Поверхности слабых разрывов

Наряду с поверхностями разрывов, на которых испытывают скачок величины р, р, v и т. п., могут существовать также и такие поверхности, на которых эти величины как функции координат обладают какими-либо особенностями, оставаясь сами непрерывными. Эти особенности могут быть самого разнообразного характера. Так, на поверхности разрыва могут испытывать скачок первые производные по координатам от величин р, р, V,. .. или же эти производные могут обращаться в бесконечность, Наконец, то же самое может иметь место для производных не первого, а более высоких порядков. Все такие поверхности мы будем называть поверхностями слабого разрыва в противоположность сильным разрывам (ударным волнам и тангенциальным разрывам), в которых испытывают скачок сами указанные величины. Отметим, что ввиду непрерывности самих этих величин на поверхности слабого разрыва, непрерывны также и их тангенциальные производные разрыв непрерывности испытывают лишь нормальные к поверхности производные. [c.500]

Касательная к поверхности слабого разрыва компонента скорости протекающего через нее газа направлена всегда по направлению от того места (например, угла на поверхности тела), откуда исходят возмущения, вызывающие возникновение этого разрыва мы будем говорить, что разрыв исходит из этого места. Это есть одно из проявлений направленности распространения возмущений вниз по течению в сверхзвуковом потоке. [c.501]

Применим формз лу (99,5) к плоскости, ограничивающей занимаемую волной разрежения область пространства. При этом x/t будет представлять собой скорость движения этой границы относительно выбранной неподвижной системы координат. Скорость же ее относительно самого газа есть разность x/t — v и согласно (99,5) равна как раз местной скорости звука. Это значит, что границы волны разрежения представляют собой слабые разрывы. Картина автомодельного движения в различных конкретных случаях складывается, следовательно, из волн разрежения и областей постоянного течения, разделенных между собой поверхностями слабых разрывов (кроме того, конечно, могут иметься и различные области постоянного течения, разделенные между собой ударными волнами). [c.513]

Мы видим, что внутренняя граница является поверхностью слабого разрыва скорость обращается на ней в нуль, не испытывая скачка. Кривая зависимости v l) имеет на этой границе горизонтальную касательную dv/db, = 0). Мы имеем здесь дело со слабым разрывом весьма своеобразного типа первая производная на нем непрерывна, а все производные высших порядков обращаются в бесконечность (в чем легко убедиться на основании (130,7)). Отношение r/t при v = 0 есть, очевидно, не что иное, как скорость перемещения границы области относительно газа согласно (130,6) она равна местному значению скорости звука, как и должно быть для слабого разрыва. [c.681]

И (130,10) производная р имеет везде тот же знак, что и v -Кривая зависимости v от гЦ имеет на передней границе вертикальную (согласно (130,9)), а на внутренне — горизонтальную касательную (рис. 134). Внутренняя граница является слабым разрывом, вблизи которого зависимость v от rft определяется уравнением (130,7). Внутри сферы, ограниченной поверхностью слабого разрыва, газ неподвижен. [c.683]

При рассмотрении задач, связанных с исследованием многокомпонентных сред с химическими реакциями и фазовыми превращениями, необходимо использовать дополнительные условия на поверхностях сильных разрывов. По определению на поверхностях сильного разрыва скачком изменяются функции (плотность, составляющие скорости, тепловой поток и др.), на поверхностях слабых разрывов скачком изменяются лишь производные функций. [c.25]

Существуют поверхности слабого и сильного разрыва. На поверхности слабого разрыва искомые функции непрерывны, а разрывы имеют только некоторые их производные. Например, поверхностью слабого разрыва является в толстостенной трубе цилиндрическая поверхность г — с (рис. 78), являющаяся границей пластической и упругой областей, на которой имеет разрыв производная напряжения <Таа (рис. 98). [c.247]

Материал массива считают жесткопластическим, при этом в момент потери устойчивости сплошная зона вблизи поверхности откоса и всего бокового выступа переходит в предельное состояние с локальным условием (576). Поверхность скольжения определяют при этом как огибающую поверхностей слабого разрыва в области предельного состояния [53, 138]. [c.202]

