Поэтому используемые здесь расчетные методы не имеют такой математической наглядности и не развиты так же хорошо, как те, которые применяются в Р -приближении или диффузионном приближении. Эмпирически были получены методы ускорения сходимости итерационного процесса, но формально они не были проанализированы. Одна из причин этого состоит в том, что, как отмечалось в разд. 5.2.6, когда Д велико, то решения уравнений могут не быть положительными для всех значений Гг, Хд. Это означает, что свойство положительности оператора переноса (см. разд. 4.4.3) нарушается этим приближением, и анализ становится более сложным. [c.184]

В работе [L.9] разработан метод расчета деформаций вихревого следа. Модель следа учитывала до 10 продольных вихрей. Поперечные вихри не учитывались. Исследовалась лишь форма концевых вихрей. Шаг по азимуту составлял от Ai) = 15° до All = 30°. Расчет производился в течение 5 оборотов винта. Оказалось, что форма вихрей слабо зависит от радиуса ядра. Для уменьшения времени счета элементы вихрей разделялись на ближние и дальние. К первым относились все элементы, относительно которых в первой итерации было установлено, что они существенно влияют на индуктивную скорость в заданной точке пелены. Для ускорения счета в последующих приближениях при вычислении индуктивных скоростей учитывались только ближние вихри. В результате время, требуемое для определения формы свободных вихрей, уменьшилось на порядок. [c.679]

Применим метод линейных ускорений в духе, аналогичном описанному выше для подхода с усредненными ускорениями. Поскольку выражение (2.71) аналогично (2.58), то и рекуррентное выражение /-Й итерации для Х совпадает с выражением (2.64). Для получения соотношения, непосредственно связывающего Х и найдем г из выражения (2.71) и подставим его в (2.72). Тогда получим [c.185]

Если уравнение движения (2.55) является линейным, то при численном решении можно избежать использования итераций с неявными формулами. Прямая формула линейной экстраполяции для метода усредненных ускорений может быть получена подстановкой выражений (2.58) и (2.60) в уравнение (з), решив которое относительно Xi получим [c.189]

Для ускорения сходимости внешних и внутренних итераций обычно используются различные методы. Согласно аргументам, приведенным в разд. 4.4.6, существуют гарантии, что расчеты эффективного коэффициента размножения [c.161]

В случае границы с вакуумом поток нейтронов Ф (х , Ху) равен нулю для всех положительных значении .I . Следовательно, для положительных Ф (х, . .1у) можно найти последовательным применением уравнения (5.12). Аналогично поток Ф (х , Ху) равен нулю для всех отрицательных значений Ху, и для определения Ф(х , Ху) в этом случае можно использовать уравнение (5.13). Величину 7, т. е. 7 (х/г+1/2, можно пересчитать на каждом этапе и решать задачу методом итераций. Существуют различные способы ускорения сходимости этого метода [10]. [c.175]

Метод SOR может рассматриваться как обобщение процедуры Гаусса — Зейделя с ускорением сходимости. Итерационные матрицы здесь также постоянны для всех итераций и имеют соот- [c.240]

Это вариант обычного метода Ньютона, в котором производная заменена разностным отношением множитель 2 принят для ускорения. Как только кк станет близким к истинному значению Я, вычислитель может прекратить дальнейшую матричную факторизацию и вернуться к обычной обратной итерации. Мы можем подтвердить, что алгоритм Петерса — Уилкинсона очень успешно применялся в численных экспериментах, изложенных в гл. 8. [c.276]

В первом, проекционном способе начальное приближение для нового значения напряжения получается экстраполяцией решений при двух предыдущих значениях напряжения. Между двумя предыдущими и новыми значениями разрешается варьировать напряжение только на одном контакте. Предполагается, что потенциалы и квазиуровни Ферми в каждом узле будут меняться линейно с изменением напряжения. Проекционный метод дает наибольшее ускорение сходимости, когда напряжение на стоке меняется в области насыщения. При этом число итераций уменьшается обычно в два раза. Этот метод почти столь же эффективен и в линейной области, но при переходе от линейной к области насыщения его быстродействие несколько замедляется. В подпороговом режиме метод не дает существенного уменьшения числа итераций, однако он позволяет выполнять расчет вольт-ампер-ных характеристик с большим шагом напряжения без ухудшения сходимости. [c.375]

Третий способ ускорения сходимости состоит в использовании своего рода верхней релаксации. Этот способ следует применять только при однократном решении уравнения Пуассона на каждой итерации, как было описано выше. Этот способ был разработан в ходе детального изучения процесса сходимости при использовании двух предьщущих способов ускорения. На рис. 14.13 показана сходимость потенциала и квазиуровня Ферми в некотором узле, расположенном в области канала МОП-транзистора в режиме насыщения. Изображен график зависимости ошибки от числа внешних итераций, так что каждая итерация на рисунке представляет собой два матричных решения. Поскольку приращения потенциала почти постоянны на каждой итерации, оказывается, что быструю сходимость можно получить простым увеличением приращений. Это в какой-то степени аналогично верхней релаксации в методах итерационного решения матричных уравнений. Если вектор приращений потенциала, полученный из уравнения Пуассона, перед сложением его с предыдущим значением потенциала умножить на некоторый множитель, больший единицы, то в результате скорость сходимости увеличивается. [c.376]

