Деформации Гипотеза Кирхгофа

Рассмотрим деформацию срединной плоской поверхности диска в результате изгиба (рис. 2.2) Ua — радиальное смещение в срединной плоскости. Считаем, что нормаль к плоскости остается прямолинейной после деформации (гипотеза Кирхгофа). Угол поворота этой нормали в результате деформации обозначим О. [c.31]

Теория изгиба пластин и оболочек, основана на некоторых упрощающих предположениях. Первым из них является предположение о неизменности нормали или так называемая гипотеза Кирхгофа. Принимается, что точки, расположенные на некоторой прямой, нормальной к срединной поверхности до деформации, после деформации снова образуют прямую, нормальную к деформированной поверхности. Такое предположение, как и гипотеза плоских сечений бруса, выражает тот факт, что угловыми деформациями оболочек можно пренебречь по сравнению с угловыми перемещениями. Это приемлемо в той мере, в какой толщина пластины мала по сравнению с другими ее размерами. [c.302]

Подобно тому, как для тонких пластин принятие гипотез Кирхгофа — Лява позволяло судить о напряженном и деформированном состоянии пластин на основе знаний о деформациях, кривизнах и кручении срединной плоскости, так и для тонких оболочек, имея представление о величинах деформаций, изменении кривизны и кручении срединной поверхности, можно определить деформации и напряжения в любых точках сечения упругой оболочки. [c.231]

Установим соотношения упругости при изгибе многослойных композитов [6]. Будем считать, что слои материала идеально связаны между собой (отсутствует проскальзывание слоев). Классическая теория пластин, основанная на гипотезах Кирхгофа—Лява, дает следующие выражения для деформаций (см. 4.2) [c.28]

Для деформирования тонких оболочек предполагается справедливой кинематическая гипотеза Кирхгофа—Лява, согласно которой [8, 17, 34, 55] — прямолинейные элементы оболочки, нормальные до деформации к срединной поверхности, остаются прямолинейными, нормальными к деформированной срединной поверхности и сохраняют свою длину. С использованием выражений (4.45) эту гипотезу можно записать [c.133]

Перемещения и деформации в тонких оболочках. Оболочкой называют тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с основными размерами тела. В классической теории оболочек справедливы гипотезы Кирхгофа — Лява, состоящие в следующем нормальный элемент к недеформирован-ной срединной поверхности оболочки остается прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности и не изменяет своей длины нормальные напряжения dgg пренебрежимо малы. Энергетическая погрешность гипотез Кирхгофа — Лява в случае оболочек равна rf = max hjR], где R — минимальный радиус кривизны оболочки. [c.160]

Теория расчета тонких пластин основана на использовании гипотез Кирхгофа. При расчете пластин средней толщины часто возникает необходимость в учете деформаций поперечного или межслойного сдвига. Толстые пластины (плиты) рассчитывают по уравнениям трехмерной теории упругости. [c.120]

Ниже рассмотрены уравнения гибких пластин большого прогиба (уравнения Кармана), из которых, в частности, получены соотношения для других видов пластин. При выводе уравнений принято, что справедливы гипотезы Кирхгофа, а составляющие тензора деформаций учитывают величины, пропорциональные квадратам производных от нормальных перемещений. В уравнениях равновесия, составленных для деформированного состояния, учтены наиболее существенные члены, содержащие силы в срединной плоскости на вторые производные от перемещений по нормали. [c.120]

Гипотезы Кирхгофа — Лява позволяют приближенно выразить перемещения о, и деформации е / (/, / = 1, 2, 3) в оболочке как трехмерном теле через перемещения и деформации базисной поверхности S. Гипотеза о прямолинейном нормальном элементе (гипотеза прямых нормалей) сводится к равенствам [c.100]

Рассмотрим малые деформации тонкой линейно-упругой пологой оболочки, деформирование которой описывается моделью, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява в рамках теории среднего изгиба [25]. [c.70]

