Уравнения теории упругости в перемещения

Уравнения теории упругости в перемещениях и напряжениях [c.21]

Во многих задачах, особенно если на границе тела заданы перемещения, удобно в качестве основных уравнений брать уравнения теории упругости в перемещениях — уравнения Ламе (см. гл. IV т. 1). Уравнения Ламе получаются, как известно, из общих уравнений количества движения с использованием закона Гука и формул (1.1), выражающих компоненты тензора деформаций через перемещения (при условии, что относительные смещения малы, а входящие в закон Гука, могут быть выражены через перемещения). [c.342]

Дифференциальные уравнения теории упругости в перемещениях. Основываясь на перечисленных в п. 1.1 исходных соотношениях, легко получить дифференциальные уравнения для вектора и. Достаточно для этого в уравнение статики подставить выражение тензора напряжений через этот вектор. Приходим к равенству [c.126]

Проектируя его на оси декартовой системы, приходим к трем уравнениям, называемым дифференциальными уравнениями теории упругости в перемещениях [c.126]

Трудность разыскания частных решений системы уравнений теории упругости в перемещениях обусловлена тем, что каждая из искомых функций и, V, W входит во все три уравнения (1.3.3). Эта трудность устранена в предложенном П. Ф. Папковичем (1932) и Г. Нейбером (1934) представлении перемещений через гармонические функции этим достигается возможность использования хорошо известного каталога частных решений уравнения Лапласа, а иногда даже удается привести задачу теории упругости, если не целиком, то частично, к одной из классических задач теории гармонических функций (теории потенциала). [c.128]

Тензор Т здесь выражен через тензор деформации, а выражая последний через вектор перемещения и и сославшись на вывод уравнений теории упругости в перемещениях в п. 1.3 этой главы, имеем по (1.3.2) [c.152]

Через (Q) обозначено частное решение, соответствующее действию массовых сил, находимое, например, формулой (3.7.8) поэтому вектор v(Q), определяемый по (4.2.1), будет решением однородных уравнений теории упругости в перемещениях как при Q I Vi, так и при Q z l/g. Значение f(Qo) этого вектора на поверхности О задано. [c.185]

Интегральные уравнения второй краевой задачи. Решение однородных уравнений теории упругости в перемещениях разыскивается в форме первого потенциала (3.6.1) [c.187]

Соотношения, связывающие гармонические функции Us и Ч ", следуют из уравнений теории упругости в перемещениях. Последние при отсутствии объемных сил записываются в виде [c.247]

Исходные уравнения теперь можно было бы свести к уравнениям равновесия (3.4) и соотношениям (3.7а) и (3.76), которые включают в себя только напряжения и перемещения. Их можно, еще более упростить, исключив либо напряжения, либо перемещения. Так, подставив соотношения (3.76) в уравнения (3.4) и полагая, что в данном случае объемные силы отсутствуют, исключим напряжения и получим три основных уравнения теории упругости в перемещениях Мх -Вв, и,. Они могут быть записаны в следующей компактной форме " [c.119]

В этом случае общее решение (3.3) уравнений теории упругости в перемещениях (1.7) выражается через четыре гармонические функции и [c.82]

Это соотношение было отмечено выше как следствие уравнений теории упругости в перемещениях и связи между объёмным расширением и суммой нормальных напряжений [см. (9.18)]. Исключив теперь Дз из (11.11) с помощью (11.12), придём к условиям сплошности, выраженным через тензор напряжений, в форме Бельтрами-Митчелла [c.57]

Исходя из соотношения (12.16), можно получить другие общие решения уравнений теории упругости. Если, в частности, принять в них Ф = 0, то вектор Ь, как следует из (12.14) и (9.4), только множителем будет отличаться от вектора перемещения и. Таким образом, имея вектор перемещения и, удовлетворяющий уравнениям теории упругости в перемещениях при отсутствии объёмных сил, можем рассматривать этот вектор как дивергенцию некоторого тензора функций напряжений, являющегося девиатором симметричного тензора [c.62]

