Гельмгольца векторное поле

Гельмгольца векторное поле 254 Гельмгольца — Кирхгофа теорема 254 [c.652]

Удобно ввести так называемые разложения Гельмгольца векторных полей и и Р по формулам [c.469]

Хорошо известна теорема, которую, следуя Гельмгольцу [15 19], можно сформулировать следующим образом Диссипация энергии в медленном течении меньше, чем в любом другом непрерывном течении несжимаемой сплошной среды, совместимом с теми же граничными условиями . Другими словами, если рассматривать класс непрерывных векторных полей v, удовлетворяющих заданным граничным условиям на скорость на некоторой [c.111]

Вследствие теоремы Гельмгольца из векторного анализа [58, 116] векторное поле Ь/р допускает разложение [c.19]

Часто бывает удобно на основании известной теоремы векторного анализа теорема Гельмгольца )) представить поле перемещений в виде потенциальной и соленоидальной частей [c.268]

Теперь убедимся в том, что нестационарное поле скорости V, подчиненное уравнениям (11.56) и (11.62), является потенциальным полем, также удовлетворяющим волновому уравнению. С этой целью воспользуемся теоремой Гельмгольца, согласно которой векторное поле, в частности поле скорости, может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального полей. Поэтому доложим [c.506]

Теперь покажем, что уравнение движения (13.49) (или (13.50)) может быть сведено к системе двух уравнений, из которых одно описывает распространение продольной упругой волны со скоростью Сь а другое — распространение поперечной упругой волны со скоростью С2. Согласно теореме Гельмгольца о представлении векторного поля в виде суммы потенциального и соленоидального лолей (см. (11.65) —(11.67)), положим [c.562]

Теорема Гельмгольца о разложении векторного поля 506 [c.572]

Функция у(г, г ), называемая векторным полем Гельмгольца, определяется выражением [c.254]

Рассмотрим векторное поле Гельмгольца У(г ) и расположим начало координат в точке наблюдения Р, Нетрудно доказать, что [33] [c.315]

Система уравнений движения динамической теории упругости (Д.4) или эквивалентные ей системы (Д.7), (Д.8) очень сложны для интегрирования из-за сложной структуры дифференциальных операторов. Однако процесс интегрирования можно упростить, используя теорему Гельмгольца, которая позволяет любое гладкое векторное поле представить в виде. [c.198]

Ясно, что дифференциал отображения тг переводит поле v в поле V. Это — следствие теоремы Гельмгольца—Томсона. Образ произвольного векторного поля на М при отображении dw вообще не определен он зависит от выбора точки на вихревом многообразии. Ясно также. [c.128]

Мы уже пользовались тем, что для любого кусочно-дифференцируемого векторного поля и по теореме Гельмгольца справедливо представление в виде суммы потенциального и i и соленоидального (вихревого) Uf полей [c.194]

Определение скорости жидкости по заданной завихренности. Введение в рассмотрение поля завихренности жидкости w (ж, /) по заданному полю скоростей и (х, t) ставит обратную задачу по заданному распределению завихренности определить поле скоростей несжимаемой жидкости, занимающей безграничную или ограниченную область в пространстве. Такая задача поставлена и решена Г. Гельмгольцем [135], а более общая формулировка — определение произвольного векторного поля по заданным распределениям его дивергенции и ротора — дана Д.Стоксом [229]. Рекомендуя читателям обратиться к подробному описанию решения этой задачи в прямоугольных декартовых координатах, содержащемуся в статье [135] и лекциях Г.Кирхгофа [35], а также в учебниках по гидродинамике [8,46,64], приведем в кратком векторном виде основные результаты. [c.27]

Отмеченные выше возможности конструирования общего волнового движения как в скалярном, так и векторном случае в виде суперпозиции плоских волн, естественно, сохраняются и в случае гармонических волн. Однако при рассмотрении конкретных задач эта возможность непосредственно используется редко. Основным методом построения общих решений волновых уравнений для гармонических волн является прямое исследование уравнений, полученных после отделения временного множителя ехр (—iwt) в общем представлении искомых величин. В этом случае, при отсутствии массовых сил, волновые уравнения (1.16) преобразуются в уравнения Гельмгольца для амплитудных значений соответствующих характеристик поля, а именно [c.27]

Эти соотношения вместе с уравнениями Гельмгольца, которым должны удовлетворять (f-случай) и (Я-случай) составляющие векторов напряженности электромагнитного поля, являются по существу скалярным аналогом векторных дифференциальных уравнений Максвелла для двухмерных (отсутствует зависимость от координаты х) задач электродинамики. [c.17]

