Следствие II теоремы Гельмгольца

Ясно, что дифференциал отображения тг переводит поле v в поле V. Это — следствие теоремы Гельмгольца—Томсона. Образ произвольного векторного поля на М при отображении dw вообще не определен он зависит от выбора точки на вихревом многообразии. Ясно также. [c.128]

Следствия теоремы Гельмгольца 1) чем меньше площадь сечения вихревой трубки, тем больше интенсивность вихревой трубки. Однако, сечение вихревой трубки нигде не может быть равным нулю, так как в этом случае интенсивность вихревой трубки была бы равна бесконечности, что физически ле выполнимо 2) вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости— они либо замыкаются на себя, <как кольца табачного дыма, либо опираются на свободную поверхность жидкости или твердого тела (водовороты, смерчи), или, наконец, уходят в бесконечность. Тот хорошо известный факт, что водовороты не всегда доходят до дна, а исчезают в толще жидкости, или, вихревые шнуры от крыла самолета сохраняются лишь на конечном расстоянии, а не уходят в бесконечность, объясняется влиянием вязкости, приводящей к диффузии завихренности через поверхность вихревой трубки и затуханию ее в окружающей среде. [c.47]

Второй вывод — так как, согласно теореме Стокса, интенсивность вихревой трубки определяется циркуляцией скорости по контуру, окружающему вихревую трубку, то очевидно, что интенсивность вихревой трубки не изменяется с течением времени. Последнее следствие известно в гидромеханике как третья теорема Гельмгольца. [c.94]

Из теоремы Гельмгольца вытекают важные для практических приложений следствия. [c.32]

Самым существенным следствием является теорема Гельмгольца, справедливая для баротропного течения в консервативных гравитационных полях (т. е. при = —УО). Эта теорема ([7], стр. 54 [ ] )), т. 1, стр. 149) утверждает инвариантность циркуляции Г= и с дс по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, т. е. во всякий момент времени состоящему из одних и тех же частиц жидкости. Следовательно, если в начальный момент жидкость находится в покое (например, вытекает из неподвижного резервуара) и если контур остается все время замкнутым, то циркуляция всегда должна равняться нулю. Это значит, что должен существовать локально однозначный скалярный потенциал скорости С/(х, f), т. е. такая скалярная функция точки, что [c.21]

Важным следствием доказанной теоремы Гельмгольца является невозможность окончания вихревой трубки в жидкости, так как [c.75]

На основании теоремы Фридмана мы можем утверждать, что для сохраняемости вихрей необходимо и достаточно, чтобы правая часть уравнения Гельмгольца обратилась в нуль. Отсюда, как следствие, получается теорема Гельмгольца. [c.623]

Движение жидкости, лишенной трения, с вращением частиц. Вихревые нити. Для изучения движений однородной, лишенной трения жидкости с вращением частиц воспользуемся опять теоремой Томсона о постоянстве циркуляции по замкнутому жидкому контуру. Из этой теоремы и из геометрических свойств ротации скорости (называемой также вихревым вектором) можно вывести известные теоремы Гельмгольца о вихревых движениях. Эти теоремы, касающиеся весьма важных геометрических и механических соотношений, имеющих место при движении жидкости с вращением частиц, были выведены самим Гельмгольцем несколько иным путем, а именно — на основе электродинамических представлений . Однако следствия, вытекающие из этих теорем, получаются простыми только в том случае, когда частицы жидкости, находящиеся во вращении, занимают область в виде нити, и вне этой области движение происходит без вращения частиц. В таком случае говорят о вихревых нитях. Важнейшие теоремы о вихревых нитях можно вывести из свойств окружающего их потенциального течения, не углубляясь при этом в детали движения жидкости с вращением частиц. Таким образом, мы должны вернуться [c.107]

Следствия из теоремы Гельмгольца [c.31]

Учитывая это замечание, из основной теоремы Гельмгольца можно вывести несколько следствий. [c.31]

Вторая теорема Гельмгольца утверждает, что вихревая линия во все время движения состоит из одних и тех же частиц жидкости (это эквивалентно утверждению, что вихревые трубки перемещаются вместе с жидкостью). Эта теорема уже встречалась нам ранее (п. 17) ее можно вывести также из теоремы Кельвина о циркуляции (см. [8], 146). Третья теорема Гельмгольца — интенсивность вихревой трубки остается постоянной во все время движения жидкости — является очевидным следствием теоремы Кельвина. Заметим в заключение, что эти две теоремы также остаются справедливыми, если предполагать только кусочную непрерывность поля завихренности. [c.72]

Из теоремы Томсона вытекают в качестве следствий свойства вихрей в идеальной жидкости, которые были впервые установлены Гельмгольцем и называются теоремами Гельмгольца о вихрях. [c.305]

Следствие II теоремы Гельмгольца 27 Солитон вихревой 276 [c.502]

Теорема погашения в ее макроскопическом аспекте есть следствие теоремы Кирхгофа — Гельмгольца,. (вер- [c.120]

Следствие из второй теоремы Гельмгольца вихревые трубки не могут начинаться и заканчиваться в жидкости. Они могут (рис. 1.12) замыкаться сами на себя, [c.31]

Данное здесь доказательство принадлежит Кельвину сама теорема была впервые дана Гельмгольцем как следствие соотношения [c.252]

