Потенциальная энергия деформаций дополнительная системы

При нагружении системы внешними силами из-за деформации системы они совершают работу, которая переходит в потенциальную энергию деформации системы, что приводит к дополнительному условию [c.177]

Здесь есть вариация дополнительной работы деформации во всей стержневой системе, обусловленная статически допустимой вариацией внутренних усилий. Второй член в (5.22) представляет собой суммарную работу вариации соответствующих узловых усилий в связях (т. е. там, где заданы перемещения) на заданных перемещениях. Указанная вариация дополнительной работы деформации или в случае линейно-упругих систем вариация потенциальной энергии деформации будет [c.99]

Пусть упругая система статически нагружена произвольной нагрузкой Q и некоторой обобщенной силой Р (рис. 392). Вычислим потенциальную энергию, накопленную при деформации системы. С этой целью для удобства примем следующий порядок нагружения. Вначале нагружаем систему силой Р. Перемещение точки приложения силы по ее направлению и от ее действия обозначим Лрр. Затем прикладываем нагрузку Q. В результате дополнительной деформации сила Р получит перемещение Др . Полное (обобщенное) перемещение точки приложения силы [c.412]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Разновидностью статического критерия является критерий энергетический. В основе этого критерия лежат два фундаментальных принципа механики сплошных сред принцип возможных перемещений и принцип возможных изменений напряженного состояния. Из принципа возможных перемещений непосредственно следует условие стационарности полной потенциальной энергии системы бП = О, согласно которому из всех перемещений, удовлетворяющих граничным условиям, перемещения, удовлетворяющие уравнениям равновесия, придают полной потенциальной энергии стационарное значение. Из принципа возможных изменений напряженного состояния следует условие стационарности дополнительной энергии, согласно которому из всех возможных напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям, напряжения, удовлетворяющие уравнениям неразрывности деформаций, придают дополнительной энергии стационарное значение. [c.53]

Из этого равенства можно получить три отличающихся друг от друга энергетических принципа в зависимости от того, через какие переменные выражена удельная потенциальная энергия Л. Задавая ее квадратичной формой А е) [см. (3.2.3) гл. III] компонент деформации, придем к принципу минимума потенциальной энергии системы исходя же из квадратичной формы Л (а) компонент тензора напряжений [(3.2.8) гл. III], получим принцип минимума дополнительной работы. В первом принципе варьируются перемещения, во втором — компоненты напряжения. Наконец, в смешанном принципе стационарности удельная [c.148]

При формулировке принципа минимума потенциальной энергии системы исходят из выражения для удельной энергии деформации в терминах реформации и смещений (1.3). Если же пользоваться представлением и через напряжения (1.4), то придем к принципу минимума дополнительной работы. [c.95]

Поясним на примере первой краевой задачи [в условиях (1.1), (1.2) З" =5,5 = 0], как с помощью принципов минимума потенциальной энергии системы и дополнительной работы выводятся неравенства для энергии деформации I/ [192]. [c.96]

Для определения общей потенциальной энергии деформируемой системы, обусло1зленной действием изгибающих и крутящих моментов, введена конечно-разностная схема с пересекающейся сеткой. Использование этой схемы дозволяет уменьшить погрешность аппроксимации выражений для потенциальной энергий деформации, вызванной крутящим моментом, с помощью конечно-разностных соотношений, и, кроме того, исчезает необходимость введения фиктивных узлов в граничной области. Узловые подобласти, используемые в этом методе, дают возможность получить приближенные конечные суммы, базирующиеся на значениях функций в узлах сетки, покрывающей определенным образом рассматриваемую пластинку. Выражение потенциальной энергии деформации для граничных узловых подобластей соответственно изменяется таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия для изгибающего момента и чтобы обеспечивалась возможность применения центральных конечных "разностей в районе границ. Дополнительные граничные условия для напряжений удовлетворяются автоматически в процессе минимизации, приводящей к конечно-разностным соотношениям, подобным тем, которые получаются при прямом использовании метода конечных разностей, но без применения фиктивных узлов, лежащих за границей пластинки. [c.115]

Отличие вариационных постановок задач первого типа от классических (не контактных) заключается в необходимости удовлетворения дополнительным ограничениям на допустимые функции, имеющим форму неравенств. Известное условие положительной определенности потенциальной энергии деформации обеспечивает и здесь единственность решения и его существование. В частности, если вариационная задача есть задача минимизации полной энергии системы контактирующих линейно упругих тел, то ограничение — неравенство, отражающее физическое требование непроникания, выделяет из множества допустимых к сравнению функций выпуклое подмножество как хорошо известно, задача минимизации положительно определенного (выпуклого) функционала при некоторых дополнительных ограничениях на гладкость границы области имеет решение и это решение только одно. [c.93]

Кроме того, Гриффитс исследовал условия, при которых внутри упругого тела должна распространяться небольшая трещина, когда окружающий эту трещину материал находится под длительным действием внешней постоянной системы сил. Предположим, что трещина только что образовалась. При этом производится некоторое дополнительное количество поверхностной энергии. Одновременно, в силу того же факта образования трещины, вблизи нее происходит перераспределение напряжений. Они значительно уменьшаются близ плоских частей поверхности и весьма резко увеличиваются у края трещины. Окончательным же результатом образования удлиненной полости трещины является общее уменьшение потенциальной энергии упругой деформации. Гриффитс получил решения для двух случаев. В одном из них он предполагал, что в тонкой растянутой полосе из упругого материала образуется эллиптическое отверстие, большая полуось которого а расположена перпендикулярно направлению растяжения Максимальные напряжения у концов большей оси эллиптического отверстия были получены Инглисом ) по формуле [c.222]

Решение задач теории упругости может быть проведено одним из двух методов С помощью первого метода решают дифференциальные уравнения с заданными граничными условиями. Второй метод заключается в минимизации интегральной величины, связанной с работой напряжений и внешней приложенной нагрузки. Для решения задач теории упругости методом конечных элементов используется последний подход. Если задача решается в перемещениях и на границе заданы их значения, то нужно минимизировать потенциальную энергию оистемы. Если задача решается в напряжениях с заданными на границе усилиями, то нужно минимизировать дополнительную работу оистемы. Общепринятая формулИ(ровка метода конечных элементов предполагает отыскание поля пб1ремещбний и тем самым связана с минимизацией по-тенциальной энергии системы при отыскании узловых значений вектора перемещений. После того как перемещения будут определены, можно вычислить компоненты тензоров деформаций и напряжений. [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...