Корректность задачи

Задачу математической физики, решение которой непрерывно зависит от вводимых дополнительных условий (т, е. достаточно малым изменениям дополнительных условий соответствует сколь угодно малое изменение решения), называют устойчивой задачей, а ее решение — устойчивым решением. В противном случае задачу называют неустойчивой. Обычно, ставя новую задачу математической физики, выясняют вопрос ее устойчивости. Задачи математической физики, решение которых существует, единственно и устойчиво называют корректными задачами. При нарушении хотя бы одного из указанных условий задачу называют некорректной. [c.124]

Покажем теперь на примере уравнения теплопроводности, как ставятся задачи математической физики. Одной из распространенных и, как показывает исследование, корректных задач является следующая (см. рис. 4.1). Найти функцию и М, t) = и (х, у, г, t), которая в открытой области т и при t > О удовлетворяет уравнению теплопроводности [c.125]

Для этой цели обычно используется спектральный критерий устойчивости Неймана [8], основанный на анализе спектра оператора дискретной задачи. Другое более практическое определение устойчивости алгоритма, связанное с понятием корректности задач с непрерывным аргументом, предложено в [7]. В этом случае счетная устойчивость алгоритма устанавливает непрерьшную зависимость решения от входных данных, когда малым вариациям исходных данных соответствуют малые вариации решения. Этот подход и будет использован ниже при решении задач теплопроводности в элементах ВВЭР. [c.175]

Задача, удовлетворяющая всем этим требованиям, называется корректно поставленной задачей. Корректность задачи обеспечивается необходимым числом краевых условий и правильной их формулировкой, а также рядом ограничений, накладываемых на вид функций, входящих в замкнутую систему уравнений и краевые условия. [c.234]

Если выполняется условие корректности задачи (3.117), то из (3.116) следует, что в указанном асимптотическом приближении будут справедливы следующие соотношения [c.96]

Отметим, что задача нахождения квазирешения является задачей нелинейного программирования, и из теорем нелинейного программирования следуют соответствующие теоремы о корректности задач нахождения квазирешения. [c.141]

Математику легко убедить себя в том, что теоретическая гидродинамика в основном непогрешима. Так, Лагранж ) писал в 1788 г. Мы обязаны Эйлеру первыми общими формулами для движения жидкостей... записанными в простой и ясной символике частных производных... Благодаря этому открытию вся механика жидкостей свелась к вопросу анализа, и будь эти уравнения интегрируемыми, можно было бы в любом случае полностью определить движение жидкости под воздействием любых сил... Многие из величайших математиков, от Ньютона и Эйлера до наших дней, штурмовали задачи теоретической гидродинамики, веря в это. И в их исследованиях, часто вдохновляемых физической интуицией, были введены некоторые из наиболее важных понятий теории уравнений в частных производных функция Грина, вихревая линия, характеристика, область влияния, ударная волна, собственные функции, устойчивость, корректность задачи —таков неполный список. [c.16]

Приложение строгих результатов механики к задачам техники и естествознания всегда сопряжено с определенной идеализацией, прежде всего идеализацией геометрии и свойств объекта. Возможность такой идеализации основывается на (обычно интуитивном) представлении о корректности задачи — малости изменения решения или отдельных его элементов при малом изменении параметров задачи. Так, малое изменение границы сечения бруса приводит к малому изменению жесткости кручения, а стоксово сопротивление движению тела в вязкой жидкости непрерывно зависит от формы тела. [c.3]

Шваб А. А. О задаче компьютерной томографии, основанной на методе голографической интерферометрии при дефектоскопии упругих тел // Исследования по условной корректности задач математической физики Сб. науч. тр / Ин-т математики СО АН СССР. 1989. С. 163-170. [c.781]

Модели, интегральные законы сохранения, характеристики, типы поверхностей разрыва, разрывы с поверхностными свойствами (пелены), корректность задачи Коши, турбулентные струи с тяжелыми частицами, конденсация. [c.9]

КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ДВУХЖИДКОСТНОЙ МОДЕЛИ ТЕЧЕНИЯ СМЕСИ ГАЗА С ЧАСТИЦАМИ ) [c.485]

На примере одномерного нестационарного течения смеси газа и диспергированных в нем твердых частиц исследуется корректность задачи Коши в рамках двухжидкостной модели [1]. Анализ проводится как без учета, так и с учетом объема, занимаемого частицами. В обоих случаях предложены нормы, в которых задача корректна, причем даже тогда, когда мелкая рябь на начальных данных вызывает пересечения траекторий частиц, и как следствие - обращение в бесконечность их объемной плотности. Возможность введения норм, в которых задача, некорректная в некоторой норме [2], становится корректной без изменения модели, имеет принципиальное значение, так как корректность задачи Коши рассматривается в качестве естественного требования к математическим моделям реальных процессов [3, 4]. [c.485]

