Гамильтоновы множители

О гамильтоновых множителях. Как первый шаг по направлению к получению подобной же нормальной формы для гамильтоновой системы уравнений в точке равновесия, мы докажем некоторые общеизвестные основные свойства множителей для этих уравнений ( ). [c.85]

В литературе часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования. Многие авторы ошибочно считают, что этими преобразованиями исчерпываются все преобразования (1), переводящие гамильтоновы системы снова в гамильтоновы. Эти авторы не замечают произвольного постоянного множителя с, который должен фигурировать э общей формуле для произвольного канонического преобразования. [c.150]

Важный переход от лагранжевой к гамильтоновой форме динамики можно совершить более непосредственным образом, без использования преобразования Лежандра, основываясь исключительно на методе неопределенных множителей Лагранжа. Рассмотрим заданную функцию Лагранжа L = q , qn, t). Будем рассматривать qi как некоторую вторую группу независимых переменных Wi, т. е, напишем [c.396]

Теорема Лиувилля об интегрируемости гамильтоновой системы в квадратурах. В п. 163 при помощи теории множителя показано, что для построения общего интеграла системы [c.367]

Приложение теории последнего множителя Якоби к уравнениям динамики в независимых координатах. Применим полученные результаты к уравнениям движения. Положим, что все связи рассматриваемой материальной системы конечны ( 161), а приложенные к ней силы не зависят явно от скоростей тогда гамильтоновы уравнения движения будут следующие [формула (33.21) на стр. 346] [c.434]

МНОЖИТЕЛЬ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМЕ. [c.124]

В этой форме можно распознать гамильтоновы канонические уравнения с точностью до множителя ти- Для того чтобы точно привести их к каноническому виду, достаточно рассмотреть переменные [c.66]

Заметим, что при преобразовании t т множители в случаях (7а) и (76) отличаются лишь знаком. Иначе говоря, сопоставление траекторий сопровождается так называемым обращением нового времени (г —г). Для определённости положим (3 > а, т.е. г > О и для сокращения записи примем следующие обознач ия Г , для траектории q(r), р(т) при г > О гамильтоновой системы H q,p,a) = х на уровне [c.223]

Выберем декартову систему координат с осью г, параллельной оптической оси, и пусть плоскость 2 = 0 совпадает с гауссовым изображением плоскости г = 2о(< 0). Координаты источника равны Хд, у , ZQ. Для определения величины Л + 5, стоящей в фазовом множителе интеграла (4.13.11), можно воспользоваться гамильтоновой смешанной характеристикой у , ZQ , р, д), построенной с использованием координат источника х , у , и направляющих косинусов р ид лу- [c.300]

При этом новая гамильтонова функция будет отличаться от старой множителем [c.362]

Многие задачи динамики твердого тела могут быть проинтегрированы и другим, восходящими к Эйлеру и Якоби, способом. Речь идет о теории последнего множителя, в которой для интегрируемости системы в квадратурах, кроме достаточного количества первых интегралов, необходимо установить существование некоторой инвариантной меры. Достоинством этого метода является то, что он может быть применен не только к гамильтоновым системам, но, вообще говоря, к произвольным, например, к неголономным. Ряд неголономных систем, имеющих нетривиальную меру и интегрируемых по теории последнего множителя, указал С. А. Чаплыгин [179]. В этой книге мы их не рассматриваем, но подчеркнем, что в XIX веке под интегрируемостью большинства задач динамики твердого тела понимали именно интегрируемость по Эйлеру-Якоби, так как гамильтонова структура. [c.75]

Функции Fi и F2, которые называются интегралами импульсивного момента и импульсивной силы соответственно, являются функциями Казимира и фиксируют симплектический лист (в дальнейшем интеграл Fi, по аналогии с уравнениями Эйлера-Пуассона, мы называем интегралом площадей). Для интегрируемости возникающей на листе гамильтоновой системы с гамильтонианом (1.2) не хватает еще одного дополнительного интеграла (это следует также из теории последнего множителя — вследствие наличия стандартной инвариантной меры). В общем случае уравнения Кирхгофа не являются интегрируемыми. Их неинтегрируемость и стохастичность обсуждается, например, в [31]. [c.165]