Везде далее будем предполагать, что вне поверхности слабого разрыва -ui и U2 функционально независимы, т е. окрестность точки (О, 0) в плоскости годографа, отвечающая в классе двойных волн области течения в пространстве x x2t вблизи поверхности разрыва, однозначно отображается (кроме точки (О, 0)) на плоскость пр. [c.88]

Можно показать, что если производные щ и с испытывают на поверхности слабого разрыва uj xi x2 t) = О конечный скачок, а течение через слабый разрыв примыкает к покою, то в любой момент времени t = to касательные к мгновенным линиям тока течения в точках поверхности слабого разрыва ортогональны к этой поверхности. Этот факт не зависит от принадлежности течения к классу двойных волн. [c.88]

Вдоль линии тока xi = ( , to), Х2 = Х2(СДо) (С — параметр) имеем щ = щ( , to), U2 U2( , to). Пусть С = Со отвечает точке на поверхности слабого разрыва и [c.88]

Рассмотрим вопрос об определении начальных данных при г = О для функции Ф так, чтобы формулы (1.3) определяли движение слабого разрыва произвольной формы. Заметим, что форма поверхности слабого разрыва в пространстве x x2t определяется сразу же, как только задана форма линии пересечения этой поверх ности плоскостью t = 0. Не умаляя общности, будем считать, что движение слабого разрыва определяется уравнением [c.91]

При помощи системы уравнений (1.14), (2.12), решения которой удовлетворяют указанным выше начальным условиям, можно найти семейство решений уравнений газовой динамики (например методом Фурье), принадлежащее к классу двойных волн, за поверхностью слабого разрыва, вообще говоря, произвольной формы. Эти решения уже не локальные в окрестности слабого разрыва, а действуют в общем случае до появления в течение предельных линий (см. [10]). В окрестности же разрыва эти течения ведут себя так же, как и течения, полученные при помощи системы уравнений (1.20), (1.21). [c.93]

Течения, возникающие в окрестности характеристической поверхности произвольной формы, распространяющейся по покоящемуся газу, изучались для плоских задач в [1]. При этом рассматривался случай, когда характеристическая поверхность, отделяющая область возмущенного течения от области покоя, является поверхностью слабого разрыва основных газодинамических величин. [c.113]

Этот результат справедлив как для поверхности слабого разрыва (5), так и в случае течения за нормальными детонационными волнами. [c.113]

Таким образом, поверхностью слабого разрыва, за которой течение является двой ной волной, может быть только развертывающаяся поверхность. Функции качестве поверхности слабого разрыва любую развертывающуюся поверхность. Плоскому случаю, исследованному в [1], соответствует /х = О и z/ = 1. [c.115]

С — произвольная постоянная). Формула (2.20) дает закон затухания с ростом времени частных производных решения на поверхности слабого разрыва, двигающегося по области покоя, в пространственном случае. [c.120]

Рассмотрим как ведут себя на характеристической поверхности с ростом времени частные производные от основных функций, когда течение за слабым разрывом или нормальной детонационной волной принадлежит к классу двойных волн. Вначале исследуем случай поверхности слабого разрыва, двигающегося по области покоя. Правый нулЬ Вектор г характеристической матрицы при помощи (1.5) запишем в виде [c.121]

Линии В Н С и A E D на которые натянута поверхность слабого разрыва представляют собой некоторые пространственные кривые, образованные концами линий тока при г = 0. Участки линий тока В В Н"Н С"С прямолинейны. Кривые ВНС и AED соответствуют пересечению ударной волны с плоскостями жз = А2 и хз = Ai. [c.140]

Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть для некоторой гиперболической системы (t, Xk — независимые переменные) известно какое-либо фоновое решение u (t, xi, Г2, жз), по которому с известной скоростью (скоростью звука) распространяется поверхность слабого разрыва Rt, движение которой задается уравнением [c.238]