Задача с начальными данными для обыкновенных дифференциальных уравнений в данном случае имеет единственное решение. Поэтому анализ корректности задачи Коши (1.1) и (1.2) сводится к изучению того, как зависящее от х возмущение начальных данных (1.2) отражается на решении при любом конечном времени. Взяв его за t рассмотрим поведение возмущений при О < < 1. Начальное возмущение любого параметра (р зададим в виде мелкой ряби [c.486]

Если полный временной интервал состоит из интервалов разных типов (например, ЗР, ЗВ и Е), то анализ корректности всей задачи сводится к последовательному рассмотрению нескольких задач Коши первой с начальными данными (1.4), последующих - с начальными данными, найденными из решения предыдущих (при условии их корректности). При рассмотрении каждой задачи времена ее начала и конца удобно пересчитывать, связывая с = Ои = 1, корректность задачи Коши для полного интервала предполагает не только ее корректность на его подынтервалах, но и согласование входных и выходных норм. Последнее означает, что каждая предыдущая задача должна быть корректна в той норме выходных результатов, которая при их использовании в качестве начальных данных следующей задачи обеспечивает ее корректность. [c.488]

В задачах математической физики нередко встречаются некорректно поставленные задачи. (Интерес к таким задачам возрос в последние годы (см. Тихонов [1 ], Лаврентьев [1,2] и др.). С некорректно поставленными задачами приходится иметь дело и в этой книге. Отметим, что при исследовании этих задач существенно применяются решения некоторых специально построенных корректных задач. [c.54]

Для выяснения некоторых вопросов, например, о корректности задач, удобно в рассматриваемых классах функций вводить метрику — расстояние между элементами (функциями) или норму элемента. Таким образом, вводятся в рассмотрение различные нормированные пространства функций. [c.61]

Таким образом, кроме доказательства теорем единственности и существования решений задач, необходимо еще изучение вопроса о непрерывной зависимости решения от данных. Эти три свойства (единственность, существование и непрерывная зависимость от данных) принято называть корректностью задачи. [c.275]

Нетрудно распространить эти рассуждения для определения корректности задач термоупругости и моментной упругости и указать соответствующие оценки. [c.278]

Прямая задача сопла Лаваля состоит в определении поля скоростей в канале заданной формы. Ее решение имеет разнообразные технические применения, в частности, позволяет судить о качестве профилирования и изготовления контура сопла. Большую важность представляют математические исследования корректности задачи — вопросов существования, единственности и непрерывной зависимости решения прямой задачи от граничных условий. По существу, это вопросы адекватности модели идеального газа, применяемой (в комбинации с теорией пограничного слоя) для описания реального движения газа. Они освещают условия реализуемости стационарного безотрывного течения, его устойчивость и независимость от процедуры запуска сопла, свойство течения быть непрерывным или иметь скачки уплотнения. По большинству названных проблем в настоящее время получены лишь отдельные результаты, тем [c.81]

В современной математике существует подход к решению некорректных в классическом смысле, но условно корректных задач, и разработаны соответствующие вычислительные алгоритмы. Однако вычисления могут быть произведены только с некоторой конечной точностью, которая зависит от типа уравнения (особенно если оно вырождается), размеров и формы области определения решения и от разрядности компьютера. [c.83]

Как было показано выше, корректная задача профилирования сопла наиболее естественным образом формулируется именно в плоскости годографа. Это обстоятельство послужило основой для разработки метода профилирования осесимметричного сопла, аналогичного описанному в 1, 2. [c.118]

Корректность задачи зависит от тех пространств, в которых рассматривают исходные данные и ищут решение. Задача может быть корректной в одних пространствах и некорректной в других, что необходимо учитывать при решении операторных уравнений с приближенными данными, а также при решении задачи на ЦВМ. [c.33]

В заключение следует отметить, что практическое использование разрабатываемого в данной статье подхода позволяет получать корректно поставленные по Адамару задачи, обеспечивать важные условия реализуемости конкретных систем. Корректность задач открывает возможность эффективного использования различных вычислительных методов для приближенного решения этих задач. [c.102]

Корректно задача о защите от частиц высоких энергий может быть решена при изучении закономерностей развития межъ-ядериого каскада или развития нуклон-мезонного каскада, инициированного первичными нуклонами высоких энергий в защитных средах. В результате должна быть получена функция распределения вторичных частиц, которая даст возможность правильно рассчитать необходимую защиту. [c.255]