В шредингеровском представлении волновые функции являются матричными элементами основной непрерывной серии унитарных представлений некомпактных вещественных форм комплексных полупростых групп Ли, взятыми между состояниями с определенными квантовыми числами (обобщенными векторами Уиттекера). В тр же время наличие гамильтонова формализма для рассматриваемых систем (V. 3.1) позволяет, как и в классическом случае (см. V. 3), применить обычные методы теории возмущений. При этом первый член в гамильтониане (III. 2.14) играет роль свободной части, тогда как второй, снабженный множителем л, описывает взаимодействие в системе с постоянной X. В полной аналогии с классическим рассмотрением ряды теории возмущений также оказываются конечными полиномами по X и воспроизводят точное решение соответствующей системы. Используемые построения существенным образом основываются на теории представлений алгебр и групп Ли и для одномерного случая окончательные результаты формулируются полностью в их терминах. [c.229]

Оказывается, при и = 3 условие замкнутости полного решения в предложении 2 можно снять. Доказательство этого утверждения использует теорему Эйлера—Якоби об интегрирующем множителе. Случай и = 3 представляет особый интерес с точки зрения аналогии между гидродинамикой и вихревой теорией гамильтоновых систем. [c.215]

Как раз такой вид имеет гамильтонова функция в декартовых координатах, которые мы употребляли до сих пор. (Следует соблюдать симметрию в последовательности множителей Ак и ри, это, согласно (105), необходимо для того, чтобы оператор Н был эрмитов.) [c.65]

Скажем несколько слов о случае, когда вместо декартовых координат употребляются какие-либо другие координаты. Так как классическая гамильтонова функция имеет тогда общий вид квадратичной формы от р, с произвольным образом зависящими от коэффициентами, то здесь появляется, вообще говоря, двузначность относительно последовательности множителей f q) и рн. Эта последовательность может быть установлена только посредством пересчёта в декартовы координаты ). [c.67]

Из общих теорем предыдущего параграфа вытекает, что стационарные состояния составной системы должны распадаться на различные системы — серии термов, которые соответствуют различным неприводимым представлениям группы перестановок. Кроме того, матричные элементы симметричных величин отличны от нуля только, если начальное и конечное состояние принадлежит одной и той же серии термов. Если представление имеет степень 1, то термы не вырождены (случайное вырождение или такое вырождение, которое связано с инвариантностью гамильтоновой функции относительно другой группы, отличной от группы перестановок, мы пока не рассматриваем) собственные функции при каждой перестановке умножаются на численный множитель. В более общем случае, когда представление имеет степень Н, соответствующие уровни энергии /г-кратно вырождены. В соответствующем Л-мерном линейном векторном пространстве собственных функций можно найти базис из ортогональных друг другу и нормированных собственных функций [c.188]

Ограничение, наложенное здесь Биркгофом. — отсутствие кратных множителей, выраженное словами вообще говоря ( in general ), — является лишним. Очень простое доказательство теоремы о группировке гамильтоновых множителей в пары вида (Л, —Л), свободное от этого ограничения, дано, например, в известном мемуаре А. М. Ляпунова Общая задача об устойчивости движения (1-е русск. изд., Харьков, 1892 франц. перевод, Annales de Toulouse , ser. 2, t. 9, 1907 2-e русск. изд., Ленинград, 1935). [c.361]

Мы будем теперь разыскивать множитель дифференциа. гьного уравнения несвободной системы для гамильтоновой формы дифференциальных уравнений. Пусть Т будет половина живой силы, п — число материальных точек, т— число условных уравнений так как теперь значок к будет употребляться, подобно г, как указатель, по которому располагается ряд, то число Зп — т будем обозначать не через 1с, а через х. Е восьмой лекции (стр. 54) мы предполагали Зм координат выраженными как функции от Зи — т новых переменных q ,. .. Язп-т условные уравнения после [c.124]

Учёт уравнения (26) с неопределённым множителем в подынтегральном выражении вариации инварианта позволит рассматривать вариации 5д1,51,5р1 как независимые. Дальнейшие выкладки по составлению условий гамильтоновости формы уравнений (6), имеющих интегральный инвариант (8), могут быть проведены по той же схеме, что и для уравнения (9). [c.231]

