Интегралы релаксации

Уравнения второго типа можно представить себе как частные случаи уравнения (4-3.12) для простой жидкости, когда функционал определяется при помощи одного или нескольких интегралов. Уравнения состояния как дифференциального, так и интегрального тина разрешены относительно тензора напряжений. Этого нельзя сказать об уравнениях состояния релаксационного типа. Действительно, они содержат по меньшей мере одну производную по времени от тензора напряжений. Скорость изменения (или релаксация) напряжений, фигурирующая в уравнениях такого типа, дает название этому типу уравнений. [c.211]

Аналогичные выражения получаются для ава и вязкости удлинения т)е. Очевидно, что интегралы в уравнении (6-3.13) суш,ествуют лишь в том случае, если аргументы экспоненциальных функций отрицательны. Это определяет предел возможных значений величины 7 по отношению к величине наибольшего времени релаксации 1. Например, для течения удлинения, определяемого уравнением (5-3.12), находим [c.219]

Из сравнения выражений (4.15) и (4.17) видно, что они отличаются только множителем перед интегралом. Следовательно, вследствие процессов релаксации расхождение между ходом кривых ar t, 0) и r t, 0) увеличивается асимптотически. В момент соударения материал деформируется упруго и с течением времени вследствие процессов релаксации напряжения Ст пони- [c.160]

Для кристалла с большим количеством дефектов все моды сильно рассеиваются вследствие резистивных процессов тогда для всех мод тм тк и, следовательно, Тс тк. В таком случае Х2 С щ (качественно это можно понять, предположив, что все времена релаксации не зависят от частоты, поэтому при сравнении XI и Х2 интегралы сокращаются и мы имеем х2/х1 = = Тк/тм С 1). Так как Тс Тр, то Х1 как раз определяется выражением (4.96) или (4.11а), как если бы К -процессы отсутствовали. Позднее будет видно, что это сравнительно простое выражение пригодно для анализа экспериментальных данных по теплопроводности не слишком идеальных кристаллов. [c.60]

Для определения линейных и нелинейных ядер релаксации и ползучести используются простейшие эксперименты [33]. Заметим, что иногда использование многократных интегралов при построении модели сплошной среды нецелесообразно, так как ошибки экспериментальных данных сказываются существеннее при выполнении большого числа интегрирований [100]. Поэтому [c.116]

Q ) — эффективные транспортные сечения q( )(T ) — интегралы столкновений А, В. ( . Е, F — величины, выражающиеся через интегралы столкновений N — число Авогадро t — время d — диаметр измерительной нити Т(, — время между двумя последовательными столкновениями молекул g — число столкновений молекул в течение времени X с — время релаксации [c.8]

Задача усложняется, если для измерения вязкости разрушения по раскрытию треш,ины или /-интегралу используют образцы малых размеров. В этом случае разрушению предшествует общая текучесть, и вероятность текучести полного сечения значительно возрастает. Указанные эффекты были изучены в работе [12J проводилось сравнение данных, полученных при испытании цилиндрических образцов с глубокими и мелкими надрезами из легированной стали, отпущенной на Со.г = 950 МН/м В образцах с глубокими надрезами деформация была стеснена, разрушение начиналось по механизму хрупкого межзеренного разрушения, и величина КРТ была низкой. В случае образцов с мелкими надрезами происходила релаксация трехосных напряжений, начальная стадия разрушения протекала по механизму вязкого разрушения и значение КРТ получалось высоким. [c.177]

Интересно отметить, что формулу (4Б.21) можно использовать и для вычисления проводимости чистых металлов при Т То когда релаксация импульса электронов обусловлена почти упругими столкновениями электронов с фононами. Соответствующий интеграл столкновений был выведен в параграфе 4.1 и дается формулой (4.1.94). Если сравнить его с интегралом столкновений (4.2.97), то видно, что эти два выражения отличаются только видом вероятности перехода. Используя формулу (4.1.95) или более простую формулу (4.1.97), находим, что в случае упругого электрон-фононного рассеяния транспортное время релаксации Тр пропорционально Т . Таким образом, из (4Б.21) следует, что при температурах То < Sp для чистых металлов а а удельное сопротивление д = 1/а растет пропорционально температуре. [c.333]