Неочевидной представляется попытка применения основных идей конструирования степенных характеристических рядов для представления решений сильно нелинейных вырождающихся параболических уравнений, каким является уравнение Лейбензона [8]. Хотя для таких уравнений типичной является ситуация [9], когда фронт возмущения, порожденного каким-либо заданным краевым режимом, движется по области нулевого фона (нулевого давления для уравнения Лейбензона) с конечной скоростью, как и для гиперболического случая, тем не менее возможность применения степенных рядов для описания решения в возмущенной зоне является нетривиальной, т.к. параболические уравнения не являются уравнениями типа Коши-Ковалевской. Для линейного уравнения теплопроводности, например, ряды Тэйлора, как правило, расходятся. В отличие от гиперболических систем, для которых характерна независимость скорости движения поверхности слабого разрыва по заданному фону от вида краевого режима, для вырождающихся параболических уравнений скорость движения фронта возмущения целиком определяется заданным краевым режимом и может быть найдена только в процессе определения возмущенного решения. Тем не менее оказалось, что степенные ряды, особенно в специальном пространстве переменных (аналог временного годографа), позволяют эффективно строить поля давления в задаче о нестационарной фильтрации газа и находить закон движения фронта фильтрации в зависимости от краевого режима. [c.282]

Замечание 1.1. Задача о примыкании нестационарных плоских и пространственных течений газа через поверхность слабого разрыва к области покоя изучалась в [2, 3]. Однако в этих работах был рассмотрен лишь случай волн разрежения (выдвижение поршней), и для построения решения в окрестности слабого разрыва привлекался только класс двойных волн. Это привело к ограничениям и на форму поверхности Rf — именно, рассматривался лишь случай, когда Rt являлись развертывающимися поверхностями в любой момент времени. [c.289]

Чтобы уравнения (2.5) при г = О определяли движение поверхности слабого разрыва Rt, так же как и в плоском случае, должны существовать пределы [c.294]

Рассмотрим следующую задачу. В начальный момент времени = О неподвиж ный однородный политропный газ со скоростью звука с = 1 находится вне или внутри некоторой достаточно гладкой, выпуклой замкнутой поверхности 5q. При t = О в газ начинает вдвигаться поршень St с нулевой начальной скоростью и нулевым начальным ускорением (при t = St совпадает с 5о). При этом, в предположении достаточной гладкости движения поршня, от него отрывается поверхность слабого разрыва Rt, движущаяся по покоящемуся газу с единичной нормальной скоростью. Требуется определить движение газа в области трехмерного пространства Ж2, жз, заключенной между поршнем St и поверхностью слабого разрыва Rt. [c.302]

Легко убедиться простыми рассуждениями, что поверхности слабого разрыва распространяются относительно газа (по обе стороны поверхности) со скоростью, равной скорости звука. Действительно, поскольку функции р, р, V,. .. сами не испытываюг скачка, то их можно сгладить, заменив функциями, совпадающими с ними везде, кроме окрестности поверхности разрыва, а в этой окрестности отличающимися лишь на сколь угодно малые величины, но так, что сглаженные функции не имеют уже никаких особенностей. Истинное распределение, скажем, давления, можно, таким образом, представить в виде наложения совершенно плавного распределения ро без всяких особенностей и очень малого нарушения р этого распределения вблизи поверхности разрыва. Последнее же, как и всякое малое возмущение, распространяется относительно газа со скоростью звука. [c.500]

Область, в которой газ совернгает движение рассматриваемого типа, ограничена, как мы увидим ниже, двумя сферами, из которых наружная представляет собой поверхность самой детонационной волны, а внутренняя является поверхностью слабого разрыва, причем скорость обращается иа ней в нуль. [c.680]

При решении наряду с принятым ранее допущением о протекании-реакции на математической поверхности предполагается, что фронт пламени является поверхностью слабого разрыва, а также используются предположение об универсальности полей ри% риСрАТ, риАС в сильно неизотермг1ческих струях [Л.17] и основанное на этом преобразование уравнений турбулентного пограничного слоя сжимаемого газа путем перехода к новым переменным [c.162]