До сих пор рассматривалась теория тонких пластин, основанная на гипотезе Кирхгофа. В этом параграфе мы рассмотрим теорию малых перемещений тонких пластин с учетом деформаций поперечного сдвига. При этом мы будем вынуждены отказаться от гипотезы Кирхгофа, а использовать другую разумную гипотезу. [c.238]

Анализ деформаций, основанный на гипотезе Кирхгофа—Лява [c.267]

В предыдущем параграфе анализировались деформации с учетом влияния поперечного сдвига. Теперь перейдем к анализу деформаций с применением гипотезы Кирхгофа—Лява, состоящей в том, что прямые волокна оболочки, перпендикулярные срединной поверхности, остаются прямыми и перпендикулярными деформированной срединной поверхности и не подвергаются растяжению ). Эта гипотеза является обобщением гипотезы Кирхгофа для тонких пластин на тонкие оболочки. Заметим, что теория оболочек, основанная на этой гипотезе, является частным случаем теории, основанной на уравнениях (9.25) и (9.28). [c.267]

В связи с этим выведем нелинейные соотношения деформации— перемещения, основанные на гипотезе Кирхгофа—Лява плюс упрощающее предположение. Точные соотношения можно получить использованием выражения (9.45) для перемещений и вычислением тензоров деформаций аналогично тому, как это делалось [c.274]

Наиболее популярны здесь две группы условий первая группа - условия на поведение деформаций поперечного сдвига вдоль некоторых линий (обычно края) 66,67,164,2413 вторая группа - условия отсутствия деформаций поперечного сдвига в некоторых точках (дискретное наложение гипотез Кирхгофа-Ля- [c.189]

Согласно гипотезе Кирхгофа и с той же степенью аппроксимации, что и полученная в выражениях (4.2), деформация в радиальном направлении Ег будет, очевидно, такой же, как и деформация е из выражений (4.2), если заменить х на г. Произвольная точка Р (рис. 4.26, а) первоначально имеет координату г, после перемещения — координату г+ и — idw/dr)z. Следовательно, относительная окружная деформация равна [c.280]

Деформации в направлении, нормальном к этой плоскости, согласно гипотезе Кирхгофа — Лява, равны нулю либо.очень малы (в соответствии с введенным определением деформации). Хотя в действительности они не равны нулю или не так уж малы, тем не менее там, где справедлива эта гипо еза, их влиянием в практических задачах можно пренебречь. [c.399]

Как и в случае плоских пластин, остаются неизвестными значения деформаций поперечного сдвига е г и е г, которыми до сих пор пренебрегали в соответствии с гипотезой Кирхгофа — Лява. [c.432]

Однако любые члены, содержащие поперечные сдвиги, очевидно, являются несущественными для того случая, когда применима гипотеза Кирхгофа — Лява, за исключением, возможно, задач о потере устойчивости, где эти деформации умножаются на конечные значения сил, вызывающих потерю устойчивости. [c.433]

Если представленные в таблице 6.6 силы F и моменты М выразить с помощью соотношений (6.18) и (6.23) через и, v и W, то получим шесть дифференциальных уравнений относительно пяти неизвестных функций и, V, ие-, Faz и F z. Теоретически эти пять неизвестных функций можно определить из первых пяти уравнений равновесия. Полученное таким путем решение задачи для тонкой оболочки удовлетворяет не только условиям равновесий сил в. направлении осей Р и z и моментов относительно осей а и нр, если, выразить Fa., F , Faf, М , Ма и Ма через непрерывные функции перемещений м, v я w, также и не менее важному условию непрерывности деформаций в направлении осей аир (которое настолько, насколько это возможно, удовлетворяется с помощью гипотезы Кирхгофа — Лява). [c.439]

Видим, что гипотезы Кирхгофа — Лява предписывают такую деформацию оболочки,-при которой отсутствуют поперечные сдвиги, а также отсутствует удлинение волокон, перпендикулярных срединной поверхности (Z = z). [c.87]