Разобьем интегралы столкновений в уравнениях (10.1) на группы, соответствующие различным характерным временам релаксации. В безразмерных переменных можем записать [c.179]

В теории размешивания Крылова естественным образом возникает понятие времени релаксации как времени, в течение которого начальная область равномерно, с требуемой точностью, расплывается по поверхности однозначных интегралов движения. [c.6]

Собственные значения оператора (6.34) определяют характерные времена релаксации. Поскольку в общем случае знание спектра таких собственных значений не всегда доступно, то для обнаружения качественных зависимостей, а также для построения интерполяционных соотношений иногда используют так называемые модельные интегралы столкновений с простыми спектрами собственных значений. Простейшим модельным интегралом столкновений является [c.44]

Легко видеть, что если температура ионов не превышает чрезмерно температуру электронов, то для интересующего нас процесса релаксации в интеграле столкновений (37.2) можно пренебречь скоростями ионов по Сравнению со скоростями электронов. Тогда [c.138]

Поскольку инкремент нарастания плазменных колебаний 7 определяется распределениями частиц, то уравнение (58.30) и кинетические уравнения с интегралом столкновений (58.31) для всех сортов частиц плазмы составляют замкнутую систему уравнений, описывающую релаксацию плазменных колебаний и релаксацию частиц. Уравнение (58.30) называют кинетическим уравнением для волн. Систему уравнений (58.30) — (58.31) часто называют уравнениями квазилинейного приближения. В работах (16—22] были развиты основы квазилинейного приближения, а также решен ряд конкретных задач. [c.260]

Проводя рассуждения, аналогичные тем, что были выше, по принципу суперпозиции можно представить напряжение как функцию времени интегралом, содержащим указанную историю деформации е (О и функцию релаксации ф (/) Подобно (9.33), напряжение дается выражением [c.287]

Поскольку для описания характерных вязкоупругих свойств данного материала могут быть использованы в равной мере как интеграл ползучести (9.34), так и интеграл релаксации (9.37), должно существовать некоторое соотношение между функцией ползучести гр t) и функцией релаксации ф (/). Такое соотношение в общем случае получить непросто, но, воспользовавшись преобразованием Лапласа, которое по определению дается интегралом [c.288]

Функции ползучести и релаксации. Интегралы наследственности ( 9.5) [c.297]

В гл. 16, посвященной ползучести, сделана попытка связать между собой поведение металлов, нагружаемых в различных видах испытаний при повышенных температурах. При этом рассматривается применение закона степенной функции, логарифмического закона и закона гиперболического синуса для скоростей ползучести, а также соответствующих им законов релаксации, позволяющих учесть деформационное упрочнение, обратную ползучесть и т. п. На основе этих предварительных данных развивается (и иллюстрируется решениями) специальная теория установившейся ползучести для трех- и двумерных напряженных состояний, приводящая к синтезу неупругих последействий, которые выражаются определенными интегралами типов Беккера, Больцмана и Вольтерра. Кроме того, поясняется прямая и обратная задачи последействия. [c.11]

Рассмотренные наследственные эффекты, вызванные заданным изменением переменного одноосного нагружения или деформирования, при которых напряжение а = а(/) или деформация 8 = 8 (/) непрерывно возрастают с течением времени t, можно рассчитывать, таким образом, путем интегрирования соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений. С другой стороны, как отмечалось в 16.2, И, основатели математической теории неупругого последействия (Больцман, Вольтерра и др.) пользовались для описания наследственных эффектов некоторыми определенными интегралами, в подинтегральное выражение которых они интуитивно вводили производные по времени 0 либо от единичной функции обратимой деформации г )(/—0), либо от единичной функции релаксации ф( —0), где 0 — промежуток времени, на котором напряжение а(0) или деформация 8(0) изменяются по соответствующим заданным программам. [c.715]