Для идеальной несжимаемой жидкости Гельмгольц доказал, что в консервативном силовом поле вихревые линии всегда состоят из одних и тех же частиц, а интенсивность (поток вихря) вихревых трубок постоянна. Доказательства Гельмгольц дал, приведя уравнения движения жидкости к виду эквивалентному векторной записи [c.74]

Все свойства соленоидального поля автоматически переносятся на поле вихря Теорема о постоянстве интенсивности векторных трубок для вихревого поля была получена Гельмгольцем и носит его имя. Векторные трубки поля вихря скорости называют вихревыми трубками. [c.109]

Перед тем как перейти к краткому изложению получения указанных условий динамической возможности движения сжимаемой жидкости, остановимся на вопросе о необходимых и достаточных условиях соблюдения обеих теорем Гельмгольца для векторных трубок поля данного вектора А. [c.14]

Заметим, что в каждом поле векторов можно образовать векторные линии и векторные трубки. Условие, необходимое и достаточное для того,чтобы к вектору А можно было применить обе теоремы Гельмгольца, выражается равенством [c.187]

В данном разделе мы начинаем с уравнений Максвелла в свободном пространстве и получаем волновые уравнения для векторного А и скалярного Ф потенциалов. Кратко обсуждается калибровочная инвариантность электродинамики. Этот вопрос особенно важен для раздела 14.2.1, в котором рассматривается, каким образом надо описывать взаимодействие между веществом и светом. Так как речь идёт о квантовании свободного поля излучения, то есть в отсутствие зарядов и токов, мы используем кулоновскую калибровку, что позволяет работать с одним только векторным потенциалом. Мы проводим разделение переменных и получаем уравнение Гельмгольца для пространственной части и(г) векторного потенциала A(r,t). Поведение электрического и магнитного полей на стенках резонатора определяет граничные условия для и(г). [c.291]

Векторные потенциалы электромагнитного поля удовлетворяют не-однородным уравнениям Гельмгольца [c.149]

Доказанные свойства сохраняемости векторных поверхностей и линий, а также напряженностей векторных трубок для поля вектора вихря скорости баротропных движений идеальной жидкости или газа называются динамическими теоремами Гельмгольца, которые формулируются следующим образом. [c.332]

Математически задача о нахождении поля электромагнитной волны при гармонической зависимости от времени в этих случаях сводится к нахождению решения векторного уравнения Гельмгольца [c.303]

Что касается формул (1.182), (1.183), то в их правую часть входит выражение, которое имеет название гельмгольциана векторного поля [c.209]

Используя теорему Стокса — Гельмгольца [1], которая утверждает, что достаточно гладкое векторное поле может быть разложено на безвихревую и соленоид ал ьную части, О можно представить в виде [c.288]

Q = rot в каждый момент времени остается постоянным в пространстве и одинаковым для всех жидких частиц. В рассматриваемой гидродинамической системе имеются три линейно независимых поля скорости, каждое из которых соответствует стационарному однородному эллиптическому вращению жидкости вокруг какой-либо из трех главных осей эллипсоида. Эти стандартные бездивергент-ные векторные поля скорости, которые, очевидно, зависят от координат, касаются границы области, т. е. удовлетворяют граничному условию (2), и являются точными решениями уравнения Гельмгольца (1). С помощью таких опорных полей можно описать более сложное течение жидкости в эллипсоидальной полости, в котором скорости жидких частиц зависят от времени, но по-прежнему являются линейными функциями их координат. [c.28]

Легко проверить, что каждое из векторных полей (о,гУ (О,-= onst, =1,2,3) является стационарным решением рассматриваемой задачи. Отсюда следует, что идеальная однородная несжимаемая жидкость, заключенная в эллипсоидальную полость, может совершать свободное стационарное вращение вокруг любой из главных осей эллипсоида, т. е. такое движение, в котором ротор скорости не зависит от времени, остается постоянным в пространстве и направлен вдоль какой-либо из главных осей эллипсоида. В общем случае поле скорости v (х, t), задаваемое равенством (4), является нестационарным. Делая подстановку (4) и (5) в уравнение Гельмгольца (1), в котором член ( V) й обращается в нуль для рассматриваемых полей, получим следующую динамическую систему относительно параметров Пуанкаре [c.29]

Представление Стокса— Гельмгольца. Фундаментальный свойством произвольного кусочно-дифференцируемого векторного поля е в конечном объеме V является установленная Дж.Стоксои [229] и Г.Гельмгольцем [ 135] возможность представления [c.14]

