Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений)

Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308]

В 71 и 72 нами были изложены два хорошо известных в теории упругости вариационных принципа принцип минимума потенциальной энергии, который также называется принципом возможных перемещений, и принцип минимума дополнительной работы, на который ссылаются как на принцип Кастильяно. [c.219]

Изложенное свидетельствует о том, что принцип минимума кинетической энергии, определяющий единственно возможное значение радиуса Xi, при условии, что n(x,) - неизвестная величина, является следствием теоремы 7 и принципа виртуальных перемещений классической механики. Его доказательство совершенно не зависит от того, является поле скоростей в потоке вихревым или потенциальным, и он будет справедлив как в том, так и в другом случае, лишь бы для потока удовлетворялось условие 3 теоремы 7. Теорема 7 является как обоснованием принципа минимума кинетической энергии, так и его ограничением. [c.99]

Из принципа минимума потенциальной энергии [функционала (2.162)], так же как и из принципа возможных перемещений, может быть выведено уравнение равновесия стержня. Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие [c.64]

Для них можно сформулировать принцип минимума потенциальной энергии среди всех возможных перемещений действительные перемещения сообщают полной потенциальной энергии П [c.51]

Для доказательства принципа минимума потенциальной энергии допустим, что компоненты действительных и произвольно выбранных возможных перемещений обозначены через и, v, w и и, V, W соответственно, и положим и = и + 8и, v = v - --f bw, w = w - bw. Тогда [c.51]

Рассмотрим сначала принцип минимума потенциальной энергии применительно к задаче упругости 1.5. Пусть функции возможных перемещений и, v, w задаются соотношениями (1.34) — [c.61]

Если при составлении вариаций работы V предполагать, что силы заданы, а перемещения варьируются, то приходим к принципу минимума потенциальной энергии. Следовательно, принцип минимума потенциальной энергии является частным случаем более общего принципа (153). Равенство (153) является принципом возможных работ, и его можно использовать по-разному. [c.74]

Уместно отметить, в чем, по мнению автора, заключается главная особенность книги. В момент ее написания во всех приложениях и в теории метода конечных элементов имели дело с конечно-элементными формулировками, основанными на перемещениях (т. е. на жесткости или на принципе минимума потенциальной энергии). Альтернативные формулировки, основанные на полях напряжений и даже на совокупности полей перемещений и полей напряжений, однако, весьма перспективны, поэтому автор предвидит возможность, что в конце концов эти формулировки также займут равное положение при решении прикладных задач. В связи с этим в гл. 5—7 указанным альтернативным формулировкам уделяется значительное внимание. [c.8]

Ранее подчеркивалось, что на практике в основном используют подходы, основанные на принципе минимума потенциальной энергии (предполагаемые перемещения). Имеется все же возможность использовать эти подходы при формулировке уравнений жесткости с учетом поперечных сдвиговых деформаций для балок, пластин и оболочек путем простой аппроксимации, в которой суммируются результаты, полученные по отдельности при анализе чистого изгиба и чистого сдвига. Чтобы описать этот подход, изучим элемент 1—2, изображенный на рис. 12.16, являющийся частью всей балочной конструкции. Из рисунка видно, что поперечная сдвиговая деформация равна 7,х2=(ьУг—где верхним индексом 5 отмечено, что соответствующие перемещения обусловлены лишь деформациями сдвига. Кроме того, так как Ухг=2( + 1)Рх А Е, то [c.379]

Принцип минимума дополнительной работы. Принцип минимума потенциальной энергии системы был получен путем сравнения полей перемещений упругого тела в состоянии равновесия и в бесконечно близком к нему допускаемом связями состоянии. В принципе минимума дополнительной работы сравнению подвергаются два статически возможных напряженных состояния — истинное, задаваемое тензором напряжения Т, и бесконечно близкое к нему, с тензором напряжения Т -f бГ. Оба состояния рассматриваются, конечно, при одном и том же задании внешних сил — объемных рК и поверхностных, распределенных на части О2, ограничивающей тело поверхности О. Итак, в объеме V [c.156]

Если, как в рассматриваемом примере, силы потенциальные, т. е. каждой из них соответствует потенциальная энергия, то этот принцип эквивалентен условию минимума потенциальной энергии равновесной системы. Под виртуальными перемещениями понимаются произвольные изменения координат, не меняющие, однако, заданных условиями связей в системе (ср. 6). Возможно, например, вращать коромысло, меняя угол 0, но невозможно растягивать его (21 фиксировано). Итак, па систему, показанную на рис. 3, действуют три силы тяжести и ее потенциальная энергия [c.105]

Отсюда следует, что из всех возможных перемещений, т. е. удовлетворяющих условию сплошности тела и принимающих заданные значения на S , действительными будут те, при которых функционал П имеет минимум. В этом и состоит принцип минимума потенциальной энергии. [c.100]

Из принципа возможных работ следует, что в состоянии равновесия полная потенциальная энергия системы минимальна. Соответственно, чтобы найти действительное поле перемещений w, выражение (1.1) нужно минимизировать на множестве всех функций v, удовлетворяющих граничным условиям, и та функция, которая доставляет минимум, является искомым полем перемещений w. [c.22]

Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений). Состояние упруго-де-формироваиного тела характеризуется определенными мина мольными свойствами тесно связанными с понятием работа деформации. Прежде всего рассмотрим состояние равновесия. [c.46]

Принцип минимума потенциальной энергии системы (принцип минимума для смещений). Из всех кинематически возможных систем перемещений, прини.чающих заданные значения на поверхности тела. [c.30]

К. Формула (4.7.20) впервые была получена в 1864 г. Д. Максвеллом, который широко известен как создатель уравнений электромагнитного поля. Она была получена из геометрических соображений. Работа Д. Максвелла, в которой был сформулирован метод расчета ферм, была написана в абстрактной форме без чертежей и примеров и, видимо, по этой причине, осталась незамеченной инженерами. Десять лет спустя эту формулу заново открыл О. Мор. В основу своих рассуждений О. Мор положил принцип возможных перемещении и на его основе пришел к равенству (4.7.24). Приведенный нами вывод формулы (4.7.20) близок к данному О. Мором. В нем также использовано понятие потенциальной энергии деформации фермы, которое стало широко применяться после работ Л. Менабреа и А. Касти-лиано. Последний в 1879 г. получил формулу (4.7.20) из условия минимума потенциальной энергии деформаций. Подробнее этот подход будет рассмотрен в гл. 9. [c.106]

Обычная процедура нахождения матриц жесткости для отдельных элементов, на которые разделена конструкция, основана на предположении, что перемещения можно представить в виде степенных рядов (по координатам). В этом случае деформации находятся путем дифференцирования, а матрица жесткости получается из условия равенства виртуальных работ для внутренних и внешних сил. Если используют принцип минимума полной потенциальной энергии, то приходят к известному методу перемещений. Другой известный метод — метод сил — основан на принципе минимума дополнительной энергии. В каждом из этих подходов могут возникать трудности, связанные с возможным появлением разрывов исследуемых величин в узловых точках. Нагрузка от распределенного по поверхности элемента давления должна быть сведена к сосредоточенным силам, приложенным в узлах при этом вычисление внутренней энергии элементов может быть сложным. Если с большой математической строгостью подойти к вопросам обобщения метода, проверки его основных положений, исследования сходимости и т. д., то его еще не сразу можно применить к расчетам реальных консг-рукций. [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...