Выражение (9.30) аналогично интегралу столкновения, полученному на стр. 498 книги [2]. С точностью до членов нулевого и первого порядков в разложении (9.34) уравнение (9.30) строго справедливо для интегралов Ка, соответствующих реакциям. Однако в общем случае оно не достаточно для описания явлений релаксации спина в газе. [c.343]

Если исследуется проводимость в высокочастотном поле с частотой (О > Тф , то верхним пределом интегралов (11.21) и (11.27) является (О, ибо основным механизмом релаксации фазы становится воздействие внешнего поля (соответствующее время поряд- [c.186]

Из вида подынтегрального выражения в (58) следует, что актуальные значения 1ц1, 1 г/1 т " = <С й , а актуальные значения S гораздо больше s Г й . Поэтому замена пределов интегрирования на оо в интеграле по у для рассматриваемого спектра действительно оправдана. Кроме того, отсюда вытекает, что сглаженный спектр (60) обусловлен в основном переходами после окончания фазовой релаксации, но в процессе энергетической релаксации. Поэтому его следует отнести к ГЛ. [c.345]

Растянутая зона медленной релаксации описывается интегралами уравнений одномерного стационарного течения типа [c.379]

Уравнения вида (56.15) легко получаются из (55.1) и (55.2), если подставить возмущенную функцию распределения в приближении времени релаксации (53.13). Если в интегралах (55.1) и [c.221]

V и gradit Е зависят от функции (к) интегралы (13.13) и (13.14) изменят(5Я даже, если оставить постоянным, и, во-вторых, изменится время релаксации. Мы не будем касаться первого. эффекта, так как он одинаков для элек-тро- и теплопроводности и равен нулю в соотношениях (15.2)—(15.4), а остановимся лишь на изменении -с. Если время релаксации определяется вертикальным движением (как в случае теплового сопротивления при низких температурах), то i зависит только от локальных свойств поверхности Ферми и сравнительно нечувствительно к ее форме. Если же время релаксации определяется горизонтальной многоступенчатой диффузией (как в случае электрического сопротивления р, при низких температурах), то оно будет сильно зависеть от формы поверхности Ферми. [c.270]

Ошибочность результатов, полученных в работах [895, 912, 917, 918] при использовании бесконечно высоких потенциальных барьеров, Цини показал следующим образом. Прежде всего он отметил, что в рамках этой модели разные авторы приходят к одинаковому выражению для диэлектрической проницаемости ё (со) частиц, в которое время релаксации вводится обычным приемом, предполагающим конечное время жизни электронных состояний. Однако этот прием эквивалентен допущению неэрмитовости гамильтониана, что в конечном счете приводит к нарушению правила сумм. Далее, при выводе аналитического выражения для 8 (со) все операции суммирования заменяются интегралами, и, таким образом, пренебрегается квантовая природа переходов между дискретными уровнями, а, кром того, сама е (со) оказывается расходящейся при низких частотах. [c.297]

Если химическая реакция протекает достаточно медленно, то процесс релаксации системы к статистическому равновесию можно разделить на две стадии. Благодаря упругим столкновениям молекул, за некоторое время релаксации устанавливается пространственно-однородное состояние с одинаковыми температурами реагентов и продуктов реакции. В течение этой стадии процесса числа частиц компонентов Nj являются интегралами движения. Вторая стадия релаксации к полному равновесию связана с химической реакцией. Предполагая, что соответствующая амплитуда d Фresi ( b) мала по сравнению с амплитудой упругих столкновений, мы можем выбрать шкалу времени так, чтобы бесконечно малый интервал времени dt на этой шкале удовлетворял неравенству < dt где — характерное время релаксации для химической реакции. [c.144]