Используем общие определения параграфа 2 применительно к векторному соленоидальному полю завихренности и. Тогда из общих свойств векторных полей на основании теоремы Стокса (1.8) следует, что циркуляция Г по любому замкнутому стягиваемому контуру равна алгебраической сумме интенсивностей к всех вихревых трубок, пересекающих поверхность, ограниченную этим контуром. Это справедливо и в частном случае вихревых трубок бесконечно малого поперечного сечения — вихревых нитей. Обратим внимание на то, что понятие вихревая нить и вихревая линия отличны. Вихревая нить — это особая линия в распределении поля завихренности, полностью определяемая значением интенсивности к. В свою очередь — вихревая линия — это линия, касательная к которой в каждый момент времени совпадает с направлением мгновенной оси вращения жидких элементов. Применительно к описанию вихревого движения термины вихревые линии и нити ввел Г. Гельмгольц в (135). Он сформулировал основные свойства интегралов гидродинамических уравнений второго класса (так были названы течения, содержащие отличную от нуля завихренность в отличие от полностью потенциальных течений, весьма детально к тому времени изученных). Сформулированные в виде трех положений, эти свойства в дальнейшем названы законами или теоремами Гельмгольца для в 1хревого движения. Более столетия они встречаются в различных интерпретациях практически во всех учебниках по механике жидкости. Приведем эти законы в формулировках Г. Гельмгольца [c.34]

Общее решение уравнения (2.12.1) можно найти при помощи понятия потенциала. Согласно знаменитой теореме Гельмгольца из векторного анализа, всякое векторное поле и, достаточно быстро затухающее в бесконечности, можно представить в виде суммы невращательного (или безвихревого) и соленоидального (бездивергентного) полей [c.139]

Согласно теореме Гельмгольца (см. [13], стр. 187), любое кусочно дифференцируемое векторное поле может быть представлено как сумма двух векторных полей, одно из которых солеиои-дально, а второе является безвихревым. Поэтому можно записать [c.101]

Первая теорема Гельмгольца, как известно, состоит в том, что жидкие частицы, расположенные в некоторый момент времени на вихревой трубке, остаются расположенными на вихревой трубке и во все последующие моменты. Вторая теорема Гельмгольца утверждает, что напряжение вихревой трубки не меняется с течением времени. Необходимые и достаточные условия применимости обеих теорем Гельмгольца к векторным трубкам поля вектора 4 были установлены впервые 3opoB KHM(Z о г а W S к i) они заключаются в выполнении равенства [c.14]

Теорены Гельмгольца. Прежде чем дать краткое представление о выводе названных уравнений условий динамической возможности движения, рассмотрим необходимые и достаточные условия существования обеих известных теорем Гельмгольца о векторных трубках в поле вектора Л [c.20]

Первая теорема Гельмгольца, как известно, состоит в том, что частицы жидкости, находящиеся в какой-то момент времени на вихревой линии, остаются на ней и во все последующее время. Вторая теорема утверждает, что интенсивность вихревой трубки со временем не изменяется. Необходимые и достаточные условия того, чтобы обе теоремы Гельмгольца имели силу для векторных трубок или векторных линий в поле вектора А при скорости В, впервые установлены Зоравским (Zorawski) и Бьеркнесом (Bjerknes) . Эти условия вытекают из уравнения [c.20]

В гл. 10 на примере резонатора, имеюш,его форму яш,ика, кратко изложено, как квантовая теория излучения подходит к описанию некоторого оптического устройства. Мы начинаем с уравнений Максвелла, описываем электромагнитное поле в кулоновской калибровке с помо-ш,ью векторного потенциала, выделяя в нём фактор, который зависит от времени и определяется уравнением для осциллятора, и пространственную часть, которая подчиняется уравнению Гельмгольца. Граничные условия, накладываемые резонатором, вместе с уравнением Гельмгольца задают пространственную структуру электромагнитного поля. Они определяют его моды. Квантование связано с той частью, которая зависит от времени, и проявляется как осцилляторные возбуждения этих мод. [c.394]

Векторы 4""", 4"" удовлетворяют соответственно неоднородному и однородному векторным уравнениям Гельмгольца. Граничные условия (2.6) и (2.7) для А и (2.8) для являются неоднородными, так как в них входит заданная функция А[ . В математической записи неоднородности в граничных условиях можно считать источником вторичных полей и, значит, функций А , А , удовлетворяющих однородным уравнениям Г ельмгольца. [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...