Метрика элемента действия

МЕТРИКА ЭЛЕМЕНТА ДЕЙСТВИЯ 715 [c.715]

Метрика элемента действия и метрика кинематического элемента [c.715]

При наличии только потенциальных сил движению той же материальной системы сопоставляется изображающая точка в многообразии / с метрикой элемента действия [c.716]

МЕТРИКА ЭЛЕМЕНТА ДЕЙСТВИЯ [c.717]

ВИЯ. Вектор первой нормали п, будучи переведен в метрику элемента действия, не является параллельно переносимым по траектории. Вводим теперь в рассмотрение местную систему ортогональных [c.719]

Вывод дифференциальных уравнений в вариациях возмущенных траекторий в значительной мере повторяет сказанное в пп. 11.14— 11.17, с той разницей, что независимым переменным теперь является не время а действие по опорной траектории — отсчитываемая по ней дуга а в метрике элемента действия конечно, все вычисление ведется в той же метрике, а не в метрике кинематического элемента. [c.722]

Величина v — длина в метрике элемента действ .я — связана с нормальным отклонением [c.733]

В п. 12.10 было установлено, что действие по Лагранжу между двумя фиксированными положениями системы имеет стационарное значение на истинном пути, если на привлекаемых к сравнению окольных путях сохраняется то же значение постоянной энергии г. Является ли это стационарное значение минимальным Будем движению системы сопоставлять движение изображающей точки в многообразии / с метрикой элемента действия тогда утвердительный [c.748]

Метрика элемента действия 716 Механизм 338 [c.822]

Метрика на поверхности конуса — евклидова, поэтому формула (13.18) кривизны многообразия элемента действия сохраняется, причем, конечно, вычисление входящих в нее лапласиана и квадрата градиента должно быть проведено в криволинейных координатах /, ср [c.732]

Таким образом, дифференциал dp можно интерпретировать как длину элемента траектории в пространстве конфигураций с координатами q. ....В общем случае они не являются декартовыми, а представляют координаты пространства, метрика которого определяется коэффициентами т,л из равенства (7.41). Тогда Y2Т будет равняться скорости, с которой изображающая точка движется вдоль своей траектории в пространстве конфигураций. Если на систему не действуют силы, и поэтому Г постоянно, то будет постоянной и скорость движения этой точки, из чего можно сделать вывод, что она будет двигаться вдоль кривой наименьшей длины, т. е. вдоль одной из геодезических линий пространства конфигураций. [c.259]

Среди примеров, охватываемых такой обобщенной теорией Эйлера, движение твердого тела в многомерном пространстве и, что особенно интересно, гидродинамика идеальной (несжимаемой и невязкой) жидкости. В последнем случае в качестве группы выступает группа диффеоморфизмов области течения, сохраняющих элемент объема. Принцип наименьшего действия в этом примере означает, что движение жидкости описывается геодезической метрики, заданной кинетической энергией (при желании можно считать этот принцип математическим определением идеальной жидкости). Легко проверить, что указанная метрика (право) инвариантна. [c.283]

Теперь рассмотрим, каким образом соответствие между фазовым потоком задачи Кеплера и геодезическим потоком на связано с наличием дополнительных первых интегралов, отсутствующих в случае произвольной центральной силы (7). Поверхности Ми в высшей степени однородны на каждой из них действует трехпараметрическая группа движений, т. с. преобразований, не меняющих метрику, а, следовательно, и сохраняющих геодезический поток. Согласно теореме Нетер, каждой однопараметрической подгруппе из этой группы, а точнее говоря, ее инфинитезимальной образующей, т. е. элементу алгебры Ли, отвечает первый интеграл. Известно, что геодезические, параметризованные длиной дуги, являются экстремалями интеграла действия ([7], 12) [c.31]

В виде частного приложения мы можем представить себе световые лучи в оптически изотропной, но неоднородной среде с коэффициентом преломления п(х,у,г), меняющимся от точки к точке. Как мы уже видели в п. 18, световые лучи тождественны с геодезическими линиями метрического многообразия, имеющего линейным элементом ds = nds, где ds есть обыкновенный линейный элемент физического (евклидова) пространства. Так как элемент ds отличается только позиционным множителем п от евклидова элемента ds, то обобщенные количества движения р траекторий будут также отличаться только на локальный множитель от направляющих косинусов соответствующей касательной, так что введенное выше условие ортогональности (58) приобретает в этом случае обычный смысл, который оно имеет в элементарной метрике. С другой стороны, как было отмечено в п. 18, п ds есть не что иное, как элемент времени dt, которое требуется свету, чтобы пройти элемент пути ds следовательно, действие сводится к времени распространения света. Таким образом, мы на основании теоремы Бедьтрами — Липшица заключаем, что световые лучи, которые в заданный момент выходят из заданной поверхности oq в направлении, ортогональном к Oq, или, в частности, из единственного центра, остаются всегда ортогональными к поверхности /= onst, каков бы ни был показатель преломления п, т. е. какова бы ни была неоднородность среды. Эти поверхности, представляющие собой геометрические места точек, к которым свет приходит за один и тот же промежуток времени, образуют так называемые волновые поверхности (см. гл. X, упражнение 13). [c.451]

Ясно, что в интересующий нас момент г ве-Начальное состояние и личины деформации зависят не только от начальное состояние рассматриваемого состояния тела, но и от того, по отношению к какому состоянию эти деформации вычисляются. Как выбрать это состояние, если мы хотим получить определенные физические характеристики деформации Очевидно, оно не может быть совершенно произвольным, а должно быть определено из конкретных физических соображений. Отметим, что его можно определять по-разному, и сейчас в теории деформаций мы не будем фиксировать этот способ определения, а назовем каким-то образом выбираемое для сравнения с данным состоянием сплошной среды состояние начальным и укангем только на могущее встретиться при этом следующее обстоятельство. Это начальное состояние не обязательно должно реально осуществляться. Например, за начальное состояние можно принять такое мысленно введенное состояние, в котором структура каждого элемента сплошной среды упорядочена и элемент предоставлен самому себе, т. е. на него не действуют никакие силы. Обозначим метрику в этом мысленно введенном состоянии через ц, а векторы базиса сопутствующей системы в начальном состоянии через э . Очевидно, что введенная таким образом метрика может оказаться неевклидовой. Реальное же движение сплошной среды происходит в евклидовом пространстве, и, следовательно, в общем случае может не существовать действительного (реального) перехода сплошной среды из начального состояния в данное. Идеальное примысленное начальное состояние (в кавычках) можно использовать для оценки изменения метрики и для введения тензора деформаций. [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...