В рамках этого круга идей в работах Ковалевской, Клебша, Чаплыгина, Стеклова и других авторов был решен ряд новых задач механики, некоторые из которых весьма нетривиальны. Стоит отметить, что в этих классических работах не использовалась гамильтонова структура уравнений движения. Условия интегрируемости и само интегрирование уравнений динамики основаны на методе интегрирующего множителя Эйлера — Якоби. Напомним, что для этого автономная система п дифференциальных уравнений должна иметь интегральный инвариант и обладать п —2 независимыми интегралами. Из-за этого обстоятельства не была замечена интегрируемость ряда задач динамики. Самый яркий пример—задача [c.11]

Действительно, матрица (4.3) кососимметрична и функция Га-лильтона коммутирует со всеми интегралами, поэтому ранг мат-,жцы (4.3) не превосходит 2п-4 = 2(п —2) = 2к. Интегрируемость л квадратурах гамильтоновой системы с п степенями свободы, допускающей 2п — 2 независимых интеграла, установлена Якоби с (юмощью метода интегрирующего множителя Эйлера [174]. Теорема Якоби уже использовалась нами в п. 7 2. [c.89]

Рассмотрим две гамильтоновы системы, у которых векторы из их спектров отличаются положительным множителем к. Нетрудно проверить, что подстановка х — кх, t kt переводит уравнения движения (4.2) одной системы в уравнения движения другой. С помощью следствия 2 из теоремы 1 и предложения 2 легко показать, что схема Дынкина однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет спектр интегрируемой неприводимой гамильтоновой системы. [c.390]

Заметим, что в общем случае эти множители должны быть различными, так как они различны для гамильтоновых уравнений, являющихся частным случаем пфаффовых. [c.100]

Предварительная нормализация пфаффовых уравнений. Чрезвычайно легко убедиться в том, что примененная в предыдущем параграфе нормализация приводит члены первой степени в Хх,...,Х2т по существу к гамильтоновой форме. Действительно, если мы обозначим 2та зависимых переменных через р1,. .., Рт (/1, Ъп таким образом. чтобы р, , q , соответствовали множителям А, и —А, соответственно, и если буквы Р- ,. .., будут изображать коэффициенты при р ,. .. соответственно под знаками интеграла в формуле (12), то полученные в предыдущем параграфе соотношения между частными производными в начале координат принимают вид [c.102]

Замечание 2. Для интегрируемости системы (1.1) по теории последнего множителя (теория Эйлера-Якоби см. 7 гл. 1) также не хватает еще одного дополнительного первого интеграла. Действительно, исследуемая система (1.1) обладает тремя первыми интегралами и стандартной инвариантной мерой р = onst. Заметим, однако, что естественные обобщения уравнений (1.1) (см. 4 гл. 3) уже не могут быть проинтегрированы этим методом. Для таких систем интегрируемость устанавливают с помощью гамильтонового формализма и теоремы Лиувилля ( 7 гл. 1). [c.91]

Рассмотрим случай, когда потенциал V(а, /3, 7) квадратично зависит от направляющих косинусов. Эта задача изучалась Ф. Бруном еще в прошлом столетии [198], но наиболее полные результаты были получены не так давно [18, 19, 20, 21, 146]. Брун нашел два независимых интеграла движения, но не смог установить интегрируемость. Для этого необходимо воспользоваться гамильтоновой структурой уравнений движения и теоремой Лиувилля (вместо теории последнего множителя, которую обычно использовали для интегрирования в динамике твердого тела в 19 веке) и инволю-тивностью двух недостающих первых интегралов. Хотя интегрируемость волчка в п-мерном случае в квадратичном потенциале была формально изучена в [146] (А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский), наиболее законченные результаты имеются в работах О. И. Богоявленского [18, 21]. В них также содержатся различные физические интерпретации этой задачи. [c.212]

Именно так формулировал свою теорему Пуанкаре. Эта теорема аналогична теореме Томсона из гидродинамики. Интеграл (6.12) называется универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре. Слово универсальный означает, что интеграл (6.12) является инвариантом для всех гамильтоновых систем, заданных на одном и том же фазовом пространстве. Согласно теореме Ли Хуа-Чжуна [69], любой универсальный инвариант первого порядка отличается от инварианта Пуанкаре лишь постоянным множителем. Более того, как установлено в работе [38], конкретные гамильтоновы системы со сложным поведением фазовых траекторий вообще не допускают других интегральных инвариантов. Примером могут служить уравнения задачи трех тел. [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...