При действии на упругое тело объёмных сил, имеющих потенциал П, уравнения теории упругости в перемещениях (9.4) приобретают вид [c.63]

Такой вектор по (9.5) главы 1 представляет частное решение уравнений теории упругости в перемещениях, если его дивергенция равна нулю [c.122]

При 2 = 0 эти напряжения обращаются в нуль, что и требуется по условию задачи. С другой стороны, выражения (9.11)—(9.12) имеют в точке (О, О, Л) особенность, соответствующую приложению сосредоточенной силы они удовлетворяют также уравнениям теории упругости в перемещениях, ибо представляют сумму частных решений этих уравнений. [c.136]

Речь будет идти о разыскании решений однородных уравнений теории упругости в перемещениях [см. (9.5) главы 1 [c.146]

Как и в предшествующих главах, мы будем исходить из решения уравнений теории упругости в перемещениях в форме П. Ф. Папковича. В применении к вопросу о деформации симметрично нагружённого тела вращения, не сопровождающейся кручением, это решение, как было показано в главе 6, даёт выражения проекций перемещения точек упругого тела на оси цилиндрической системы координат (радиального перемещения и и осевого -о ) через три функции 5о, Бр, В , не зависящие от угловой координаты (азимута ср). Функции В , Вд, а также являются гармоническими. Решение сохранит [c.381]

Легко усмотреть, что оператор К = 1 Lij представляет определитель квадратной матрицы операторов а Msj — алгебраические дополнения /-Г0 столбца этого определителя. В применении к уравнениям теории упругости в перемещениях для изотропного тела описанное вычисление приводит к решению (1.2) Галеркина — Буссинеска. Очевидно, что способ применим к анизотропной среде, к динамическим уравнениям теории упругости и т. д. [c.9]

Очевидно, что А Q) ж В Q) при Q lO представляют решения уравнения теории упругости в перемещениях при отсутствии массовых сил. [c.13]

Другой подход к решению задачи о равновесии упругого параллелепипеда развит в работах Б. А. Бондаренко (1961, 1963), который использовал полиномиальные решения уравнений теории упругости в перемещениях, причем произвольные коэффициенты в этих решениях определяются по методу наименьших квадратов. [c.24]

УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ [c.26]

Уравнения теории упругости в перемещениях. В некоторых случаях бывает удобно за основные неизвестные принимать составляющие перемещения точек упругого тела. Тогда в каждой точке тела неизвестны три функции и, у и IV, и задача приводится к разысканию этих трёх функций, при условии, что внутри тела они должны удовлетворять диференциальным уравнениям равновесия (1), а на поверхности тела — уравнениям (3). Составляющие напряжения, входящие в эти уравнения, выражаются при помощи уравнений (7), (8) и (11) через составляющие перемещения. [c.120]

ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ [c.121]

В результате получим известное точное дифференциальное векторное уравнение теории упругости в перемещениях [611 [c.16]

Приведем замкнутую систему уравнений линейной теории упругости в перемещениях, которая получается после подстановки формул Коши (1.156) в закон Гука (1.181) и подстановки получившегося выражения в систему (1.157) [c.40]

Для решения поставленной задачи в перемещениях воспользуемся полуобратным методом Сен-Венана, который, как известно, заключается в задании одних неизвестных функций и отыскании других из уравнений теории упругости. В соответствии с этим методом из трех функций перемещений и, v и w зададимся первыми двумя. Допустим, что все сечения стержня деформируются одинаково и что компоненты перемещений точек в направлении осей х ж у определяются выражениями [c.133]

Уравнения (2.2.1) совместно с (2.2.3) позволяют непосредственно решать задачи теории упругости в перемещениях. [c.32]

При этом уже нет необходимости рассматривать всю боковую поверхность, условие (10.1.3) можно считать выполненным на контуре Г любого поперечного сечения цилиндра плоскостью Xi, Хг, например в плоскости Хз = 0. Уравнения теории упругости для перемещений или напряжений Оар образуют замкнутую систему. После решения ее условие Из = О (и, следовательно, взз = = 0) позволяет определить компоненту напряжения Озз, а именно, [c.323]