Важно отметить, что кинематические гипотезы Кирхгофа — Лява не следует рассматривать как категорическое требование отсутствия поперечной нормальной деформации в оболочке (то есть отсутствия удлинений материальных волокон, перпендикулярных к срединной поверхности), хотя это и следует из соотношений (3.4), (3.10). Вместо этого следует привлекать так называемую статическую гипотезу Кирхгофа [36, 46], состоящую в пренебрежении поперечным нормальным напряжением tNN= [c.89]

Тонкая пластина представляет собой частный случай трехмерного тела, и для нее были введены гипотезы Кирхгофа, согласно которым члены Озбез, Tijfisig, 1. 36623 в фигурных скобках подынтегрального выражения для приращения энергии деформации bU (см. 8.2) могут быть опущены в силу их малости с погрешностью h IU . Поэтому [c.385]

В теории жёстких П, используется, как правило, гипотеза прямых нормалей (гипотеза Кирхгофа — Лява), по к-рон любая прямая, нормальная к срединной плоскости до деформации, остаётся и после деформации прямой, нормальной к срединной поверхности. При этом длина волокна вдоль толщины остаётся неизменной. Однако в ряде случаев гипотеза недеформируемых прямых нормалей является неприемлемой. Это относится, напр., к трёхслойным и многослойным П., а также к П., изготовленным из композиц. материалов, когда нек-рые слои получают значит, деформации поперечного сдвига. Одну из моделей деформации П. с учётом поперечного сдвига называют, в отличие от модели Кирхгофа — Лява, моделью Тимошенко, [c.626]

Для получения результатов достаточной степени точности при решении задач теории оболочек ограничиваются, как правило, удержанием небольшого числа первых членов разложения. Приведем несколько примеров. При удержании только первых членов разложения (5.1), т. е. в предположении, что касательные и нормальные перемещения постоянны по толщине, получим уравнения безмомент-ной теории оболочек. Если удержать в (5.1) для касательных перемещений Vt, два члена разложения, а для нормального перемещения Уз ограничиться первым членом, то получим уравнения теории оболочек, соответствующие гипотезам С. П. Тимошенко. При дополнительном условии об отсутствии деформаций поперечного сдвига получим классические гипотезы Кирхгофа—Лява и соответствующие им уравнения. В приведенных примерах эффекты, связанные с деформациями поперечного сжатия, оказались вне рассмотрения, поскольку для нормальных перемещений удерживался только первый член разложения. При построении моделей более высокого порядка эти эффекты можно легко учесть. [c.192]

Классическая теория. В основе теории лежит совокупность допущений, называемая гипотезами Кирхгофа — Лява прямолинейный элемент, нормальный к срединной поверхности до деформации, остается прямым и нормальным к срединной поверхности, не меняя своей длины. Деформации предполагаются малыми. В пластине реализуется обобщенное плоское напряженное состояние, в силу предположения о том, что сгзз пренебрежимо малы. Существенные компоненты тензоров деформаций и напряжений и (а, Р = 1,2) линейно изменяются по толщине. Деформацию срединной поверхности при изгибе пластин не учитывают. [c.157]

Полученная двумерная вариационная задача отличаетси от трехмерной тем, что минимум функционала отыскивается не по всем трехмерным полям перемещений и деформаций, а только по тем, которые совместимы с гипотезами Кирхгофа Лява. [c.103]

Ребро, подкрепляющее пластину, представляет замкнутую плоскую раму, размеры поперечного сечения которой малы по сравнению с другими размерами рамы. Считаем, что перемещения и деформации ребра малы, справемив закон Гука и гипотезы Кирхгофа-Клебша. [c.64]

В основу решения задачи положены гипотезы Кирхгоф фа-Лява о нормальном элементе и гипотезы термоупругости Дюгамеля-Неймана для температурных деформаций и напряжений, общепринятые для изотропных оболочек. Кроме того, предполагается, что обо- [c.183]