Распространение акустических воли (или поверхностей слабого разрыва) характеризуется постоянством скорости звука во всех точках среды, малостью изменения плотности по сравнению с плотностью невозмущенной среды ро, а также малостью скоростей частиц V по сравнению со скоростью звука Сд. Давление р, действующее на преграду, можно представить в виде р—р д-р2 РЪ, гдер - давление в падающей волне Р2 - давление в волне, отраженной от жесткой и неподвижной преграды р - да.адение излученных волн, связанное с деформированием преграды и движением ее как твердого те.ла. [c.513]

В зависимости от знака А уравнение (1.19) в полуплоскости г > О может быть эллиптического или гиперболического типа. Если плотность газа с удалением от поверхности слабого разрыва возрастает 9г = 1 (например, слабый разрыв за нор мальной детонационной волной), А < О и уравнение (1.19) при г > О — гиперболического типа. Наоборот, при убывании плотности (когда слабый разрыв движется по покоящемуся газу, захватывая новые массы газа ) 0г = А > О и уравнение (1.19) будет эллиптического типа. В обоих случаях линия г = О, на которой Ф = = О (Ф = onst), будет линией параболического вырождения для уравнения (1.19), одновременно являясь характеристикой, так как при dr = О, Ф = О условия ха рактеристической полоски (см. [8])для уравнения (1.19) выполнены. Отметим, что данные Коши (1.11) также определяют характеристическую полоску, а линия г = О является линией параболичности для уравнений (1.1) и (1.2). [c.90]

Уравнение (1.21) принадлежит к классу уравнений, краевые задачи для которых были изучены М.В. Келдышем в [13]. При этом краевые задачи рассматривались в области ограниченной отрезком MN оси ip и гладкой кривой Г, опирающейся на отрезок MN и расположенной в полуплоскости Z > 0. Существование непрерывного решения задачи Дирихле и задачи Е (когда отрезок MN свободен от задания краевого условия) зависит от поведения при z = О коэффициента Ь (р, z) при Ф . Так как в нашем случае Ь ср, 0) = О, то по теореме М.В. Келдыша существует непрерывное решение задачи Дирихле, при этом контур Г можем выбирать произвольно (лишь бы он был гладким), а также можно произвольно задавать Ф на Г (Ф = О на MN). Каждое такое решение порождает некоторую функцию П((у9) и, следовательно, некоторую поверхность слабого разрыва. [c.93]

Будем считать, что поверхность слабого разрыва, распространяющегося по по коящемуся газу, задана уравнением (1.22), где функция Ф удовлетворяет (1.23). Поверхность (1.22) будет характеристической поверхностью системы уравнений (0.1), (0.2), на ней щ = О и с = 1. [c.94]

Пусть радиус кривизны слабого разрыва возрастает со временем, возмущения в течении за разрывом не догоняют разрыв (течение в окрестности разрыва достаточно гладкое) и, кроме того, в момент времени t = to > Bi скаляр а в (3.23) вдоль некоторой дуги слабого разрыва определяется значениями постоянных А, В, ао А ai, bo В 61, ао, 1, Ьо, = = onst так, что при возрастании t скаляр а не обращается в бесконечность. Тогда на части поверхности слабого разрыва (t > to), образованной бихарактеристиками, проходящими через точки упомянутой дуги, для достаточно больших t [c.98]

Теорема. Мгновенные линии тока возмущенного течения в любой момент вре мени ортогональны к поверхности слабого разрыва, распространяющейся по покоя-щемуся газу. [c.114]

Заметим, что В (р) = onst вдоль фиксированной бихарактеристики. Так как поверхность слабого разрыва в данном случае является развертывающейся поверхностью, то вдоль произвольной бихарактеристики один из радиусов кривизны главных [c.121]

В данной заметке рассматривается случай L = —AD. Оказывается, что в этом случае функция Ф X = 0) дает решение Буземана [4] для течения сжатия в осесимметричном сопле, когда однородный поток после прохождения конической поверхности слабого разрыва сжимается, а затем, пройдя через конический скачок уплотнения, снова переходит в однородный прямолинейный поток. Покажем, что, выбирая специальным образом функцию X, можно получить некоторые обобщения этого решения. Уравнение для X при этом будет гиперболического типа, а поверхности слабого разрыва (г = О, Ф = onst) будет соответствовать линия параболичности (1.2). Для удобства будем в дальнейшем полагать г О, А" < 0. [c.135]

