Интегралы по траекториям теории возмущений

КОЙ функции. Так как мы имеем дело только с малыми возмущениями (теория возмущений первого порядка), то предположим, что воздействия разных возмущений могут линейно накладываться друг на друга. Но тогда возмущение характеристической функции может быть записано в виде суммы двух компонент возмущение траектории в невозмущенном поле и возмущение поля при невозмущенной траектории. Первая компонента определяется вариацией характеристической функции (5.34), куда следует подставить 8Х=Х< > и 6У=У( так как вариацией координаты является именно разность между ее значениями в рамках теории третьего порядка и в параксиальной теории. Вторая компонента — это характеристическая функция, т. е. интеграл от возмущения вдоль невозмущенной параксиальной траектории. Следовательно, можно написать [c.256]

Разложение теории возмущений есть сумма по всем траекториям в том же смысле, что и интеграл в функциональном пространстве. Пропагатор представляет собой сумму по вкладам членов без взаимодействия, с одним взаимодействием, двумя взаимодействиями и т. д. [c.246]

Теория рождения периодических решений в канонических системах дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей небесной механики. В данной главе устанавливается применимость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодических решений. В этой же главе исследовано воздействие возмущения на сепаратрисы неустойчивых периодических решений задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траекторий уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рождение многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла. [c.74]

Итак, мы видели, что для учета эффектов обрезания траекторий частиц на длине свободного пробега необходимо просуммировать бесконечную последовательность членов в цепочке уравнений для приведенных функций распределения. Типичный подход к решению подобных проблем состоит в применении диаграммной техники , дающей графическое представление рассматриваемых величин и позволяющей сформулировать простые правила, с помощью которых может быть выписан любой член теории возмущений. В классической кинетической теории диаграммная техника такого рода была впервые разработана Балеску [56, 57]. В настоящем разделе будет рассмотрен ее вариант [26], который позволяет в удобной форме учесть граничные условия для приведенных функций распределения. Будут сформулированы правила построения диаграмм для приведенных функций распределения и интеграла столкновений в любом порядке теории возмущений по плотности. Кроме того, мы рассмотрим несколько простых примеров вывода кинетических уравнений с помощью диаграммного метода. [c.181]

Регулярные траектории. Из-за того что зависимость регулярных траекторий от начальных условий оказывается разрывной, их присутствие еще не означает наличия в системе изолирующего (глобального) интеграла или определенной симметрии. Однако там, где такие траектории существуют, им соответствуют точные интегралы движения. Для регулярных траекторий угловые переменные зависят от времени либо квазипериодически (типичный случай), либо периодически. В первом случае частоты движения несоизмеримы, и траектория плотно покрывает поверхность инвариантного тора, заданного сохраняющимися значениями переменных действия. В последнем случае траектория замыкается через целое число оборотов вокруг тора (более полное представление об инвариантных торах дано в гл. 3). Наиболее удобными методами исследования регулярных траекторий являются теория возмущений и метод сечения Пуанкаре, рассмотренный в 1.2. [c.60]

Для более высокой начальной энергии Е = 0,125 наблюдается три типа траекторий простая инвариантная кривая как и при низкой энергии многопетлевая траектория, например представляющая цепочку из пяти маленьких островов, подобная изображенной на рис. 1.10, е, для которой пересечения перескакивают от одной петли к другой, и, по-види- юмy, эргодическая траектория (аналогичная изображенной на рис. 1.10, е) с пересечениями в случайных точках. Для последней траектории переменные действия не только не являются интегралами движения, но и не могут быть получены из разложений теории возмущения, С другой стороны, даже для граничной энергии (Е = 1/6) интегралы сохраняются в малых изолированных областях фазовой плоскости. Присутствие таких островов устойчивости означает существование интеграла движения вблизи первичного резонанса, связанного с частотами невозмущенных колебаний по х и у. Методы вычисления таких интегралов, а также разме- [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...