Теории тонких пластин, рассмотренные в этой главе, основаны на предположении, что в отношениях напряжения—деформации можно пренебречь поперечным нормальным напряжением. Строго говоря, поперечное напряжение возникает в пластине. Однако в приложении J будет показано, что если поверхностные силы не очень сконцентрированы, то величина мала по сравнению с и Оу. Следовательно, в соотношениях напряжения—деформации членами, содержащими можно пренебречь. С другой стороны, из соотношений (8.15) и гипотезы Кирхгофа следует, что 8 = 0. Трехмерные соотношения напряжения—деформации (уравнения (1.10)) показывают, что теория, в которой Tj. = О и 8 = О, не может приводить к правильным результатам. Такого же рода противоречия возникали и в 8.5 и 8.8. Мы попытались обойти эту трудность, полагая = О в трехмерных соотношениях напряжения— деформации и затем исключая 8j. Чтобы цолностью устранить противоречие, необходимо вместо последнего равенства в (8.14) или (8.99) использовать следующее [c.247]

Настоящая монография посвящена изложению особенностей применения МКЭ к расчету тонких оболочек. Описываются все известные в настоящее время подходы к построению конечных элементов тонких пологих и непологих оболочек на основе различных вариа -ционных формулировок (функционалы Лагранжа, Кастильяно, Рейссне-ра, Ху-Ваиицу, смешанные и гибридные постановки) и разрешающих уравнений либо теории оболочек (с учетом гипотез Кирхгофа-Лява или с учетом деформаций поперечных сдвигов), либо теории упру -гости. Основное внимание уделяется проблеме удовлетворения требований, гарантирующих быструю сходимость. Приводятся различные способы улучшения свойств элементов с анализом возможности распространения этих приемов с одних типов элементов на другие. Имеется обширная библиография. [c.2]

Оказывеется, этим требованиям можно удовлетворить точно лишь нарушив совместность и, наоборот, построив совместный элемент, в общем случае, нельзя точно представить в нем ни жестких смещений, ни постоянных деформаций. Поясним это утверждение на примере КЭ оболочки, построенного на основе гипотез Кирхгофе-Лява. [c.9]

Теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява, в соотноиениях для деформаций содержит вторые проивводныа от прогиба и линь первые - от тангенциальных перемещений. Поэтому требование межвлементной непрерывности для прогиба более высокое, чел для касательных составляющих и, исходя из условий гладкости, для перемещений U . возможно использовать полином более низкой степени. [c.94]

Точная формулировка соотношений, связывающих деремещс-ния и деформации. Приведенный выше вывод ясно демонстрирует, какие из входящих в выражения для деформаций члены являются наиболее важными, но они содержат дополнительно ряд аппроксимаций, основанных на гипотезе Кирхгофа, включая допущение того, чт( различные компоненты деформаций не зависят друг от друга. Предлагаемый точный (но в рамках гипотезы Кирхгофа) анализ деформаций приводит к очень сложным выражениям, которые включают в себя много различных членов, не существенных для большинства практических задач, но более аккуратно их значение изучить мы не в соствянии. [c.214]

При обычном применении классических теорий изгиба упругих балок и пластин делаются два важных типа пренебрежений -а) пренебрегается нелинейными эффектами конечных деформаций, т. е. эффектами изменения геометрии исследуемого объекта при развитии деформации б) вводится гипотеза Кирхгофа (т е. пренебрегается поперечными напряжениями и деформациями с соответствующим упрощением граничных условий) и игнорируются условия локального на 1ряженного состояния в окрестности сосредоточенных нагрузок и т. д. [c.288]

Как уже говорилось ранее, упрощение, которое можно получить в таких случаях благодаря использованию гипотезы Кирхгофа — Лява, является очень дначительнщ , так как позволяет перемещение в каждор точке оболочки, а отсюда и деформации, а также напряжения определять -через перемещение одной поверхности, например срединной поверхности оболочки. Результатом является сведение трехмерной задачи к двумерной. [c.387]