Рассмотрим теперь поведение решений (1.2) в окрестности г = О (Ф(0) = Ф° / / 0). Исследование удобнее вести в переменных г, (р. Для того, чтобы течение типа стационарной двойной волны примыкало при г = О через поверхность слабого разрыва к области постоянного движения г = О, Ф = необходимо, чтобы в формулах (1.3), определяющих при г = О форму слабого разрыва, 1 (р) = limX /r при г О была непрерывной функцией, и, следовательно, Х (0, (р) = 0. Гарантировать заранее выполнение этого условия для всех решений (1.2) нельзя. Действительно, будем решать задачу с начальными данными при г = а для (1.2) методом Фурье. Полагая X = Ф[(р)Р г), будем иметь [c.136]

Однако для того, чтобы построить физически осмысленное решение, необходимо убедиться еще, что в области течения между ударной волной и поверхностью слабого разрыва нет предельных линий и, следовательно, линии тока не имеют точек возврата. В следующем пункте построен конкретный пример течения сжатия в сопле специальной формы с кольцеобразным сечением и тем самым показано, что класс течений (1.18), продолжимых до г = О с X 0 и без предельных линий, непуст. [c.137]

Торцы вырезанной части сопла заштрихованы. Прямолинейный поток, пройдя поверхность слабого разрыва А Е D Н В начинает плавно сжиматься и затем после ударного сжатия на поверхности AED HB вновь становится прямолинейным. Отношение плотностей на входе и выходе равно 0.18. [c.140]

Как известно, одним из наиболее характерных свойств решений гиперболических квазилинейных систем уравнений является тот факт, что возмущения (слабые разрывы) распространяются с местной скоростью звука [1]. Для широкого класса задач механики сплошной среды, в частности, газовой динамики, решения соответствующих уравнений в возмущенной зоне в окрестности слабого разрыва, являющегося характеристической поверхностью, можно представить так называемыми характеристическими степенными рядами, которые сходятся вблизи поверхностей слабого разрыва [2-5]. При этом предполагается, что в начальный момент времени нам известны положение слабого разрыва, фон — решение соответствующих уравнений по какую-либо сторону от поверхности разрыва и, наконец, краевые условия на некоторой нехарактеристической поверхности, пересекающей заданную поверхность слабого разрыва. Коэффициенты gk степенных рядов [c.281]

Рассмотрим более общую задачу об определении времени t начала разрушения потенциального течения, наступающего непосредственно на поверхности слабого разрыва, и о построении приближенного решения в окрестности слабого разрыва для случаев вдвижения в газ поршней произвольной формы, когда возникающие течения являются двух- и трехмерными. [c.289]

Пусть поверхность 5о (достаточно гладкая) разделяет трехмерное пространство на две части, одна из которых заполнена покоящимся однородным полит ропным газом со скоростью звука с = 1. С момента t = О поршень St начинает по некоторому закону вдвигаться в газ (поверхность Sq соответствует начальному положению поршня), так что при t = О нормальная скорость движения Vn равна нулю, а нормальное ускорение везде ненулевое. Ясно, что в невозмущенный газ начнет распространяться волна сжатия, ограниченная с одной стороны поверхностью поршня St, а с другой — поверхностью слабого разрыва Rt, двигающейся с единичной нормальной скоростью по покоящемуся газу, причем форма поверхности Rt будет определяться лишь геометрией поверхности Sq. До момента появления в течении сильных разрывов движение будет изэнтропическим и потенциальным. [c.289]

Соотношения (1.8) должны определять при г = О движение поверхности слабого разрыва, так что должен существовать предел 11тг Ф = П(( 9, t) при г 0. [c.290]

Положим drjdt = —W (p) при r = 0, t = 0. Из (1.17) следует, что —W (p) — величина нормального ускорения поршня при t = О, так как известно [3], что мгновенные линии тока возмущенного течения всегда ортогональны к поверхности слабого разрыва, [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...