Опыт показывает, что замкнутая макроскопическая система через определенное время — время релаксации — приближается к состоянию статистического равновесия. Статистическое равновесие проявляется на опыте в том, что для любой подсистемы распределение состояний, фиксируемых в разные моменты времени, дается гиббсовым законом флюктуаций. Распределение состояний тождественных подсистем в данный момент времени определяется тем же законом флюктуаций. Известно, что закон флюктуаций непосредственно следует из предположения о равновероятности различных состояний системы на поверхности однозначных интегралов движения. [c.5]

Н. С. Крылов показал, что эргодичности недостаточно для объяснения процесса релаксации. Для существования времени релаксации необходимо, чтобы системы были размешивающегося типа. Размешивающиеся системы характеризуются тем, что первоначальная область, отвечающая макроскопическому состоянию системы, настолько усложняет свою форму (сохраняя объем, согласно теореме Луивилля, и связность вследствие непрерывности уравнений движения), что при t- oo равномерно покрывает поверхность однозначных интегралов движения (см. стр. 26). [c.6]

Другой, также изложенный в этой книге круг вопросов касается кинетической теории плазмы в сильном магнитном поле. Влияние сильного магнитного поля на корреляции частиц, которое последовательно учитывается в динамической теории обоб-П1,е,нных интегралов столкновений, позволяет рассмотреть процессы релаксации и переноса в условиях, где обычный интеграл столкновений Больцмана применять затруднительно, поскольку в нем нренебрегается влиянием сильных полей на траектории частиц во время столкновения. [c.20]

Выяснив аналитические свойства выражения (6.21) в плоскости комнлсксБОГо переменного со, можно теперь выявить вид закона релаксации распределения (6.23) во времени [5]. Для того чтобы явно усмотреть временную зависимость (6.23), сместим в правой части этой формулы контур интегрирования но ш в нижнюю полуплоскость комплексного переменного, обходя полюсы и линии разреза. Если контур сместить бесь оиечно далеко вниз, то интеграл по нему при О обращается в нуль, а интегрирование сводится к вычетам относительно полюсов выражения (6.21) и интегралу по берегам линии разреза. Поскольку полюс (6.24) обладает отрицательной мнимой частью (—V), то возникающая от его вклада временная зависимость [c.38]

Однако соответствующие релаксационная и обратная задачи для этого типа среды оказываются более сложными. Процесс релаксации при постоянной деформации 8=Qi/E= onst определяется интегралом уравнения [c.729]

Принципиальное значение соотношения (5.12) в тол1, что установлена связь между статистическими свойствами системы (йс) и ее чисто динамической характеристикой йо- Иными словами, можно узнать, когда регулярное (например, условно-периодическое) движение системы разрушится и движение станет пе-релшшивающимся. Для этого необходимо выяснить условие, при котором в динамической системе возникает локальная неустойчивость (5.9). Такое условие мы будем в дальнейшем называть условием стохастической неустойчивости или, короче, условием стохастичности. Максимальной неустойчивости соответствует разрушение всех интегралов движения, кроме полной энергии системы. Анализ, проведенный Н. С. Крыловым, показал, что именно стохастическая неустойчивость обеспечивает равномерное перемешивание начальной фазовой ячейки с любой требуемой точностью на поверхности неразрушенных однозначных интегралов движения и приводит к конечному времени релаксации на этой поверхности, ( ам характер релаксации именно тот, который типичен в статистической механике (ком. 8). [c.30]

Для случая p< pi в интеграле (7.20), как мы убедимся, играют главную роль фононы с энергией порядка QkT. Поэтому для упрощения равновесные функции можно взять в виде виновских функций. Подставив в (7.21) выражение (7.17) для а р, Pi), в итоге получаем время релаксации фононов малой энергии [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...