Метод ускоренных итераций. Медленно сходящиеся ите-рддяи уравнения (77) можно ускорить, если вместо точного ядра рзять приближенное, для которого решение можно легко получить,. апример, указанными выше методами, или взять ядро, для которого приближенное решение является точным (оно подбирается) [105]. Затем вычисляется невязка с точным ядром и рассматриваемся как возмущение к уравнению с приближенным ядром. Процесс повторяется до сходимости. Еще один способ выбора приближенного ядра — подбор квадратурной формулы с небольшим числом узлов [106]. Обзор таких методов и их оценка дана в статье [64]. [c.201]

В зависимости от выбора матрицы Н и вектора С получаются различные итерационные методы. Эти величины выбирают такими, чтобы формула (2.14) была согласована с (2.13), т. е. Х = НХ -ЬС. Основные итерационные методы простой итерации, Якоби, Гаусса— Зейделя, релаксационные. Для практической реализации итерационных методов необходимо выбрать способ ускорения сходимости и установить критерий окончания итерационного процесса. Способы ускорения сходимости весьма разнообразны, но часто основываются на оценке максимального Л (Н) и минимального та(Н) по модулю собственных значений матрицы Н. Идеальным критерием окончания итераций является норма вектора ошибки Ел, но непосредственно ее определить невозможно, так как точное решение X неизвестно. Поэтому для итерационного процесса (2.13) вводится вектор приращений (вектор псевдоневязки) ДХй= —Ха+1—Ха, связанный с вектором ошибки следующим равенством ДХ.,= (Н—1)Еа, где I — единичная матрица. Переходя к оценке по нормам, получим [c.35]

Из этой теоремы вытекает алгоритм, использующий деление пополам. Допустим, что мы уже определили, что о собственных значений меньше заданного Яо- Тогда ведущие гауссовы элементы для К— Хо 2)М дают 1 собственных значений, меньших Яо/2 остальные о — 1 собственных значений должны лежать между Яо/2 и Хо- Повторное деление пополам будет с большой точностью выделять любое собственное значение, но процесс требует исключения Гаусса на каждом шаге и потому займет много машинного времени. Его надо ускорить это можно сделать, если использовать значения ведущих элементов (или их произведение, т. е. определитель й Х)=Ае (К—ЯМ)), а не только их знаки. Клаф, Бас и Парлетт предложили ускоренную итерацию метода секущих [c.276]

Для решения уравнений Лагранжа (5) 1.1 сугцествует классическая схема (Голдстейн 1975), суть которой состоит в том, что уравнения связей дважды дифференцируются по времени. В полученные соотношения из уравнений подставляются выражения для ускорений и, в результате, получается система линейных уравнений для определения множителей Лагранжа. Полученная таким образом система дифференциально-алгебраических уравнений может быть решена любым методом численного интегрирования систем ОДУ. Недостатком такой схемы является прежде всего отсутствие консервативности, особенно ярко нро-являюгцееся в задачах типа соударения. В связи с этим возникает естественное желание попытаться построить полностью консервативную схему (ПКС). В ряде работ (Гасилов и др. 1979), (Волкова и др. 1985) строятся такие ПКС, но они требуют доро-гостоягцих итераций но нелинейности для которых, в частности, использовался метод параллельных хорд. Специфика уравнений для несжимаемой жидкости позволяет построить линейную ПКС (Франк 1987), в которой на каждом шаге по времени требуется только один раз обрагцать некоторую симметричную положительно определенную матрицу. [c.22]

Выражения (в) и (д) являются явными (или открытыми) экстраполяционными формулами (или предактором ), с помощью которых приближенное значение Х в явном виде выражается через ранее найденные значения х, х н х. С другой стороны, выражение (2.60) называется неявной (или скрытой) интерполяционной формулой (или корректором ), которая позволяет находить более точные значения X,-, если найдено приближенное значение Х . Метод усреднения по ускорению состоит в однократном использовании предиктора, после чего применяются итерации с корректором. Такой подход известен как метод предиктора-корректора. [c.182]

В п. 2.6 описаны численные методы решения нелинейных уравнений движения систем с одной степенью свободы. Два подробно обсужденных там подхода представляют методы осредненных и линейных ускорений, включающие итерации на каждом шаге по времени. Экстраполяционные формулы для метода осредненных ускорений составляют выражения (2,64)—(2.69). Для демонстрации возможности применения этих формул к примерам 1, 2 и 3 из п. 2.6 здесь представлены три специализированные программы под названием АУАС1А, АУАС2А и АУАСЗА. [c.456]

Уэстлейк также опробовал метод двухлинейной блочной последовательной верхней релаксации с циклическим чебышев-ским ускорением. Этот метод превосходит неявную схему метода чередующихся направлений для квадратной сетки с размером шага больше некоторого зависящего от задачи значения, но для задач с мелкой сеткой неявная схема метода чередующихся направлений дает лучшие результаты. Мартин и Ти [1961] провели сравнение итерационных методов, включая градиентные методы. Пирсон и Каплан [1970] исследовали различные способы обхода расчетных точек сетки для метода последовательной верхней релаксации. Они обнаружили, что можно достичь сходимости за меньшее число итераций, но из-за дополнительного усложнения программы при этом может увеличиться машинное время. [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...