Выражения для деформаций-. Таким образом, получены точные в рамках ограничений, налагаемых гипотезой Кирхгофа — Лява, выражения для координат в произвольного вида фиксированной системе прямоугольных координат трех произвольных точек, расположенных на одинаковом расстоянии от верхней и нижней поверхностей оболочки и отличающихся только малыми изменениями координат аир. Координаты начальных положений этих точек можно найти из выражений, J[oлyчeнныx для координат при смещенном положении, если положить ц = у = ш = 0. Из этих значений легко вычисляются лагранжевы деформации (т. . деформации в точке и в направлении, связанных с оболочкой) для произвольной точки О, лежащей в цлоскости, определяемой тремя точк 1ми. [c.399]

Общие соображения. Выражения (6.8) совместно с выражениями (6.2), (6.4), (6.5) и (6.6) определяют связь между деформациями во всех точках оболочки и перемещениями срединной поверхности. Поскольку излагаемая теория ограничена случаями, для которых гипотеза Кирхгофа — Лява представляет хорошее приближение, можно попытаться воспользоваться некоторым упрощением, которое из этого следует" Предположение о малости деформаций поперечного сдвига приводит к неравенствам вида (d wlda )zlA1м упрощениям. [c.406]

Использование гипотезы Кирхгофа — Ляра также обьгчно ограничивает применение излагаемой теории областью тонких оболочек, для которых az/A < 1 и bz/B < 1, откуда появляется возможность упростить выражения (6.8) для деформаций. Стоящие в числителе выражений для о и ер члены вида az/A и bz/B являются существенными при малых перемещениях, и если их опустить, то не получим равными нулю деформации для основного случая, когда u = v=w = 0. Однако если пренебречь слагаемыми az/B и bz/B в знаменателе выражений для деформаций, полагая тем самым знаменатель равным нулю, то ошибки порядка отношения толщины к радиусу будут сделаны только в значениях деформаций в специфических точках. При определении прогибов и критических нагрузок, которые зависят от осредненных условий, эти ошибки будут практически бесконечно малыми-в области, занимаемой стенкой оболочки. Ошибка при определении энергии деформации примерно равна квадрату отношения толщины к радиусу, т. е. ошибка составляет одну десятую процента, когда толщина равна одной тридцатой радиуса. Отсюда видно,-что для тонких оболочек, а в случае нахождения прогибов, критических нагрузок и т. п. это справедливо и для относительно тонких оболочек, не делая серьезной погрешности, знаменатель в выражениях (6.8) мояшо положить равным единице. Однако, хотя в дальнейшем будет показана справедливость сказанного, это требует своего обоснования, так -как кажущиеся нёзначительнйми члены могут оказаться существенными на последующих стадиях исследований все это подробно обсуждается при выводе уравнения (6.36), [c.406]

Деформации неизбежно малы по сравнению с единицей при упругом деформировании таких материалов, как металлы, бетон и жесткие пластмассы. Но в тонких оболочках деформации также обязательно малы ] аже при возникновении в них пластического течения или когда они изготавливаются из таких материалов, как резина или подобных ей. Это объясняется тем, что для тех случаев, когда применима гипотеза Кирхгофа — Лява, изгибные де-формаИЯ и малы Даже при перемещениях порядка толщины, а мембранные деформации при сжатии в произвольном направлении ограничены из-за возможности потери устойчивости. Большие деформациг возможны только в таких довольно мало распространенных случаях, как раздувание резиновых баллонов, где мембранные напряжения являются полностью или почти полностью растягивающими, они возможны также и в тонких оболочках из иных материалов. . [c.407]

Не здесь встает вопрос, до некоторой степени ставящий в тупик,— яйляется ли приемлемым условие плоского напряженного состояния для стенки оболочки, т. е. Ог= О, как это делается в теории пластин и что является общепринятым в теории оболочек Или необходимо использовать соотношения между деформациями и нап яжениями для плоского деформированного состояния, т. е. испеУльзовать условие Ег= О, поскольку при реализации гипотезы Кирхгофа — Лява нормали считаются нерастяжимыми при деформациях и именно это условие действительно выполняется [c.426]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...