Из полученной оценки следует, что постановка задачи Конт в рассматриваемом случае некорректна, а построенное однородное нестационарное решение (4.1.37) неустойчиво. Тем не менее в классе функций, фурье-гармоиики которых стремятся к пулю при к оо быстрее, чем е" ", имеет место условная корректность задачи Коши (см. М. М. Лаврентьев и др., 1980 С. К. Годунов, 1971). Необходимым условием выполнения указанного ограничения является бесконечная днфференцируемость наложенного возмущения. Указанному условию удовлетворяют локализованные п достаточно гладкие возмущения вида Рп х) ехр —(Ы) (при любых d>0), где / (х) — произвольный полиио.м п-ш степени. Отметим, что требование достаточно быстрого убывания амплитуд фурье-гармоник при к ->- оо в классе функций, для которого имеет место условная корректность задачи Коши, обеспечивает малость доли ультракоротких волн в спектре возмущения. [c.315]

Уравнение (3.18) решается методом последовательных приближений, для которого достаточное условие сходимости Д < 1, (где - И - норма в L-i i В - интегральный оператор уравнения (3.18)) априори выполняется ввиду полной аналогии метода последовательных приближений для (3.18) и альтернирующего процесса (3.15). Возможность решить задачу восстановления напряженного состояния в объеме упругого тела по экспериментальным данным на части его поверхности как корректную задачу основывается на априорной информации о принадлежности искомого решения компактному множеству корректности - множеству ограниченных вектор-функций, удовлетворяющих системе (3.6). Изложенный подход к решению поставленной задачи может быть полностью использован при [c.77]

Для построения решения условно корректных задач необходимо ввести понятие регуляризирующего семейства. Суть его состоит в сопоставлении условно корректной задаче семейства классически корректных задач (регуляризирующего семейства), зависящего от параметра, причем при стремлении параметра к некоторому пределу последовательности решений классически корректных задач должны стремиться к решению условно корректной задачи. [c.141]

Выполненный анализ естественным образом переносится на начальные распределения, отличные от (1.2), и на другие многожидкостные модели без собственного давления диспергированных фаз. Хотя отдельные детали при этом могут измениться (например, в рассмотренном в [2] случае смеси двух несжимаемых жидкостей с /i = О и ТУ Ф О показатель экспоненты в аналоге (3.1) при к оо пропорционален не к, а л/f ), вывод о корректности задачи Коши сохраняется. Последнее оправдывает процедуры регуляризации, которые, сглаживая мелкую рябь, должны, тем не менее, допускать образование крупных сгустков. [c.495]

Для уравнения Чаплыгина в области гиперболичности корректна задача Коши с данными на нехарактеристической кривой, имеющей общую точку с линией вырождения. [c.51]

Вопрос о постановке корректной задачи в М-области относится к компетенции теории нелинейных уравнений смешанного типа. Наиболее существенным образом нелинейность уравнений проявляется вблизи звуковой линии — линии изменения типа уравнения. Действительно, если предположить, что коэффициенты квазилинейного уравнения, которые на самом деле зависят от решения краевой задачи, известны, то полученное таким образом линейное уравнение может быть приведено к одной из канонических форм. Тип канонической формы и определяет характер вырождения уравнения вблизи звуковой линии, который проявляется наиболее существенным образом в вопросе о правильной постановке основных краевых задач. Так, теорема М. В. Келдыша (см. гл. 1, 18) в зависимости от типа канонической формы устанавливает корректность либо задачи Дирихле, либо задачи Е в области эллиптичности, примыкающей к линии вырождения. [c.223]

В связи с тем, что в (1.32) ш = 1, 6(0) = О, то по теореме М. В. Келдыша, в области эллиптичности уравнения, граница которой содержит конечный отрезок линии вырождения, корректна задача Дирихле. Решения этой задачи при непрерывном граничном условии для функции тока ф описывают класс дозвуковых течений с криволинейной звуковой линией. Этот случай вырождения типа уравнения естественно называть общим, в отличие [c.223]

Однако при непрерывной деформации исходного профиля в выпуклый, непрерывное преобразование течения в М-области невозможно, что противоречит предположению о корректности задачи. Действительно, при таком преобразовании петля образа контура, содержащая внутри себя точки Г, Н стянулась бы в точку, лежащую на дозвуковом отрезке ударной поляры. В силу локальной однолистности отображения дозвуковой области это невозможно О. [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...