Решение задач теории упругости в перемещениях. В уравнения состояния (VIII. 11) подставим выражения деформаций через перемещения (II.51). Полученные выражения напряжений подставим в уравнения движения (V.16). Получим уравнения теории упругости в перемещениях, или уравнения Ламе [c.187]

Рассматриваемая в данной главе стохастическая краевая задача теории упругости является основой статистической механики композитов со случайной структурой. Начало систематическому изучению этой задачи положено работой И.М. Лифшица и Л.Н. Розенцвейга [160] применительно к поликристаллам, в дальнейшем многочисленные результаты были обобщены в монографиях [62, 130, 162, 172, 247, 296, 320 и др.]. При единой практически для всех работ в этом направлении постановке задачи, связанной с представлением упругих модулей микронеоднородной среды как случайных статистически однородных функций координат и выбором граничных условий в виде, обеспечивающим однородность макроскопических деформаций, а также общности подхода к решению с использованием метода функции 1 ина уравнений теории упругости в перемещениях для неограниченной изотропной или анизотропной среды существуют различия в получаемых результатах для эффективных свойств композитов и, в большей мере, для оценки полей напряжений и деформаций в компонентах композитов. Это обусловлено статистической нелинейностью исследуемой задачи и построением приближенных решений, которые неодинаково адекватны физической модели композита, в частности, его структуре. [c.39]

Установить аналогию можно следующим образом (см., например, [7]). Запишем уравнения теории упругости в перемещениях, введя в них гидростатическую составляющую тензора напряжений Р — —ke (где k = = Я + VsM — модуль объемного сжатия, е = -и — объемное расширение). Имеем [гДи — /з(1-t-v) VP == 0. Перейдем к случаю несжимаемой упругой среды, устремляя v->0,5 так, чтобы (х и Р оставались конечными (при этом k-yoo, е-кО). В результате получим уравнения, совпадающие-с (1.1), (1.2). Поэтому решения многих задач теории упругости непосредственно приводят к решениям задач о медленных течениях вязкой жидкости. Так, тензор Сомильяна (см. примечание на стр. 53) после предельного перехода дает известное решение задачи о течении, возникающем под действием сосредоточенной силы (стокслета) в произвольной точке жидкости. Менее тривиальный пример рассмотрен в [7], где на основе [c.185]

В шестой главе на основе представления общего решения уравнений теории упругости в перемещениях в форме П. Ф. Пап-ковича исследуются осесимметричные задачи термоупругости для цилиндра и полой сферы при заданных температурных полях (стационарных или нестационарных). Функциональный произвол в представлении общего решения здесь используется так, чтобы наиболее просто удовлетворить граничным условиям. [c.9]

В. Томсон, пользуясь декартовыми координатами, исходит из представления решения уравнений теории упругости в перемещениях через три гармонические функции, которые он разыскивает в форме рядов по пространственным гармоническим полиномам у, г). В противоположность Ляме каждый из таких полиномов Томсои определяет целиком по краевым [c.484]

В теории температурных напряжений, которая восходит к истокам теории упругости и за последние годы интенсивно развивается ввиду ее растущего прикладного значения, исследуется классическое уравнение теплопроводности, не содержащее члена, связанного с деформацией тела. Задачи решаются здесь в следующем порядке на основе уравнения теплопроводности находится распределение температуры в теле, а затем интегрируются уравнения теории упругости в перемещениях, содержащие уже найденные члены, зависящие от градиента техмпературы [c.9]

Это решение с указанием, что из него получаются ранее известные, но без упоминания о его обш ности , было предложено Ж. Буссинеском еще в 1889 г. П. Ф. Папкович (1937, 1939) указал, что (1.2) является излишне общим решением уравнения теории упругости в перемещениях [c.6]

При действии на упругое тело объемных сил с потенциалом П 1в данном случае определяемым уравнением (99)] уравнение теории упругости в перемещениях имеет вид gradn+F = 0. (100) [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...