Из этого равенства вытекает теорема Томсона ), нз которой как следствие получается теорема Гельмгольца полная производная от обтечения скорости по зампнутоИ линии равна обтечению полного ускорения по той линии. [c.124]

Еще 0Д1Ю следствие II теоремы Гельмгольца состоит в том, что вихревые трубки не могут заканчиваться в сплошной среде. Действительно, если сечение вихревой трубки становится равным нулю, то в соответствии с условием теоремы угдювая скорость частиц жидкости возросла бь[ до бесконечности. Очевидно, чтобы не противоречить данному следствию, вихревые трубки могут быть либо замкнутыми, либо уходящими на бесконечность, либо заканчивающимися на твердых или свободных поверхностях. [c.27]

В неособом случае вихревые векторы в каждый момент времени образуют гладкое поле направлений на N. Интегральные кривые этого поля называются вихревыми линиями. Оказывается, фазовый поток уравнения (2.5) переводит вихревые линии в вихревые линии. Это утверждение — следствие теоремы Томсона из п. 3. Оно обобщает известный результат Гельмгольца о вмороженнос-ти вихревых линий в динамике идеальной жидкости. [c.69]

Теоремы Гельмгольца. Теоремы Гельмгольца (Helmholtz), касающиеся важных соотношений, которые наблюдаются при движении идеальной жидкости с вращением частиц, выведены им на основе электродинамических представлений. Однако следствия из этих теорем могут быть легко доказаны при рассмотрении вихревого шнура в потенциальном потоке. Потенциальное движение с циркуляцией, как показано выше, является многосвязной областью, где циркуляция одинакова вдоль всех кривых, если их можно перевести друг в друга, не пересекая границ области. Из этого свойства следует, во-первых, что циркуляция вокруг вихревого шнура в одно и то же время во всех точках должна быть одинаковой и, во-вторых, что вихревой шнур должен либо представлять замкнутую кривую, либо достигать своими концами границ жидкости. [c.419]

Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892—-1893 гг. Герц ), разработавший принцип прямейшего пути ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы он не заменил сил, действующих на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы, вводя кроме наблюдаемых еще и скрытые массы и скрытые движения . Исторические корни механики Герца содержатся в работах Гельмгольца о скрытых движениях (введение которых у Герца оказывается логически необходимым следствием его концепции основ механики) и в работе Кирхгофа по выяснению основ механики. В своей формулировке каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей . Герц объединяет, по существу говоря, закон инерции и принцип наименьшего принуждения. Герц отмечает глубокую связь своего принципа с теорией поверхностей и многочисленные аналогии, которые возникают при его рассмотрении. Принцип Герца находится в тесной связи с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами—Липшица, так как между прямейшими путями и нормальными к ним поверхностями в процессе движения имеет место то [c.849]

Этим следствием из теоремы Стокса можно воспользоваться для того, чтобы заново доказать первую теорему Гельмгольца о вихрях (иным способом, не-Фиг. 114 Фиг. 115. Замк- жели это было сделано в предыдущем Замкнутый нутыи контур параграфе). Возьмем на поверхности [c.248]

Если Я = 0 — собственное значение оператора А, а целью является приближенное решение внешней задачи Дирихле, то можно поступить следующим образом. Заменим область на V E , где Яе —шар малого радиуса, лежащий внутри V , и подчиним решение условию ди/дг- - и = 0 на его внешней поверхности Sj с р = onst, ImP<0. Можно проверить, что модифицированная таким образом задача (36.1) — (36.3) с Я = 0 однозначно разрешима и эквивалентна интегральному уравнению Лф = , в котором А уже не имеет собственного значения 0. Ядро оператора А имеет вид G x, у) а у), где G (х, i) — функция Грина для уравнения Гельмгольца в дополнении к E с указанным выше условием на Sg и условием излучения на бесконечности. Функция G(x, y) — G x — y) принадлежит С°° при х, у (см. [3], гл. III), так что А —А—бесконечно сглаживающий оператор. Поэтому для А сохраняются теоремы 1 и 3 и их следствия. Функцию G x, у) можно выписать в явном виде (см. [67]). [c.358]

Некоторые современники Гельмгольца тут же ухватились за сокровища, содержавшиеся в его статье. Уильям Томсон (впоследствии лорд Кельвин), близкий друг Гельмгольца, сформулировал следствие, имеющее фундаментально важное значение его знаменитая теорема является отправной точкой систематического представления в большинстве современных работ. Он также увлекся проблемой конфигураций вихрей, которые могли бы двигаться без изменения формы (см. [18]). С одной стороны, это привело к ранним вкладам, сделанным Тэтом в топологическую теорию узлов, а с другой — к давным-давно опровергнутой теории вихревых атомов . Дж. Дж. Томсон, открывший электрон, в 1883 году напишет эссе (за которое ему присудят Премию Адамса) о вихревых кольцах, содержащее анализ условий устойчивости неподвижных конфигураций а тогда он применил эти результаты к вихревой модели атома Кельвина. Позднее Джеймс Клерк Максвелл рассмотрит динамику молекулярных вихрей в связи со своей плодотворной работой по электромагнетизму и кинетической теории. [c.684]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...